Övningar Kapitel 3 - Versionshistorik

Samuel den 21 januari 2013 kl. 15.24

2013-01-21T15:24:01Z

← Äldre version		Versionen från 21 januari 2013 kl. 15.24
Rad 31:		Rad 31:
	\|-		\|-
	\|d) <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}</math>		\|d) <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}</math>
-	\|-
-	\|e) <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|
	\|}		\|}
	Kommentar: Observera att om du har en funktion vars målmängd är är lika med <math>A</math>, då är målmängden lika med <math>A</math> och inget annat. Målmängden till en sammansatt funktion bestäms inte genom att välja en godtycklig mängd som innehåller värdemängden.		Kommentar: Observera att om du har en funktion vars målmängd är är lika med <math>A</math>, då är målmängden lika med <math>A</math> och inget annat. Målmängden till en sammansatt funktion bestäms inte genom att välja en godtycklig mängd som innehåller värdemängden.
-	</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) \| Svar 3.2.1a \| Svar b) \| Svar 3.2.1b \| Svar c) \| Svar 3.2.1c \| Svar d) \| Svar 3.2.1d ~~\| Svar e) \| Svar 3.2.1e~~ \| Lösning a) \| Lösning 3.2.1 \| Lösning b) \| Lösning 3.2.1b \| Lösning c) \| Lösning 3.2.1c \| Lösning d) \| Lösning 3.2.1d ~~\| Lösning e) \| Lösning 3.2.1e~~}}	+	</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) \| Svar 3.2.1a \| Svar b) \| Svar 3.2.1b \| Svar c) \| Svar 3.2.1c \| Svar d) \| Svar 3.2.1d \| Lösning a) \| Lösning 3.2.1 \| Lösning b) \| Lösning 3.2.1b \| Lösning c) \| Lösning 3.2.1c \| Lösning d) \| Lösning 3.2.1d }}

	===Övning 3.2.2===		===Övning 3.2.2===

Samuel den 14 augusti 2012 kl. 07.21

2012-08-14T07:21:36Z

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2012 kl. 07.21
Rad 193:		Rad 193:
	c) <math> x + \|x-3\| = 5 </math>		c) <math> x + \|x-3\| = 5 </math>

-	d) <math> \|x^2 -4x + 4\| = 1 </math>	+	d) <math> \|x^2 +4x + 4\| = 1 </math>

	e) <math> \|x^2 -5x + 6\| = -2x + \frac{19}{4} </math>		e) <math> \|x^2 -5x + 6\| = -2x + \frac{19}{4} </math>

Samuel den 6 augusti 2012 kl. 10.05

2012-08-06T10:05:27Z

← Äldre version		Versionen från 6 augusti 2012 kl. 10.05
Rad 217:		Rad 217:

	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 3.5.2a \| Svar b) \| Svar 3.5.2b \| Svar c) \| Svar 3.5.2c \| Lösning a) \| Lösning 3.5.2a \| Lösning b) \| Lösning 3.5.2b \| Lösning c) \| Lösning 3.5.2 c}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 3.5.2a \| Svar b) \| Svar 3.5.2b \| Svar c) \| Svar 3.5.2c \| Lösning a) \| Lösning 3.5.2a \| Lösning b) \| Lösning 3.5.2b \| Lösning c) \| Lösning 3.5.2 c}}
		+
		+	===Övning 3.5.2===
		+	<div class="ovning">
		+	{\| width="100%" cellspacing="10px"
		+	Betrakta ekvationen <math>\cos(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>. Vi noterar först och <math>\sqrt{3}/2</math> motsvarar en standarvinkel, nämligen <math>\pi/6</math>. Däremot finns inte <math>-\sqrt{3}/2</math> med på de vanligaste tabellerna över cos- och sin-värden för vanliga vinklar. Hur löser man då den här ekvationen? Vi ska dela upp lösningen i några enklare steg.
		+	\| a) Utgå från ekvationen <math>\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2</math>. Använd trigonometriska samband från kurslitteraturen för att skriva om denna ekvation som <math>\cos(x)=-\sqrt{3}/2</math>, där <math>x</math> är en vinkel mellan <math>0</math> och <math>\pi</math>.
		+	\|-
		+	\| b) I a)-uppgift hittade vi en lösning till den angivna ekvationen. Hitta en till lösning på intervallet <math>(-\pi,\pi]</math>. Tips: rita upp enhetscirkeln!
		+	\|-
		+	\| c) I deluppgift a) och b) hittade två lösningar till ekvationen. Hitta resten av lösningarna.
		+	\|}
		+	</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) \| Svar 2.5.1a \| Svar b) \| Svar 2.5.1b \| Svar c) \| Svar 2.5.1c \| Lösning a) \| Lösning 2.5.1a \| Lösning b) \| Lösning 2.5.1b \| Lösning c) \| Lösning 2.5.1c }}

