Lösung 3.3:5c - Versionsgeschichte

Stefanie um 15:20, 15. Okt. 2009

Stefanie — Thu, 15 Oct 2009 15:20:55 GMT

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Zeile 10:		Zeile 10:
	Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>, erhalten wir die Gleichung		Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>, erhalten wir die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}

	Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.		Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.

Sekretariat1 um 13:37, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 13:37:40 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:37, 3. Sep. 2009
Zeile 72:		Zeile 72:
	\|\|		\|\|
	\|\|<math>{}={}</math>		\|\|<math>{}={}</math>
-	\|align="right"\|<math>\tfrac{9}{2}</math>	+	\|align="right"\|<math>\tfrac{9}{2}</math> .
	\|}		\|}

Zeile 99:		Zeile 99:
	\|align="right"\|<math>2y^2</math>		\|align="right"\|<math>2y^2</math>
	\|\|<math>{}={}</math>		\|\|<math>{}={}</math>
-	\|align="right"\|<math>\tfrac{1}{2}</math>	+	\|align="right"\|<math>\tfrac{1}{2}</math> .
	\|}		\|}

Sekretariat1 um 13:29, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 13:29:56 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:29, 3. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung,	+	Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\\[5pt]
-	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\\[5pt]
-	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\\[5pt]
-	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,,	+	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> erhalten wir die Gleichung	+	Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>, erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 18:		Zeile 18:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}

-	wir erweitern die linke Seite	+	und wir erweitern die linke Seite

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 29:		Zeile 29:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich	+	Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung, die wir verwenden können, nämlich

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>.}}

-	Berechnen wir den ~~betrag~~ von beiden Seiten erhalten wir	+	Berechnen wir den Betrag von beiden Seiten, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>,}}

	also		also
Zeile 41:		Zeile 41:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	Jetzt haben wir drei Gleichungen,	+	Jetzt haben wir drei Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 49:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir	+	Addieren wir die erste Gleichung zur dritten, erhalten wir
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 75:		Zeile 75:
	\|}		\|}

-	und ~~dies~~ ergibt <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>.	+	und das ergibt <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
-	Subtrahieren wir die erste Gleichung von der ~~Dritten~~, erhalten wir,	+	Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 102:		Zeile 102:
	\|}		\|}

-	~~Und also~~ ist <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. ~~Dies~~ ergibt vier mögliche Lösungen.	+	Also ist <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. Das ergibt vier mögliche Lösungen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 124:		Zeile 124:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung, <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, nämlich	+	Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, nämlich

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 133:		Zeile 133:
	\left\{\begin{align}		\left\{\begin{align}
	x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]		x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]
-	y &= \tfrac{1}{2}	+	y &= \tfrac{1}{2}\,.
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

	Daher erhalten wir die Lösungen		Daher erhalten wir die Lösungen

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}~~\,,~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}</math>}}

-	oder, in <math>z</math>,	+	oder in <math>z</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben,	+	Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Moni um 10:01, 23. Aug. 2009

Moni — Sun, 23 Aug 2009 10:01:35 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:01, 23. Aug. 2009
Zeile 12:		Zeile 12:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}

-	Gleichungen wie diese ~~Löst~~ man normalerweise mit ~~den~~ Moivreschen Satz. In ~~diesen~~ Fall entsteht aber ~~dass~~ Problem das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein, und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.	+	Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.

	Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung		Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung
Zeile 130:		Zeile 130:
	y &= -\tfrac{1}{2}		y &= -\tfrac{1}{2}
	\end{align}\right.		\end{align}\right.
-	\qquad\text{~~and~~}\qquad	+	\qquad\text{und}\qquad
	\left\{\begin{align}		\left\{\begin{align}
	x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]		x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt]
Zeile 138:		Zeile 138:
	Daher erhalten wir die Lösungen		Daher erhalten wir die Lösungen

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> ~~and~~ <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}}

	oder, in <math>z</math>,		oder, in <math>z</math>,
Zeile 144:		Zeile 144:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben,	+	Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben,

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Martin um 17:02, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 17:02:56 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:02, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~As usual we begin by completing the square~~,	+	Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 8:		Zeile 8:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and if we treat~~ <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> ~~as unknown, we have the equation~~	+	Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}

-	Up until now, we have solved binomial equations of this type by going over to polar form, but if we were to do that in this case, we would have a problem with determining the exact value of the argument of the right-hand side. ~~Instead, we put~~ <math>w=x+iy</math> ~~and try to obtain~~ <math>x</math> ~~and~~ <math>y</math> ~~from the equation~~.	+	Gleichungen wie diese Löst man normalerweise mit den Moivreschen Satz. In diesen Fall entsteht aber dass Problem das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein, und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.

