ZusatzStoffTUB - Versionsgeschichte

Silke2 um 13:02, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 13:02:48 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:02, 4. Nov. 2009
Zeile 443:		Zeile 443:

	Lösungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren <math>\vec{x}</math> bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite <math>\vec{b}</math> ergibt.		Lösungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren <math>\vec{x}</math> bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite <math>\vec{b}</math> ergibt.
-	<math> (x_1,x_2,x_3) \text{~~laesst~~}	+	<math> (x_1,x_2,x_3) \text{löst}
	\begin{array}		\begin{array}
	& x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\		& x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\

Silke2 um 13:01, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 13:01:56 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:01, 4. Nov. 2009
Zeile 196:		Zeile 196:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Beispiel 3'''		'''Beispiel 3'''
		+
	Raumkurven (als Funktion der Zeit)		Raumkurven (als Funktion der Zeit)
	<ol type="a">		<ol type="a">
Zeile 221:		Zeile 222:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Beispiel 4'''		'''Beispiel 4'''
		+
	Funktionen des Ortes		Funktionen des Ortes
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li>	+	<li> Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt
-	~~<br~~>Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt	+
	<br><math>f: R^2 \rightarrow R		<br><math>f: R^2 \rightarrow R
	<br>f(x,y)= Wolkendichte in %		<br>f(x,y)= Wolkendichte in %
	<br>"Skalarwertig"		<br>"Skalarwertig"
	</li>		</li>
-	<li>	+	<li> wie oben: Sattellitenfilm,
-	~~<br~~>wie oben: Sattellitenfilm,	+
	<br>In jedem Punkt: Wolkengeschw.		<br>In jedem Punkt: Wolkengeschw.
	<br>f: <math> R^2 \rightarrow R^2</math>		<br>f: <math> R^2 \rightarrow R^2</math>
Zeile 310:		Zeile 310:

	'''Größere Gleichungssysteme: Systematisches Lösen (1. Fall)'''		'''Größere Gleichungssysteme: Systematisches Lösen (1. Fall)'''
		+
		+	Ergänze: Erklären der Systematik.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 412:		Zeile 414:
	</math>		</math>

-	~~Die Gleichungen sind~~ unterbestimmt. Die Lösung ist hier nur in Abhänigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.	+	Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Die Lösung ist hier nur in Abhänigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.

	z.B.		z.B.
Zeile 428:		Zeile 430:
	Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.		Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.

-	<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 & 5\cdot 2 & 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 & 5\cdot 5 & 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 & 5\cdot 8 & 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}</math>	+	<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 + 5\cdot 2 + 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 + 5\cdot 5 + 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 + 5\cdot 8 + 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}</math>

	Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.		Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.

Silke2 um 12:58, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 12:58:22 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:58, 4. Nov. 2009
Zeile 215:		Zeile 215:
	Drehscheibe MP:(0,0)		Drehscheibe MP:(0,0)
	</li>		</li>
		+	</ol>
		+	</div>
		+
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Beispiel 4'''
		+	Funktionen des Ortes
		+	<ol type="a">
	<li>		<li>
	<br>Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt		<br>Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt
Zeile 230:		Zeile 238:
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
-

	== 3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen==		== 3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen==

Silke2 um 12:54, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 12:54:14 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:54, 4. Nov. 2009
Zeile 24:		Zeile 24:

	Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (später wird das auf allgemeinen Vektorräumen ausgedehnt / verallgemeinert)		Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (später wird das auf allgemeinen Vektorräumen ausgedehnt / verallgemeinert)
		+
		+	== B - Karthesisches Koordinatensystem ==
		+
		+	Rechtssystem definieren (wird unten benutzt).

	== C - (Standart-)Skalarprodukt im <math>R^3</math> ("Punktprodukt")==		== C - (Standart-)Skalarprodukt im <math>R^3</math> ("Punktprodukt")==
Zeile 109:		Zeile 113:

	== D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")==		== D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")==
-	Eine weitere Möglichkeit Vektoren zu verknüpfen bietet das das Kreuzprodukt.	+	Eine weitere Möglichkeit Vektoren aus dem <math> R^3 </math> zu verknüpfen bietet das das Kreuzprodukt.