Samuel den 2 augusti 2012 kl. 11.07

2012-08-02T11:07:05Z

← Äldre version		Versionen från 2 augusti 2012 kl. 11.07
Rad 198:		Rad 198:

	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 4.4.5a \| Svar b) \| Svar 4.4.5b \| Svar c) \| Svar 4.4.5c \| Svar d) \| Svar 4.4.5.d \| Svar e) \| Svar 4.4.5.e \| Lösning a) \| Lösning 4.4.5a \| Lösning b) \| Lösning 4.4.5b \| Lösning c) \| Lösning 4.4.5c \| Lösning d) \| Lösning 4.4.5d \| Lösning e) \| Lösning 4.4.5e}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 4.4.5a \| Svar b) \| Svar 4.4.5b \| Svar c) \| Svar 4.4.5c \| Svar d) \| Svar 4.4.5.d \| Svar e) \| Svar 4.4.5.e \| Lösning a) \| Lösning 4.4.5a \| Lösning b) \| Lösning 4.4.5b \| Lösning c) \| Lösning 4.4.5c \| Lösning d) \| Lösning 4.4.5d \| Lösning e) \| Lösning 4.4.5e}}
		+

	==Avsnitt 3.5 Trigonometri==		==Avsnitt 3.5 Trigonometri==

-	===Övning 3.5.2===	+	===Övning 3.5.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Ibland finns det fördelar med att skriva om trigonometriska funktioner och uttryck i form av andra trigonometriska funktioner.		Ibland finns det fördelar med att skriva om trigonometriska funktioner och uttryck i form av andra trigonometriska funktioner.

Samuel den 1 augusti 2012 kl. 12.27

2012-08-01T12:27:01Z

← Äldre version		Versionen från 1 augusti 2012 kl. 12.27
Rad 36:		Rad 36:
	\|\|		\|\|
	\|}		\|}
		+	Kommentar: Observera att om du har en funktion vars målmängd är är lika med <math>A</math>, då är målmängden lika med <math>A</math> och inget annat. Målmängden till en sammansatt funktion bestäms inte genom att välja en godtycklig mängd som innehåller värdemängden.
	</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) \| Svar 3.2.1a \| Svar b) \| Svar 3.2.1b \| Svar c) \| Svar 3.2.1c \| Svar d) \| Svar 3.2.1d \| Svar e) \| Svar 3.2.1e \| Lösning a) \| Lösning 3.2.1 \| Lösning b) \| Lösning 3.2.1b \| Lösning c) \| Lösning 3.2.1c \| Lösning d) \| Lösning 3.2.1d \| Lösning e) \| Lösning 3.2.1e}}		</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) \| Svar 3.2.1a \| Svar b) \| Svar 3.2.1b \| Svar c) \| Svar 3.2.1c \| Svar d) \| Svar 3.2.1d \| Svar e) \| Svar 3.2.1e \| Lösning a) \| Lösning 3.2.1 \| Lösning b) \| Lösning 3.2.1b \| Lösning c) \| Lösning 3.2.1c \| Lösning d) \| Lösning 3.2.1d \| Lösning e) \| Lösning 3.2.1e}}

Samuel den 30 juli 2012 kl. 14.29

2012-07-30T14:29:44Z

← Äldre version		Versionen från 30 juli 2012 kl. 14.29
Rad 208:		Rad 208:
	a) <math> \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) </math>		a) <math> \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) </math>

-	b) <math>\sin(x)\tan(x) = \frac{2}{3} </math>	+	b) <math>\sin(x)\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} </math>

	c) <math> \cos(x) - \sin(x) = 0 </math>		c) <math> \cos(x) - \sin(x) = 0 </math>

Samuel den 26 juli 2012 kl. 14.46

2012-07-26T14:46:48Z

← Äldre version		Versionen från 26 juli 2012 kl. 14.46
Rad 197:		Rad 197:

