Lösung 3.4:4 - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 11:56, 4. Sep. 2009

Sekretariat1 — Fri, 04 Sep 2009 11:56:56 GMT

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	enthalten, also ist		enthalten, also ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math> ,}}

	wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision		wobei <math>z-A</math> der Faktor ist, der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

Sekretariat1 um 11:56, 4. Sep. 2009

Sekretariat1 — Fri, 04 Sep 2009 11:56:35 GMT

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Zeile 19:		Zeile 19:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Dies ergibt~~ <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.	+	Daraus folgt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.

	Die Gleichung ist daher		Die Gleichung ist daher

Sekretariat1 um 11:56, 4. Sep. 2009

Sekretariat1 — Fri, 04 Sep 2009 11:56:08 GMT

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Zeile 12:		Zeile 12:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~und erhalten~~	+	Das ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}

Sekretariat1 um 11:55, 4. Sep. 2009

Sekretariat1 — Fri, 04 Sep 2009 11:55:31 GMT

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Zeile 4:		Zeile 4:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Nachdem~~ diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten	+	Da diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}

Sekretariat1 um 11:54, 4. Sep. 2009

Sekretariat1 — Fri, 04 Sep 2009 11:54:58 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Nachdem~~ <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir	+	Da <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
	<math>z=1-2i</math> substituieren		<math>z=1-2i</math> substituieren

Sekretariat1 um 11:54, 4. Sep. 2009

Sekretariat1 — Fri, 04 Sep 2009 11:54:41 GMT

Moni um 08:54, 25. Aug. 2009

Moni — Tue, 25 Aug 2009 08:54:36 GMT

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Zeile 27:		Zeile 27:
	und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.		und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.

-	~~Nachdem~~ das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.	+	Da das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.

	Also wird das Polynom den Faktor		Also wird das Polynom den Faktor

Moni um 08:53, 25. Aug. 2009

Moni — Tue, 25 Aug 2009 08:53:25 GMT

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Zeile 27:		Zeile 27:
	und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.		und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.

-	Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch <math>z=1+2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist.	+	Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir, dass auch <math> z=1+2i </math> eine Wurzel der Gleichung ist.

	Also wird das Polynom den Faktor		Also wird das Polynom den Faktor
Zeile 33:		Zeile 33:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}

-	enthalten, ~~und~~ also ist	+	enthalten, also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}

Martin um 14:18, 21. Mai 2009

Martin — Thu, 21 May 2009 14:18:57 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel ~~(Nullstelle)~~ der Gleichung ist, können wir	+	Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist, können wir
	<math>z=1-2i</math> substituieren,		<math>z=1-2i</math> substituieren,

Martin um 14:10, 21. Mai 2009

Martin — Thu, 21 May 2009 14:10:19 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Because~~ <math>z=1-2i</math> ~~should be a root of the equation~~, ~~we can substitute~~	+	Nachdem <math>z=1-2i</math> eine Wurzel (Nullstelle) der Gleichung ist, können wir
-	<math>z=1-2i</math> ~~in and the equation should be satisfied~~,	+	<math>z=1-2i</math> substituieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1-2i)^3 + a(1-2i) + b = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We will therefore adjust the constants~~ <math>a</math> ~~and~~ <math>b</math> ~~so that the relation above holds~~. ~~We simplify the left-hand side~~,	+	Nachdem diese Gleichung erfüllt sein muss, können wir <math>a</math> und <math>b</math> bestimmen. Wir vereinfachen die linke Seite und erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-11+2i+a(1-2i)+b=0</math>}}

-	~~and collect together the real and imaginary parts~~,	+	und separieren den Real- und Imaginärteil,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(-11+a+b)+(2-2a)i=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If the left-hand side is to equal the right-hand side~~, ~~the left-hand side's real and imaginary parts must be equal to zero, i.e.~~	+	und erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19:		Zeile 19:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~This gives~~ <math>a=1</math> ~~and~~ <math>b=10</math>.	+	Dies ergibt <math>a=1</math> und <math>b=10</math>.

-	~~The equation is thus~~	+	Die Gleichung ist daher

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10=0</math>}}

-	~~and has the prescribed root~~ <math>z=1-2i</math>.	+	und hat die eine Wurzel <math>z=1-2i</math>.

-	~~What we have is a polynomial with real coefficients and we therefore know that the equation has,~~ in ~~addition~~, ~~the complex conjugate root~~ <math>z=1+2i</math>.	+	Nachdem das Polynom in der Gleichung reelle Koeffizienten hat, wissen wir dass auch <math>z=1+2i</math> eine Wurzel der Gleichung ist.

-	~~Hence, we know two of the equation's three roots and we can obtain the third root with help of the factor theorem. According to the factor theorem, the equation's left-hand side contains the factor~~	+	Also wird das Polynom den Faktor

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(z-(1-2i)\bigr)\bigl(z-(1+2i)\bigr)=z^2-2z+5</math>}}

-	~~and this means that we can write~~	+	enthalten, und also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3+z+10 = (z-A)(z^2-2z+5)</math>}}

-	~~where~~ <math>z-A</math> ~~is the factor which corresponds to the third root <math>z=A</math>~~. ~~Using polynomial division, we obtain the factor~~	+	wo <math>z-A</math> der Faktor ist der der dritten Wurzel entspricht. Wir erhalten den Faktor durch Polynomdivision

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 49:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Thus, the remaining root is~~ <math>z=-2</math>.	+	Also ist die letzte Wurzel <math>z=-2</math>.