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 115:		Zeile 119:
	<math>\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}</math>.		<math>\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}</math>.
	</div>		</div>
		+
		+	Beispiele einfügen. Einfach zum Ausrechnen. Dann Bsp. fuer: Parallele Vektoren haben Kreuzprodukt Null

	'''Eigenschaften von <math>\vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}</math>'''		'''Eigenschaften von <math>\vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}</math>'''
Zeile 150:		Zeile 156:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Beispiel 2'''	+	'''Beispiel 2 a) '''
		+	BILD
		+	Winkelbeschleunigung.
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Beispiel 2 b)'''
	BILD		BILD
	Ladung q mit Geschw. <math> \vec{v}</math> in Feld <math> \vec{B}</math>		Ladung q mit Geschw. <math> \vec{v}</math> in Feld <math> \vec{B}</math>
	<math> \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}</math>.		<math> \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}</math>.
	</div>		</div>
		+
		+

	== E - Spatprodukt ==		== E - Spatprodukt ==
Zeile 184:		Zeile 198:
	Raumkurven (als Funktion der Zeit)		Raumkurven (als Funktion der Zeit)
	<ol type="a">		<ol type="a">
		+	<li> Flugkurve / Bewegung entlang einer Gerade im Raum.
		+	<br><math>f: R \rightarrow R^3</math>
		+	<br><math>t \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\1 \\2 \end{pmatrix} + t\, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
		+	</li>
	<li>		<li>
	Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit		Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit

Silke2 um 12:45, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 12:45:08 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:45, 4. Nov. 2009
Zeile 50:		Zeile 50:
	</div>		</div>

-	Beispiel ~~einfügen.~~	+	<div class="exempel">
		+	''' Beispiel 1'''
		+	<br>
		+	<math>\cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{\|\|\vec{v}\|\| \|\|\vec{w}\|\|}</math>
		+	<math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
		+	<math>\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669</math>
		+
		+	<br><math>\Rightarrow</math> Winkel zwischen a,b : <math>\angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}</math>
		+	</div>

	Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:		Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:
Zeile 87:		Zeile 95:
	<br>also		<br>also
	<math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math> </div>		<math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math> </div>
-	<br>(vgl. <math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>~~, dieses beweist damit, dass der~~ Satz des Pytagoras ~~auch~~ im 3 dimensonalen ~~gilt~~)	+	<br>(vgl. den Satz des Pythagoras <math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>. Die obige Formel lässt sich also als Analogon zum Satz des Pytagoras im 3 dimensonalen Raum interpretieren.)
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>
Zeile 98:		Zeile 106:
	<li>eine schnelle Möglichkeit um heraus zu finden ob Winkel senkrecht zueinander sind		<li>eine schnelle Möglichkeit um heraus zu finden ob Winkel senkrecht zueinander sind
	</ul>		</ul>
-	</div>
-
-
-	<div class="exempel">
-	''' Beispiel 1'''
-	<br>
-	<math>\cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{\|\|\vec{v}\|\| \|\|\vec{w}\|\|}</math>
-	<math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
-	<math>\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669</math>
-
-	<br><math>\Rightarrow</math> Winkel zwischen a,b : <math>\angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}</math>
	</div>		</div>

Silke2 um 12:41, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 12:41:57 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:41, 4. Nov. 2009
Zeile 82:		Zeile 82:
	</li>		</li>
	<li>		<li>
		+	<div class="regel">
	Für <math>\vec{v}= \vec{w}</math> ist		Für <math>\vec{v}= \vec{w}</math> ist
	<math><\vec{v},\vec{v}>=\|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{0}=\|\|\vec{v}\|\|^2</math>		<math><\vec{v},\vec{v}>=\|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{0}=\|\|\vec{v}\|\|^2</math>
	<br>also		<br>also
-	<math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math>	+	<math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math> </div>
	<br>(vgl. <math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>, dieses beweist damit, dass der Satz des Pytagoras auch im 3 dimensonalen gilt)		<br>(vgl. <math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>, dieses beweist damit, dass der Satz des Pytagoras auch im 3 dimensonalen gilt)
	</li>		</li>

Silke2 um 12:40, 4. Nov. 2009

Silke2 — Wed, 04 Nov 2009 12:40:46 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:40, 4. Nov. 2009
Zeile 21:		Zeile 21:

	== A - Vektoren des <math>R^3</math> ==		== A - Vektoren des <math>R^3</math> ==
-	BESCHREIBUNG	+	BESCHREIBUNG
		+
		+	Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (später wird das auf allgemeinen Vektorräumen ausgedehnt / verallgemeinert)

	== C - (Standart-)Skalarprodukt im <math>R^3</math> ("Punktprodukt")==		== C - (Standart-)Skalarprodukt im <math>R^3</math> ("Punktprodukt")==
Zeile 35:		Zeile 37:
	<br>(analog im <math>R^2</math>		<br>(analog im <math>R^2</math>
	<math><\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2</math>)		<math><\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2</math>)
		+
		+	Zwei Besipiele einfügen <math> R^2 , R^3 </math>.

	Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobei man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhält, während man bei der skalaren Multiplikation einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhählt.		Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobei man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhält, während man bei der skalaren Multiplikation einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhählt.
Zeile 46:		Zeile 50:
	</div>		</div>

		+	Beispiel einfügen.

	Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:		Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:
Zeile 61:		Zeile 66:
	<br><math>\phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=\|\|\vec{w} \|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma}</math>		<br><math>\phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=\|\|\vec{w} \|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma}</math>

-	Die Begründung ist für alle Vektoren gültig, da man alle Vektoren <math>\vec{v}, \vec{w} \in R^2</math> so drehen kann, dass <math> \vec{w}</math> parallel zur x-Achse ist und <math> \vec{v}</math> in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unverändert~~. In der Linearen Algebra für Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklärt~~.	+	Die Begründung ist für alle Vektoren gültig, da man alle Vektoren <math>\vec{v}, \vec{w} \in R^3</math> so drehen kann, dass <math> \vec{w}</math> parallel zur x-Achse ist und <math> \vec{v}</math> in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unverändert.

	'''Folgerungen'''		'''Folgerungen'''
Zeile 68:		Zeile 73:
	<ol>		<ol>
	<li>		<li>
		+	<div class="regel">
	Für <math>\vec{v}, \vec{w} \ne 0</math> ist		Für <math>\vec{v}, \vec{w} \ne 0</math> ist
	<br><math> <\vec{v}, \vec{w}>=0 </math>		<br><math> <\vec{v}, \vec{w}>=0 </math>
Zeile 73:		Zeile 79:
	<br><math>\Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}</math>		<br><math>\Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}</math>
	<br>"<math> \vec{v}</math> orthogonal zu <math> \vec{w}</math>"		<br>"<math> \vec{v}</math> orthogonal zu <math> \vec{w}</math>"
		+	</div>
	</li>		</li>
	<li>		<li>

Moni um 11:48, 10. Okt. 2009

Moni — Sat, 10 Oct 2009 11:48:44 GMT

(Unterschied zwischen Versionen)

Moni um 14:44, 8. Okt. 2009

Moni — Thu, 08 Oct 2009 14:44:00 GMT

(Unterschied zwischen Versionen)

Moni um 14:14, 8. Okt. 2009

Moni — Thu, 08 Oct 2009 14:14:04 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:14, 8. Okt. 2009
Zeile 34:		Zeile 34:

	<br>(analog im <math>R^2</math>		<br>(analog im <math>R^2</math>
-	~~<br>~~<math><\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2</math>)	+	<math><\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2</math>)

	Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.		Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.
Zeile 46:		Zeile 46:
	</div>		</div>

-	~~Eine Begruendung hierfuer ist~~:	+
		+	Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begruenden:
		+
	Betrachte die Vektoren <math>\vec{v},\vec{w}</math>		Betrachte die Vektoren <math>\vec{v},\vec{w}</math>
-	BILD	+	BILD (Vektoren v und w, w ist parallel zur x-Achse)
	<br><math>\vec{w}= \begin{pmatrix} \|\|\vec{w} \|\| \\ 0 \end{pmatrix}</math> , <math>\vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>		<br><math>\vec{w}= \begin{pmatrix} \|\|\vec{w} \|\| \\ 0 \end{pmatrix}</math> , <math>\vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>
-	<br><math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{a^2+b^2}</math> ~~<math>~~<math>\|\|\vec{w}\|\|=\|\|\vec{w} \|\|</math>	+	<br><math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{a^2+b^2}</math> <math>\|\|\vec{w}\|\|=\|\|\vec{w} \|\|</math>
		+
		+
	<br><math>\cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{\|\|\vec{v}\|\|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=\|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma} </math>		<br><math>\cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{\|\|\vec{v}\|\|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=\|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma} </math>
	<br>Dann ist		<br>Dann ist
		+
		+
	<br><math><\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} \|\|\vec{w} \|\| \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} \|\|\vec{w} \|\| \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= \|\|\vec{w} \|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b</math>		<br><math><\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} \|\|\vec{w} \|\| \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} \|\|\vec{w} \|\| \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= \|\|\vec{w} \|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b</math>
-	<math>\phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=\|\|\vec{w} \|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma}</math>

-	Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man ~~die~~ Vektoren so drehen kann, dass <math> \vec{w}</math> parallel zur x-Achse ist und <math> \vec{v}</math> in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.	+	<br><math>\phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=\|\|\vec{w} \|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{\gamma}</math>
		+
		+	Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man alle Vektoren <math>\vec{v}, \vec{w} \in R^2</math> so drehen kann, dass <math> \vec{w}</math> parallel zur x-Achse ist und <math> \vec{v}</math> in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.