	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 4.4.5a \| Svar b) \| Svar 4.4.5b \| Svar c) \| Svar 4.4.5c \| Svar d) \| Svar 4.4.5.d \| Svar e) \| Svar 4.4.5.e \| Lösning a) \| Lösning 4.4.5a \| Lösning b) \| Lösning 4.4.5b \| Lösning c) \| Lösning 4.4.5c \| Lösning d) \| Lösning 4.4.5d \| Lösning e) \| Lösning 4.4.5e}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 4.4.5a \| Svar b) \| Svar 4.4.5b \| Svar c) \| Svar 4.4.5c \| Svar d) \| Svar 4.4.5.d \| Svar e) \| Svar 4.4.5.e \| Lösning a) \| Lösning 4.4.5a \| Lösning b) \| Lösning 4.4.5b \| Lösning c) \| Lösning 4.4.5c \| Lösning d) \| Lösning 4.4.5d \| Lösning e) \| Lösning 4.4.5e}}
		+
		+	==Avsnitt 3.5 Trigonometri==
		+
		+	===Övning 3.5.2===
		+	<div class="ovning">
		+	Ibland finns det fördelar med att skriva om trigonometriska funktioner och uttryck i form av andra trigonometriska funktioner.
		+
		+	Beräkna följade uppgifter.
		+
		+	a) <math> \cos(\arcsin(\frac{1}{3})) </math>
		+
		+	b) <math>\sin(x)\tan(x) = \frac{2}{3} </math>
		+
		+	c) <math> \cos(x) - \sin(x) = 0 </math>
		+
		+
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 3.5.2a \| Svar b) \| Svar 3.5.2b \| Svar c) \| Svar 3.5.2c \| Lösning a) \| Lösning 3.5.2a \| Lösning b) \| Lösning 3.5.2b \| Lösning c) \| Lösning 3.5.2 c}}

Samuel den 26 juli 2012 kl. 11.54

2012-07-26T11:54:56Z

← Äldre version		Versionen från 26 juli 2012 kl. 11.54
Rad 1:		Rad 1:
	==Avsnitt 3.1 Mängdlära==		==Avsnitt 3.1 Mängdlära==
		+
	===Övning 3.1.1===		===Övning 3.1.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
Rad 38:		Rad 39:

	===Övning 3.2.2===		===Övning 3.2.2===
		+	<div class="ovning">
		+	Låt
		+
		+	<math>\qquad\begin{align}f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\\g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\end{align}</math>
		+
		+	{\| width="100%" cellspacing="10px"
		+	\|a) Kan man definiera <math>f(g(a))</math>? Kan man definiera <math>g(f(a))</math>?
		+	\|-
		+	\|b) Vad blir <math>f(2/3)</math>?
		+	\|-
		+	\|c) Vad blir <math>g(f(2/3))</math>?
		+	\|-
		+	\|d) Finns det ett naturligt tal <math>n</math> sådant att
		+	<math>\qquad f(n)=2+3i</math>?
		+	\|-
		+	\|e) Finns det ett naturligt tal <math>n</math> sådant att
		+	<math>\qquad f(n)=2\pi</math>?
		+	\|-
		+	\|\|
		+	\|}
		+	</div>{{#NAVCONTENT: Svar a) \| Svar 3.2.10.a \| Svar b) \| Svar 3.2.10.b \| Svar c) \| Svar 3.2.10.c \| Svar d) \| Svar 3.2.10.d \| Svar e) \| Svar 3.2.10.e \| Lösning a) \| Lösning 3.2.10.a \| Lösning b) \| Lösning 3.2.10.b \| Lösning c) \| Lösning 3.2.10.c \| Lösning d) \| Lösning 3.2.10.d \| Lösning e) \| Lösning 3.2.10.e }}
		+
		+	===Övning 3.2.3===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Låt <math>f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> så att <math>f(x)= x+2</math> och att <math>g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> så att <math>g(x)= 2x</math>.		Låt <math>f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> så att <math>f(x)= x+2</math> och att <math>g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> så att <math>g(x)= 2x</math>.
Rad 53:		Rad 77:
	</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a) \| Lösning 3.2.1a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.1b. \|Svar c) \| Svar 3.2.1c. }}		</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a) \| Lösning 3.2.1a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.1b. \|Svar c) \| Svar 3.2.1c. }}

-	===Övning 3.2.3===	+	===Övning 3.2.4===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion <math>f:{T}\rightarrow{S}</math> är injektiv om <math>f</math> avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att <math>a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)</math>. Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta <math> f(a)=f(b) \Rightarrow a = b</math> . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".		I kurslitteraturen beskrivs injektivitet som att en funktion <math>f:{T}\rightarrow{S}</math> är injektiv om <math>f</math> avbildar "skilda värden på skilda värden". Detta kan man tolka som att <math>a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)</math>. Detta påstående är däremot inte alltid så praktiskt att arbeta med. En enklare formulering är det ekvivalenta <math> f(a)=f(b) \Rightarrow a = b</math> . Vi kan läsa ut denna formulering som att "om avbildningen av två element är samma, så måste de två elementen också vara samma".
Rad 71:		Rad 95:
	</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.5a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.5b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.5c. \| Lösning d) \| Lösning 3.2.5d.}}		</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.5a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.5b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.5c. \| Lösning d) \| Lösning 3.2.5d.}}

