Lösning 2.2.3 - Versionshistorik

Lösning 2.2.3 - Versionshistorik http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php?title=L%C3%B6sning_2.2.3&action=history Versionshistorik för denna sida på wikin sv MediaWiki 1.11.1 Sun, 23 Aug 2026 20:19:06 GMT Samuel den 3 juli 2012 kl. 07.34 http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php?title=L%C3%B6sning_2.2.3&diff=988&oldid=prev <p></p> <table style="background-color: white; color:black;"> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">← Äldre version</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">Versionen från 3 juli 2012 kl. 07.34</td> </tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 5:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 5:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>för någon konstant <math>k</math>. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>för någon konstant <math>k</math>. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><math>\qquad\begin{align}q(n+2) &= (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) =\\&= \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n\end{align}</math><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><math>\qquad\begin{align}q(n+2) &= (n+2) p(n+2)-1 <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">=\\&</ins>= \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) =\\&= \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n\end{align}</math></div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för <math>p</math> i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om <math>n</math> är udda, ser vi att det är <math>0</math>, medan om <math>n</math> är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för <math>p</math> i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om <math>n</math> är udda, ser vi att det är <math>0</math>, medan om <math>n</math> är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td></tr> </table> Tue, 03 Jul 2012 07:34:13 GMT Samuel http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Diskussion:L%C3%B6sning_2.2.3 Samuel den 3 juli 2012 kl. 07.30 http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php?title=L%C3%B6sning_2.2.3&diff=986&oldid=prev <p></p> <table style="background-color: white; color:black;"> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">← Äldre version</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">Versionen från 3 juli 2012 kl. 07.30</td> </tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 1:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 1:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n</math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>n+1<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math></ins>. <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>q<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>har de <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>n+1<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>q<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>som</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><math><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\qquad </ins>q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math></div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>för någon konstant <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>k<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math></ins>. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdot (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att</div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><math><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\qquad\begin{align}</ins>q(n+2) <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">&</ins>= (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">=\\&</ins>= \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\end{align}</ins></math>.</div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr> <tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>p<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>n<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>är udda, ser vi att det är <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>0<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math></ins>, medan om <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>n<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td></tr> </table> Tue, 03 Jul 2012 07:30:36 GMT Samuel http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Diskussion:L%C3%B6sning_2.2.3 Samuel den 2 juli 2012 kl. 12.20 http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php?title=L%C3%B6sning_2.2.3&diff=978&oldid=prev <p></p> <table style="background-color: white; color:black;"> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">← Äldre version</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">Versionen från 2 juli 2012 kl. 12.20</td> </tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 1:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 1:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \<del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">cdots </del>(-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n</math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">cdot </ins>(-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n</math>.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td></tr> </table> Mon, 02 Jul 2012 12:20:09 GMT Samuel http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Diskussion:L%C3%B6sning_2.2.3 Samuel den 2 juli 2012 kl. 12.19 http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php?title=L%C3%B6sning_2.2.3&diff=977&oldid=prev <p></p> <table style="background-color: white; color:black;"> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">← Äldre version</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">Versionen från 2 juli 2012 kl. 12.19</td> </tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 1:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Rad 1:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdots (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = <del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">\dfrac{</del>(-1)^n<del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">)</del></math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdots (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = (-1)^n</math>.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background: #eee; color:black; font-size: smaller;"><div>Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div></td></tr> </table> Mon, 02 Jul 2012 12:19:11 GMT Samuel http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Diskussion:L%C3%B6sning_2.2.3 Samuel: Ny sida: Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <mat... http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php?title=L%C3%B6sning_2.2.3&diff=976&oldid=prev <p>Ny sida: Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <mat...</p> <p><b>Ny sida</b></p><div>Låt oss betrakta polynomet <math> q(x) = x \cdot p(x) - 1 </math>. Notera att detta har grad n+1. q har de n+1 rötterna <math>1,2, \ldots , n+1 </math> , så vi kan faktorisera q som <math> q(x) = k \cdot (x-1)(x-2) \cdots (x-(n+1)) </math> för någon konstant k. Vi har att <math> q(0) = -1 = k \cdots (-1)^n (n+1)! </math>, så att <math> k = (-1)^n /(n+1)! </math>. Vi har nu att <math> q(n+2) = (n+2) p(n+2)-1 = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!} (n+2-1) \cdots (n+2-(n+1)) = \dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)! = \dfrac{(-1)^n)</math>.<br /> Vi kan lösa ut för p i denna likhet och får då att <math> p(n+2) = ((-1)^n+1)/(n+2) </math>. Om n är udda, ser vi att det är 0, medan om n är jämnt så är det <math> 2/(n+2) </math>.</div> Mon, 02 Jul 2012 12:18:35 GMT Samuel http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte/index.php/Diskussion:L%C3%B6sning_2.2.3