Övningar Kapitel 2 - Versionshistorik

Samuel den 24 juni 2013 kl. 11.15

2013-06-24T11:15:38Z

← Äldre version		Versionen från 24 juni 2013 kl. 11.15
Rad 87:		Rad 87:
	===Övning 2.3.1===		===Övning 2.3.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?	+	Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 5 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 6 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.3.1 \| Lösning \| Lösning 2.3.1}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.3.1 \| Lösning \| Lösning 2.3.1}}

Samuel: Skyddade Övningar Kapitel 2 [edit=sysop:move=sysop]

2012-07-26T09:12:58Z

Skyddade Övningar Kapitel 2 [edit=sysop:move=sysop]

← Äldre version

Versionen från 26 juli 2012 kl. 09.12

Samuel den 19 juli 2012 kl. 16.00

2012-07-19T16:00:45Z

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2012 kl. 16.00
Rad 19:		Rad 19:
	\|}		\|}
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)\| Svar 2.1.2a \| Svar b) \| Svar 2.1.2b \| Svar c) \| Svar 2.1.2c \| Lösning a)\| Lösning 2.1.2a \| Lösning b) \| Lösning 2.1.2b \| Lösning c) \| Lösning 2.1.2c}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)\| Svar 2.1.2a \| Svar b) \| Svar 2.1.2b \| Svar c) \| Svar 2.1.2c \| Lösning a)\| Lösning 2.1.2a \| Lösning b) \| Lösning 2.1.2b \| Lösning c) \| Lösning 2.1.2c}}
-

	===Övning 2.1.3===		===Övning 2.1.3===
Rad 31:		Rad 30:
	===Övning 2.1.4===		===Övning 2.1.4===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	~~Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till~~	+	Lös ekvationen <math>-2x^2+10x=12</math> med hjälp av pq-formeln.
-	<math>x^2+ix</math>.	+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.6a \| Lösning\| Lösning 2.1.6a}}

-	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.1.4 \| Lösning \| Lösning 2.1.4}}	+	===Övning 2.1.5*===
		+	<div class="ovning">
		+	Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.8a \| Lösning\| Lösning 2.1.8a}}
		+
		+	===Övning 2.1.6*===
		+	<div class="ovning">
		+	Förenkla <math> (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö) </math>
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.1.9 \| Lösning \| Lösning 2.1.9}}


-	===Övning 2.1.5===	+	==Avsnitt 2.2 Faktorsatsen och polynomdivision==
		+	===Övning 2.2.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.		Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.
Rad 52:		Rad 61:
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)\| Svar 2.1.5a \| Svar b) \| Svar 2.1.5b \| Svar c) \| Svar 2.1.5c \| Lösning a)\| Lösning 2.1.5a \| Lösning b) \| Lösning 2.1.5b \| Lösning c) \| Lösning 2.1.5c}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)\| Svar 2.1.5a \| Svar b) \| Svar 2.1.5b \| Svar c) \| Svar 2.1.5c \| Lösning a)\| Lösning 2.1.5a \| Lösning b) \| Lösning 2.1.5b \| Lösning c) \| Lösning 2.1.5c}}

-	===Övning 2.1.6===	+	===Övning 2.2.2===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	~~Lös ekvationen~~ <math>~~-2x~~^2+~~10x=12~~</math> ~~med hjälp av pq-formeln.~~	+	Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till
-	~~</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.6a \| Lösning\| Lösning 2.1~~.~~6a}}~~	+	<math>x^2+ix</math>.

-	~~===Övning 2.1.7*===~~	+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.1.4 \| Lösning \| Lösning 2.1.4}}
-	~~<div class="ovning">~~	+
-	~~Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter.~~	+
-	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.8a \| Lösning\| Lösning 2.1.8a}}	+

-	~~===Övning 2.1.8*===~~	+	===Övning 2.2.3===
-	~~<div class="ovning">~~	+
-	~~Förenkla <math> (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö) </math>~~	+
-		+
-	~~</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.1.9 \| Lösning \| Lösning 2.1.9}}~~	+
-		+
-		+
-	~~==Avsnitt 2.2 Faktorsatsen och polynomdivision==~~	+
-	===Övning 2.2.1===	+
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att <math>2</math> och <math>5</math> ska vara rötter till polynomet?		Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att <math>2</math> och <math>5</math> ska vara rötter till polynomet?
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.7a \| Lösning\| Lösning 2.1.7a}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.7a \| Lösning\| Lösning 2.1.7a}}

-	===Övning 2.2.2*===	+	===Övning 2.2.4*===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Låt <math>p(x)</math> vara ett polynom som satisfierar <math> p(-x)=-p(x) </math>. Då <math>p(x)</math> delas med <math>x-2</math> får vi en rest på 4. Finn vad vi får för rest då vi delar med <math>x^2-4</math>.		Låt <math>p(x)</math> vara ett polynom som satisfierar <math> p(-x)=-p(x) </math>. Då <math>p(x)</math> delas med <math>x-2</math> får vi en rest på 4. Finn vad vi får för rest då vi delar med <math>x^2-4</math>.
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.2.2 \| Lösning\| Lösning 2.2.2}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.2.2 \| Lösning\| Lösning 2.2.2}}

-	===Övning 2.2.3*===	+	===Övning 2.2.5*===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975)		(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975)

Samuel den 9 juli 2012 kl. 13.19

2012-07-09T13:19:58Z

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2012 kl. 13.19
Rad 95:		Rad 95:

	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-		+	Ett palindrom är något som blir samma sak om man läser det framlänges eller baklänges, t.ex. apa, ABBA och 11011.
	{\| width="100%" cellspacing="10px"		{\| width="100%" cellspacing="10px"
	\|a) Hur många palindromer av längd 6 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?		\|a) Hur många palindromer av längd 6 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?