-	~~With~~ <math>w=x+iy</math>, ~~the equation becomes~~	+	Substituieren wir <math>w=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}

-	~~and, with the left-hand side expanded,~~	+	wir erweitern die linke Seite

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If we set the real and imaginary part of both sides equal~~, ~~we obtain the equation system~~	+	Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 29:		Zeile 29:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~We would very well be able to solve this system~~, ~~but there is a further relation that we can obtain which will simplify the calculations. If we go back to the relation~~	+	Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}

-	~~and take the modulus of both sides, we obtain~~	+	Berechnen wir den betrag von beiden Seiten erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}}

-	~~i.e.~~	+	also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We add this relation to our two other equations~~,	+	Jetzt haben wir drei Gleichungen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 49:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Now, add the first and third equations~~	+	Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 75:		Zeile 75:
	\|}		\|}

-	~~which gives that~~ <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>. ~~Then~~, ~~subtracting the first equation from the third~~,	+	und dies ergibt <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
		+	Subtrahieren wir die erste Gleichung von der Dritten, erhalten wir,
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 101:		Zeile 102:
	\|}		\|}

-	~~we get~~ <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. ~~This gives potentially four solutions to the equation system,~~	+	Und also ist <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. Dies ergibt vier mögliche Lösungen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 123:		Zeile 124:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~but only two of these satisfy the second equation~~ <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, ~~namely~~	+	Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung, <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, nämlich

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 135:		Zeile 136:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Hence, we have that the solutions are~~	+	Daher erhalten wir die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> and <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> and <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}}

-	or, ~~expressed~~ in <math>z</math>,	+	oder, in <math>z</math>,

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> ~~and~~ <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Because the calculation has been rather long, there is the risk that we have calculated incorrectly somewhere and we therefore check that the solutions satisfy the equation~~ in ~~the exercise~~,	+	Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben,

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Tekbot: Solution 3.3:5c moved to Lösung 3.3:5c: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:49:15 GMT

Solution 3.3:5c moved to Lösung 3.3:5c: Robot: moved page

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Version vom 10:49, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 13:14:04 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:14, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	As usual we begin by completing the square,		As usual we begin by completing the square,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\,,\\[5pt]		\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\,,\\[5pt]
	\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\,,\\[5pt]		\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\,,\\[5pt]
Zeile 10:		Zeile 10:
	and if we treat <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> as unknown, we have the equation		and if we treat <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> as unknown, we have the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}

	Up until now, we have solved binomial equations of this type by going over to polar form, but if we were to do that in this case, we would have a problem with determining the exact value of the argument of the right-hand side. Instead, we put <math>w=x+iy</math> and try to obtain <math>x</math> and <math>y</math> from the equation.		Up until now, we have solved binomial equations of this type by going over to polar form, but if we were to do that in this case, we would have a problem with determining the exact value of the argument of the right-hand side. Instead, we put <math>w=x+iy</math> and try to obtain <math>x</math> and <math>y</math> from the equation.
Zeile 16:		Zeile 16:
	With <math>w=x+iy</math>, the equation becomes		With <math>w=x+iy</math>, the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}

	and, with the left-hand side expanded,		and, with the left-hand side expanded,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}

	If we set the real and imaginary part of both sides equal, we obtain the equation system		If we set the real and imaginary part of both sides equal, we obtain the equation system

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x^2-y^2 &= 2\\[5pt]		x^2-y^2 &= 2\\[5pt]
	2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.}		2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.}
Zeile 31:		Zeile 31:
	We would very well be able to solve this system, but there is a further relation that we can obtain which will simplify the calculations. If we go back to the relation		We would very well be able to solve this system, but there is a further relation that we can obtain which will simplify the calculations. If we go back to the relation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}}

	and take the modulus of both sides, we obtain		and take the modulus of both sides, we obtain

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}}

	i.e.		i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}

	We add this relation to our two other equations,		We add this relation to our two other equations,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt]		x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt]
	2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt]		2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt]
Zeile 103:		Zeile 103:
	we get <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. This gives potentially four solutions to the equation system,		we get <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. This gives potentially four solutions to the equation system,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]		x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]
	y &= \tfrac{1}{2}		y &= \tfrac{1}{2}
Zeile 125:		Zeile 125:
	but only two of these satisfy the second equation <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, namely		but only two of these satisfy the second equation <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, namely

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]		x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt]
	y &= -\tfrac{1}{2}		y &= -\tfrac{1}{2}
Zeile 137:		Zeile 137:
	Hence, we have that the solutions are		Hence, we have that the solutions are

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> and <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> and <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}\,,</math>}}

	or, expressed in <math>z</math>,		or, expressed in <math>z</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=2+i\quad</math> and <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=2+i\quad</math> and <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}}

	Because the calculation has been rather long, there is the risk that we have calculated incorrectly somewhere and we therefore check that the solutions satisfy the equation in the exercise,		Because the calculation has been rather long, there is the risk that we have calculated incorrectly somewhere and we therefore check that the solutions satisfy the equation in the exercise,

