Testsida - Versionshistorik

Samuel den 17 juli 2012 kl. 13.43

Samuel — Tue, 17 Jul 2012 13:43:32 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2012 kl. 13.43
Rad 345:		Rad 345:

	</div>{{#NAVCONTENT: Lösning \| Lösning 4.3.4}}		</div>{{#NAVCONTENT: Lösning \| Lösning 4.3.4}}
		+
		+	===Övning 4.3.5===
		+	<div class="ovning">
		+	Implicit derivering går att använda till mer än jobbiga produkter. Tycker man att det är kämpigt att memorera derivator eller att ta till h-derivatan så kan vi använda denna metod istället när vi vill ta fram inversa derivator.
		+
		+	Kom ihåg hur vi använde kedjeregeln i föregående uppgift, och försök härleda derivatan till y=arcsin(x). Antag att vi redan vet derivatan för sin(x).
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Lösning \| Lösning 4.3.5}}

Samuel den 16 juli 2012 kl. 13.05

Samuel — Mon, 16 Jul 2012 13:05:23 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2012 kl. 13.05
Rad 331:		Rad 331:
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 4.3.3 \| Lösning 4.3.3.a \| Lösning 4.3.3.a \| Lösning 4.3.3.b \|		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 4.3.3 \| Lösning 4.3.3.a \| Lösning 4.3.3.a \| Lösning 4.3.3.b \|
	Lösning 4.3.3.b}}		Lösning 4.3.3.b}}
		+
		+	===Övning 4.3.4===
		+	<div class="ovning">
		+	Våra produkt- och kvotregler för derivation är förvisso praktiska och tydliga. Emellanåt stöter man däremot på ett uttryck som verkar skrivet av någon särskilt sadistisk lärare.
		+
		+	Ett exempel följer:
		+	<math> y = \frac{abc}{de} </math>
		+
		+	Där a, b, c, d, e är deriverbara, men knepiga, funktioner av x.
		+
		+	Vad är då <math>\frac{dy}{dx}</math>? Finns det något smidigare sätt att lösa uppgiften på än upprepad använding av våra regler?
		+
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT: Lösning \| Lösning 4.3.4}}

Samuel den 13 juli 2012 kl. 08.07

Samuel — Fri, 13 Jul 2012 08:07:35 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juli 2012 kl. 08.07
Rad 227:		Rad 227:
	Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?		Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?
	\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.2 \| Lösning 3.2.2 \| Lösning 3.2.2}}		\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.2 \| Lösning 3.2.2 \| Lösning 3.2.2}}
		+
		+	===Övning 3.2.4===
		+	<div class="ovning">
		+	I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion <math>f:{T}\rightarrow{S}</math> är injektiv om f avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att <math>a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)</math>. Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta <math> f(a)=f(b) \Rightarrow a = b</math> . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".
		+
		+	Använd <math> f(a)=f(b) \Rightarrow a = b</math> för att visa att följande funktioner är injektiva. Låt <math>f, g, h, p:{R} \to {R}</math>
		+
		+
		+	a) <math>f(x) = 4x + 5 </math>
		+
		+	b) <math>g(x) = x^3 </math>
		+
		+	c) <math>h(x) = e^{x}</math>
		+
		+	d) <math>p(x) = h(g(x))</math>
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.4a \| Lösning b) \| Lösning 3.2.4b \| Lösning c) \| Lösning 3.2.4c \| Lösning d) \| Lösning 3.2.4d}}
		+

	===Övning 3.5.1===		===Övning 3.5.1===

Samuel den 9 juli 2012 kl. 13.52

Samuel — Mon, 09 Jul 2012 13:52:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2012 kl. 13.52
Rad 223:		Rad 223:
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	{\| width="100%" cellspacing="10px"		{\| width="100%" cellspacing="10px"
-	Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband.	+	Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband. För att belysa ett av dem:
	\|		\|
-	~~För att belysa ett av dem, kan~~ man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?	+	Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?
	\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.2 \| Lösning 3.2.2 \| Lösning 3.2.2}}		\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.2 \| Lösning 3.2.2 \| Lösning 3.2.2}}

Samuel: Testar med en kanske inte helt bra uppgift, mest för att se hur det fungerar.

Samuel — Mon, 09 Jul 2012 13:37:22 GMT

Testar med en kanske inte helt bra uppgift, mest för att se hur det fungerar.

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2012 kl. 13.37
Rad 219:		Rad 219:
	\|}		\|}
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.1 \| Lösning 3.2.1.a \| Lösning 3.2.1.a \| Lösning 3.2.1.b \| Lösning 3.2.1.b \| Lösning 3.2.1.c \| Lösning 3.2.1.c \| Lösning 3.2.1.d \| Lösning 3.2.1.d}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.1 \| Lösning 3.2.1.a \| Lösning 3.2.1.a \| Lösning 3.2.1.b \| Lösning 3.2.1.b \| Lösning 3.2.1.c \| Lösning 3.2.1.c \| Lösning 3.2.1.d \| Lösning 3.2.1.d}}
		+
		+	===Övning 3.2.2===
		+	<div class="ovning">
		+	{\| width="100%" cellspacing="10px"
		+	Vissa funktioner har egenskapen att de är både injektiva och surjektiva, och vi kallar dessa funktioner bijektiva. En egenskap hos bijektiva funktioner är att målmängden och definitionsmängden innehåller precis lika många element. Detta är lätt att se med funktioner definierade på ändliga mängder, men samma resonemang används av matematiker för oändliga mängder. Vi säger då att två mängder har samma kardinalitet om och endast om vi kan skapa en bijektion mellan dem. Detta leder till lite märkliga samband.
		+	\|
		+	För att belysa ett av dem, kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?
		+	\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.2 \| Lösning 3.2.2 \| Lösning 3.2.2}}