Samuel den 9 juli 2012 kl. 13.16

2012-07-09T13:16:04Z

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2012 kl. 13.16
Rad 97:		Rad 97:

	{\| width="100%" cellspacing="10px"		{\| width="100%" cellspacing="10px"
-	\|a) Hur många ~~palidromer~~ av längd 6 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?	+	\|a) Hur många palindromer av längd 6 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?
	\|-		\|-
-	\|b) Hur många ~~palidromer~~ av längd 5 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?	+	\|b) Hur många palindromer av längd 5 kan man bilda med hjälp av siffrorna <math>0,1,2,\dots,9</math>?
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|

Samuel den 9 juli 2012 kl. 13.10

2012-07-09T13:10:09Z

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2012 kl. 13.10
Rad 57:		Rad 57:
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.6a \| Lösning\| Lösning 2.1.6a}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.6a \| Lösning\| Lösning 2.1.6a}}

-	===Övning 2.1.7===	+	===Övning 2.1.7*===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter.		Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter.

Samuel den 9 juli 2012 kl. 10.26

2012-07-09T10:26:15Z

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2012 kl. 10.26
Rad 23:		Rad 23:
	===Övning 2.1.3===		===Övning 2.1.3===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Låt <math>p(z)=z^2+z</math>. Hur många komplexa rötter har <math>p(z)</math>? Hur många reella rötter har det? Hitta alla rötter till <math>p(z)</math>.	+	Låt <math>p(z)=z^3+z</math>. Hur många komplexa rötter har <math>p(z)</math>? Hur många reella rötter har det? Hitta alla rötter till <math>p(z)</math>.

	Kan ett polynom ha fler reella än komplexa rötter?		Kan ett polynom ha fler reella än komplexa rötter?

Samuel den 3 juli 2012 kl. 07.34

2012-07-03T07:34:38Z

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2012 kl. 07.34
Rad 72:		Rad 72:
	===Övning 2.2.1===		===Övning 2.2.1===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet?	+	Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att <math>2</math> och <math>5</math> ska vara rötter till polynomet?
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.7a \| Lösning\| Lösning 2.1.7a}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.1.7a \| Lösning\| Lösning 2.1.7a}}

Rad 83:		Rad 83:
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975)		(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975)
-	Låt <math> p(x) </math> vara ett polynom av grad n så att <math>p(k)=1/k</math> för <math> k=1, \ldots ,n+1</math>. Vad är <math>p(n+2) </math>?	+	Låt <math> p(x) </math> vara ett polynom av grad <math>n</math> så att <math>p(k)=1/k</math> för <math> k=1, \ldots ,n+1</math>. Vad är <math>p(n+2) </math>?
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.2.3 \| Lösning\| Lösning 2.2.3}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.2.3 \| Lösning\| Lösning 2.2.3}}

Samuel den 2 juli 2012 kl. 12.40

2012-07-02T12:40:38Z

← Äldre version		Versionen från 2 juli 2012 kl. 12.40
Rad 160:		Rad 160:
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 2.1.1\| Svar b) \| Svar 2.1.1b \| Svar c) \| Svar 2.1.1c \| Svar d) \| Svar 2.1.1d \| Svar e) \| Svar 2.1.1e \| Lösning a) \| Lösning 2.1.1a \| Lösning b) \| Lösning 2.1.1b \| Lösning c) \| Lösning 2.1.1c \| Lösning d) \| Lösning 2.1.1d \| Lösning e) \| Lösning 2.1.1e }}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar a) \| Svar 2.1.1\| Svar b) \| Svar 2.1.1b \| Svar c) \| Svar 2.1.1c \| Svar d) \| Svar 2.1.1d \| Svar e) \| Svar 2.1.1e \| Lösning a) \| Lösning 2.1.1a \| Lösning b) \| Lösning 2.1.1b \| Lösning c) \| Lösning 2.1.1c \| Lösning d) \| Lösning 2.1.1d \| Lösning e) \| Lösning 2.1.1e }}

-	===Övning 2.4.2===	+	===Övning 2.4.2*===
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Är påståendet "Stockholm är Tysklands huvudstad om och endast om staden New York är Sveriges huvudstad" sant?		Är påståendet "Stockholm är Tysklands huvudstad om och endast om staden New York är Sveriges huvudstad" sant?
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.4.2 \| Lösning \| Lösning 2.4.2}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar \| Svar 2.4.2 \| Lösning \| Lösning 2.4.2}}

Samuel den 2 juli 2012 kl. 12.09

2012-07-02T12:09:34Z

← Äldre version		Versionen från 2 juli 2012 kl. 12.09
Rad 83:		Rad 83:
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975)		(Inspirationskälla till problemet:USAMO 1975)
-	Låt <math> p(x) </math> vara ett polynom så att <math>p(k)=1/k</math> för <math> k=1, \ldots ,n+1</math>. Vad är <math>p(n+2) </math>?	+	Låt <math> p(x) </math> vara ett polynom av grad n så att <math>p(k)=1/k</math> för <math> k=1, \ldots ,n+1</math>. Vad är <math>p(n+2) </math>?
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.2.3 \| Lösning\| Lösning 2.2.3}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\| Svar 2.2.3 \| Lösning\| Lösning 2.2.3}}