Lösning 1.8.3a - Versionshistorik

Sass den 13 juni 2012 kl. 13.04

Sass — Wed, 13 Jun 2012 13:04:10 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2012 kl. 13.04
Rad 13:		Rad 13:
	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.		Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.

-	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.	+	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med <math>\sqrt{-1}</math>, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.

Sass den 13 juni 2012 kl. 12.54

Sass — Wed, 13 Jun 2012 12:54:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2012 kl. 12.54
Rad 9:		Rad 9:
	Från den första ekvationen får vi att <math>a^2=b^2</math>, och eftersom <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal kan vi dra slutsatsen att <math>a=\pm b</math>.		Från den första ekvationen får vi att <math>a^2=b^2</math>, och eftersom <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal kan vi dra slutsatsen att <math>a=\pm b</math>.

-	Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, ~~men~~ vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.	+	Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, och vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.

	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.		Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.

	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.		Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.

Sass den 13 juni 2012 kl. 12.42

Sass — Wed, 13 Jun 2012 12:42:22 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2012 kl. 12.42
Rad 13:		Rad 13:
	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.		Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.

-	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>~~\left( \frac{1}{~~\sqrt{2}}</math>	+	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\sqrt{i}</math> som ett komplext tal - vi har inte samma problem som med \sqrt{-1}, som ju inte kunde skrivas som ett reellt tal.

Sass den 13 juni 2012 kl. 12.40

Sass — Wed, 13 Jun 2012 12:40:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2012 kl. 12.40
Rad 11:		Rad 11:
	Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.		Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.

-	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.	+	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> \left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.

	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>		Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>

Sass den 13 juni 2012 kl. 12.39

Sass — Wed, 13 Jun 2012 12:39:54 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2012 kl. 12.39
Rad 11:		Rad 11:
	Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.		Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.

-	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.	+	Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) </math>, <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.

	Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>		Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>

Sass: Ny sida: Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att $a^2+2abi-b^2=i$ . Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vän...

Sass — Wed, 13 Jun 2012 12:39:11 GMT

Ny sida: Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att <math>a^2+2abi-b^2=i</math>. Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vän...

Ny sida

Om vi utvecklar kvadraten i vänsterledet, så får vi att <math>a^2+2abi-b^2=i</math>.

Vi måste ha att realdelen av vänsterledet är lika med realdelen av högerledet: realdelen av vänsterledet är <math>a^2-b^2</math>, och realdelen av högerledet är <math>0</math>. Alltså vet vi att <math>a^2-b^2=0</math>.

Vi måste också ha att imaginärdelen av vänsterledet är lika med imaginärdelen av högerledet: vi får alltså att <math>2ab=1</math>.

Då har vi fått ett ekvationssystem: <math>a^2-b^2=0</math>, och <math>2ab=1</math>.

Från den första ekvationen får vi att <math>a^2=b^2</math>, och eftersom <math>a</math> och <math>b</math> är reella tal kan vi dra slutsatsen att <math>a=\pm b</math>.

Stoppar vi in <math>a=b</math> i ekvationen <math>2ab=1</math> får vi att <math>2a^2=1</math>, vilket leder till att <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math>. Stoppar vi in <math>a=-b</math> i ekvationen, får vi att <math>-2a^2=1</math>, men då då måste <math>a</math> vara ett komplext tal för ekvationen ska stämma, men vi ville ju att <math>a</math> skulle vara reellt. Alltså är <math>a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}</math> de enda potentiella lösningarna.

Detta leder till de fyra kandidatlösningarna <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>, <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math> och <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)</math>. Prövar vi att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen ser vi att <math> left( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>, och att <math> left( -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i</math>.

Detta betyder att vi faktiskt kan skriva <math>\left( \frac{1}{\sqrt{2}}</math>