-	===Övning 3.2.4 ===	+	===Övning 3.2.5===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Låt <math>f(x)=5x</math>. Bestäm <math>f</math>:s värdemängd och avgör huruvida		Låt <math>f(x)=5x</math>. Bestäm <math>f</math>:s värdemängd och avgör huruvida
Rad 89:		Rad 113:
	</div>{{#NAVCONTENT: Lösning a) \| Lösning 3.2.2.a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.2.b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.2.c. \| Lösning d) \| Lösning 3.2.2.d.}}		</div>{{#NAVCONTENT: Lösning a) \| Lösning 3.2.2.a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.2.b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.2.c. \| Lösning d) \| Lösning 3.2.2.d.}}

-	===Övning 3.2.5===	+	===Övning 3.2.6===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.		Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
Rad 114:		Rad 138:
	</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.3.a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.3b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.3c. \| Lösning d) \| Lösning 3.2.3d. \| Lösning e) \| Lösning 3.2.3e.}}		</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.3.a. \| Lösning b) \| Lösning 3.2.3b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.3c. \| Lösning d) \| Lösning 3.2.3d. \| Lösning e) \| Lösning 3.2.3e.}}

-		+	===Övning 3.2.7===
-	===Övning 3.2.6===	+
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Låt <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\}</math> så att <math>f(x)=x^2</math> och <math>g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x) = -\sqrt{x}.</math> Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:		Låt <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\}</math> så att <math>f(x)=x^2</math> och <math>g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R}</math> så att <math>g(x) = -\sqrt{x}.</math> Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:
Rad 131:		Rad 154:
	</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.4a.\| Lösning b) \| Lösning 3.2.4b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.4c.}}		</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)\| Lösning 3.2.4a.\| Lösning b) \| Lösning 3.2.4b. \| Lösning c) \| Lösning 3.2.4c.}}

-	===Övning 3.2.7*===	+	===Övning 3.2.8*===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	{\| width="100%" cellspacing="10px"		{\| width="100%" cellspacing="10px"
Rad 138:		Rad 161:
	Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?		Kan man skapa en bijektion mellan de naturliga talen <math>\mathbb{N}</math> och heltalen <math>\mathbb{Z}</math>?
	\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.6 \| Lösning \| Lösning 3.2.6}}		\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.6 \| Lösning \| Lösning 3.2.6}}
		+

	==Avsnitt 3.4 Olikheter och absolutbelopp==		==Avsnitt 3.4 Olikheter och absolutbelopp==
		+
	===Övning 3.4.1===		===Övning 3.4.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
Rad 154:		Rad 179:

	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 3.4.1a \| Svar b) \| Svar 3.4.1b \| Svar c) \| Svar 3.4.1c \| Svar d) \| Svar 3.4.1.d \| Lösning a) \| Lösning 3.4.1a \| Lösning b) \| Lösning 3.4.1b \| Lösning c) \| Lösning 3.4.1c \| Lösning d) \| Lösning 3.4.1d}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 3.4.1a \| Svar b) \| Svar 3.4.1b \| Svar c) \| Svar 3.4.1c \| Svar d) \| Svar 3.4.1.d \| Lösning a) \| Lösning 3.4.1a \| Lösning b) \| Lösning 3.4.1b \| Lösning c) \| Lösning 3.4.1c \| Lösning d) \| Lösning 3.4.1d}}
-

	===Övning 3.4.2===		===Övning 3.4.2===

Samuel: Skyddade Övningar Kapitel 3 [edit=sysop:move=sysop]

2012-07-26T09:13:59Z

Skyddade Övningar Kapitel 3 [edit=sysop:move=sysop]

← Äldre version

Versionen från 26 juli 2012 kl. 09.13

Samuel den 24 juli 2012 kl. 11.37

2012-07-24T11:37:21Z

← Äldre version		Versionen från 24 juli 2012 kl. 11.37
Rad 139:		Rad 139:
	\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.6 \| Lösning \| Lösning 3.2.6}}		\|}</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 3.2.6 \| Lösning \| Lösning 3.2.6}}

		+	==Avsnitt 3.4 Olikheter och absolutbelopp==
	===Övning 3.4.1===		===Övning 3.4.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2012 kl. 07.21
Rad 193:		Rad 193:
	c) <math> x + \|x-3\| = 5 </math>		c) <math> x + \|x-3\| = 5 </math>

-	d) <math> \|x^2 -4x + 4\| = 1 </math>	+	d) <math> \|x^2 +4x + 4\| = 1 </math>

	e) <math> \|x^2 -5x + 6\| = -2x + \frac{19}{4} </math>		e) <math> \|x^2 -5x + 6\| = -2x + \frac{19}{4} </math>