	===Övning 3.5.1===		===Övning 3.5.1===

Samuel den 19 juni 2012 kl. 12.59

Samuel — Tue, 19 Jun 2012 12:59:10 GMT

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2012 kl. 12.59
Rad 225:		Rad 225:
	\|Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär?		\|Gäller Pythagoras sats för trianglar ritade på en sfär?
	\|\|		\|\|
		+	[[Bild:Triangel.jpg]]
	\|}		\|}
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.5.1 \| Lösning 3.5.1 \| Lösning 3.5.1}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.5.1 \| Lösning 3.5.1 \| Lösning 3.5.1}}

Samuel den 18 juni 2012 kl. 14.14

Samuel — Mon, 18 Jun 2012 14:14:56 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 juni 2012 kl. 14.14
Rad 238:		Rad 238:
	\| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} </math>		\| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} </math>
	\| d)		\| d)
-	\| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x^2+3}{x^3+1} </math>	+	\| <math> \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3}{x^3+1} </math>
	\| e)		\| e)
	\| <math> lim_{x\to 0}\frac{2x^3+x^2+1}{x^3+1} </math>		\| <math> lim_{x\to 0}\frac{2x^3+x^2+1}{x^3+1} </math>

Samuel den 18 juni 2012 kl. 14.10

Samuel — Mon, 18 Jun 2012 14:10:18 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 juni 2012 kl. 14.10
Rad 227:		Rad 227:
	\|}		\|}
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.5.1 \| Lösning 3.5.1 \| Lösning 3.5.1}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.5.1 \| Lösning 3.5.1 \| Lösning 3.5.1}}
		+	===Övning 4.1.1 ===
		+	<div class="ovning">
		+	Beräkna följande gränsvärden.
		+	{\| width="100%" cellspacing="10px"
		+	\|a)
		+	\| <math>\lim_{x\to 0}3 </math>
		+	\| b)
		+	\| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} </math>
		+	\| c)
		+	\| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} </math>
		+	\| d)
		+	\| <math> \lim_{x\to 0}\frac{x^2+3}{x^3+1} </math>
		+	\| e)
		+	\| <math> lim_{x\to 0}\frac{2x^3+x^2+1}{x^3+1} </math>
		+	\|\|
		+	\|}
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 4.1.1 \| Lösning 4.1.1.a \| Lösning 4.1.1.a \| Lösning 4.1.1.b \| Lösning 4.1.1.b \| Lösning 4.1.1.c \| Lösning 4.1.1.c \| Lösning 4.1.1.d \| Lösning 4.1.1.d \| Lösning 4.1.1.e \| Lösning 4.1.1.e }}

	===Övning 4.2.1===		===Övning 4.2.1===

Samuel den 18 juni 2012 kl. 14.02

Samuel — Mon, 18 Jun 2012 14:02:52 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 juni 2012 kl. 14.02
Rad 201:		Rad 201:
	Lösning 2.1.1b \| Lösning 2.1.1c \| Lösning 2.1.1c \| Lösning 2.1.1d \| Lösning 2.1.1d \| Lösning 2.1.1e \| Lösning 2.1.1e }}		Lösning 2.1.1b \| Lösning 2.1.1c \| Lösning 2.1.1c \| Lösning 2.1.1d \| Lösning 2.1.1d \| Lösning 2.1.1e \| Lösning 2.1.1e }}

		+
		+	===Övning 3.2.1 ===
		+	<div class="ovning">
		+	Låt <math>f(x)=5x</math>. Bestäm <math>f</math>:s värdemängd och avgör huruvida
		+	<math>f</math> är injektiv/surjektiv i vart och ett av följande fall:
		+
		+	{\| width="100%" cellspacing="10px"
		+	\|a)
		+	\|<math> f:\{3,5,6,7\} \to \mathbb{R} </math>
		+	\|b)
		+	\| <math> f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} </math>
		+	\| c)
		+	\| <math> f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} </math>
		+	\| d)
		+	\| <math> f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} </math>
		+	\|\|
		+	\|}
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.1 \| Lösning 3.2.1.a \| Lösning 3.2.1.a \| Lösning 3.2.1.b \| Lösning 3.2.1.b \| Lösning 3.2.1.c \| Lösning 3.2.1.c \| Lösning 3.2.1.d \| Lösning 3.2.1.d}}

	===Övning 3.5.1===		===Övning 3.5.1===

Samuel den 18 juni 2012 kl. 13.48

Samuel — Mon, 18 Jun 2012 13:48:51 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 juni 2012 kl. 13.48
Rad 167:		Rad 167:
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 1.8.6 \| Lösning 1.8.6 \| Lösning 1.8.6}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 1.8.6 \| Lösning 1.8.6 \| Lösning 1.8.6}}

-	===Övning 1.8.7===
-	<div class="ovning">
-	{\|width="100%" cellspacing="10px"
-	\| Beräkna <math>i^n</math> för <math>n=0,1,2,3,....,15</math>. Kan du gissa ett mönster?
-
-	\|\|
-	\|}
-	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 1.8.7 \| Lösning 1.8.7 \| Lösning 1.8.7}}