	==Folgerungen==		==Folgerungen==
Zeile 64:		Zeile 71:
	<li>		<li>
	Fuer <math>\vec{v}, \vec{w} \ne 0</math> ist		Fuer <math>\vec{v}, \vec{w} \ne 0</math> ist
-	<math> <\vec{v}, \vec{w}>=0 \Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0</math><math>\Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}</math>	+	<br><math> <\vec{v}, \vec{w}>=0 </math>
-	"<math> \vec{v}</math> orthogonal zu <math> \vec{w}</math>"	+	<br><math>\Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0</math>
		+	<br><math>\Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}</math>
		+	<br>"<math> \vec{v}</math> orthogonal zu <math> \vec{w}</math>"
	</li>		</li>
	<li>		<li>
	Fuer <math>\vec{v}= \vec{w}</math> ist		Fuer <math>\vec{v}= \vec{w}</math> ist
	<math><\vec{v},\vec{v}>=\|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{0}=\|\|\vec{v}\|\|^2</math>		<math><\vec{v},\vec{v}>=\|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{v}\|\| \cdot \cos{0}=\|\|\vec{v}\|\|^2</math>
-	also	+	<br>also
	<math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math>		<math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math>
-	(vgl. <math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>, Pytagoras 3D)	+	<br>(vgl. <math>\|\|\vec{v}\|\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>, dieses beweist damit, dass der Satz des Pytagoras auch im 3 dimensonalen gilt)
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>
Zeile 87:		Zeile 96:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	''' Beispiel '''	+	''' Beispiel 1'''
		+	<br>
	<math>\cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{\|\|\vec{v}\|\| \|\|\vec{w}\|\|}</math>		<math>\cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{\|\|\vec{v}\|\| \|\|\vec{w}\|\|}</math>
	<math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math>		<math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
	<math>\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669</math>		<math>\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669</math>
		+
	<br><math>\Rightarrow</math> Winkel zwischen a,b : <math>\angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}</math>		<br><math>\Rightarrow</math> Winkel zwischen a,b : <math>\angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}</math>
	</div>		</div>

-	== Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")==	+	== D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")==
	Eine weitere Moeglichkeit Vektoren zu verknuepfen bietet das das Kreuzprodukt.		Eine weitere Moeglichkeit Vektoren zu verknuepfen bietet das das Kreuzprodukt.

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	<li>		<li>
	<math>\vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}</math>		<math>\vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}</math>
		+
		+	<br>
		+	<math> <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3</math>
		+	<math>=v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0</math>
		+	Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
		+
		+	Dieses gilt analog fuer <math> <\vec{u}, \vec{w}></math>.
	</li>		</li>
	<li>		<li>
	<math>\|\|\vec{u}\|\|= \|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{w}\|\| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>		<math>\|\|\vec{u}\|\|= \|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{w}\|\| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>
		+	<br>
		+	<math>\|\|\vec{u}\|\|= \|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{w}\|\| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w})}</math>
		+	<br>ist der Flaecheninhalt des von <math>\vec{v}, \vec{w}</math> aufgespannten Parallelogramms.
		+	<math>h = \|\|\vec{w} \|\| \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>
		+	BILD
	</li>		</li>
	<li>		<li>
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	'''Bemerkungen und Beweise'''		'''Bemerkungen und Beweise'''
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-	zu 1.
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-	<math> <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3</math>
-	<math>=v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0</math>
-	Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
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-	Dieses gilt analog fuer <math> <\vec{u}, \vec{w}></math>.
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-	zu 2.
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-	<math>\|\|\vec{u}\|\|= \|\|\vec{v}\|\| \cdot \|\|\vec{w}\|\| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w})}</math>
-	<br>ist der Flaecheninhalt des von <math>\vec{v}, \vec{w}</math> aufgespannten Parallelogramms.
-	<math>h = \|\|\vec{w} \|\| \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>
-	BILD
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