Tek um 07:56, 31. Okt. 2008

Tek — Fri, 31 Oct 2008 07:56:14 GMT

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-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	As usual we begin by completing the square,
-	~~<center> [[Image:3_3_5c~~-1(4).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>\begin{align}
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_5c~~-2(4).~~gif]]~~ </~~center~~>	+	& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1+3i}{2} \right)^{2}-4+3i=0 \\
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4}+\frac{3}{2}i+\frac{9}{4}i^{2} \right)-4+3i=0 \\
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}i+\frac{9}{4}-4+3i=0 \\
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_5c~~-3~~(4)~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+	& \left( z-\frac{1+3i}{2} \right)^{2}-2+\frac{3}{2}i=0 \\
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	\end{align}</math>
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~3_3_5c~~-4(4)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	and if we treat as unknown, we have the equation's
		+
		+
		+	<math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>
		+
		+
		+	Up until now, we have solved binomial equations of this type by going over to polar form, but if we were to do that in this case, we would have a problem with determining the exact value of the argument of the right-hand side. Instead, we put
		+	<math>w=x+iy</math>
		+	and try to obtain
		+	<math>x</math>
		+	and
		+	<math>y</math>
		+	from the equation.
		+
		+	With
		+	<math>w=x+iy</math>, the equation becomes
		+
		+
		+	<math>\left( x+iy \right)^{2}=2-\frac{3}{2}i</math>
		+
		+
		+	and, with the left-hand side expanded,
		+
		+
		+	<math>x^{2}-y^{2}+2xyi=2-\frac{3}{2}i</math>
		+
		+
		+	If we set the real and imaginary part of both sides equal, we obtain the equation system
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x^{2}-y^{2}=2 \\
		+	2xy=-\frac{3}{2} \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	We would very well be able to solve this system, but there is a further relation that we can obtain which will simplify the calculations. If we go back to the relation
		+
		+
		+	<math>\left( x+iy \right)^{2}=2-\frac{3}{2}i</math>
		+
		+
		+	and take the modulus of both sides, we obtain
		+
		+
		+	<math>x^{2}+y^{2}=\sqrt{2^{2}+\left( -\frac{3}{2} \right)^{2}}</math>
		+
		+
		+
		+	i.e.
		+
		+
		+	<math>x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}</math>
		+
		+
		+	We add this relation to our two other equations:
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x^{2}-y^{2}=2 \\
		+	2xy=-\frac{3}{2} \\
		+	x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2} \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	Now, add the first and third equations
		+
		+	EQU1
		+
		+	which gives that
		+	<math>y=\pm \frac{3}{2}</math>. Then, subtracting the first equation from the third,
		+
		+	EQU2
		+
		+
		+	we get
		+	<math>y=\pm \frac{1}{2}</math>. This gives potentially four solutions to the equation system,
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x=\frac{3}{2} \\
		+	y=\frac{1}{2} \\
		+	\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x=\frac{3}{2} \\
		+	y=-\frac{1}{2} \\
		+	\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x=-\frac{3}{2} \\
		+	y=\frac{1}{2} \\
		+	\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x=-\frac{3}{2} \\
		+	y=-\frac{1}{2} \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	but only two of these satisfy the second equation
		+	<math>2xy=-\frac{3}{2}</math>, namely
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x=\frac{3}{2} \\
		+	y=-\frac{1}{2} \\
		+	\end{array} \right.\quad \quad \text{and}\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	x=-\frac{3}{2} \\
		+	y=\frac{1}{2} \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	Hence, we have that the solutions are
		+
		+
		+	<math>w=\frac{3-i}{2}</math>
		+	and
		+	<math>w=\frac{-3+i}{2}</math>
		+
		+
		+	or, expressed in
		+	<math>z</math>,
		+
		+
		+	<math>z=2+i</math>
		+	and
		+	<math>z=-1+2i</math>
		+
		+
		+	Because the calculation has been rather long, there is the risk that we have calculated incorrectly somewhere and we therefore check that the solutions satisfy the equation in the exercise:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=2+i:\quad z^{2}-\left( 1+3i \right)z-4+3i=\left( 2+i \right)^{2}-\left( 1+3i \right)\left( 2+i \right)-4+3i \\
		+	& =4+4i+i^{2}-\left( 2+i+6i+3i^{2} \right)-4+3i \\
		+	& =4+4i-1-2-7i+3-4+3i=0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=-1+2i:\quad z^{2}-\left( 1+3i \right)z-4+3i=\left( -1+2i \right)^{2}-\left( 1+3i \right)\left( -1+2i \right)-4+3i \\
		+	& =\left( -1 \right)^{2}-4i+4i^{2}-\left( -1+2i-3i+6i^{2} \right)-4+3i \\
		+	& =1-4i-4+1+i+6-4+3i=0 \\
		+	\end{align}</math>

Tekbot: Lösning 3.3:5c moved to Solution 3.3:5c: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 15:09:41 GMT

Lösning 3.3:5c moved to Solution 3.3:5c: Robot: moved page

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