Lösung 3.3:5a - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 13:16, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 13:16:30 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.		Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.

-	Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir,	+	Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\\[5pt]
-	(z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0~~\,,~~\\[5pt]	+	(z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\\[5pt]
-	(z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	(z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0\\[5pt]
	(z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.}		(z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und wir~~ erhalten die Wurzeln	+	Wir erhalten die Wurzeln

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
Zeile 17:		Zeile 17:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung,	+	Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Martin um 16:49, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 16:49:45 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Even if the equation contains complex numbers as coefficients~~, ~~we treat is as an ordinary second-degree equation and solve it by completing the square taking the square root~~.	+	Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.

-	~~We complete the square on the left-hand side~~,	+	Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 10:		Zeile 10:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Now, we see that the equation has the solutions~~	+	und wir erhalten die Wurzeln

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
Zeile 17:		Zeile 17:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~We test the solutions~~,	+	Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung,

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:48:35 GMT

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Version vom 10:48, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 13:13:44 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

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Zeile 3:		Zeile 3:
	We complete the square on the left-hand side,		We complete the square on the left-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\,,\\[5pt]		(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\,,\\[5pt]
	(z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\,,\\[5pt]		(z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\,,\\[5pt]
Zeile 12:		Zeile 12:
	Now, we see that the equation has the solutions		Now, we see that the equation has the solutions

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
	&2+i\,,\\		&2+i\,,\\
	&i\,\textrm{.}		&i\,\textrm{.}

Tek um 15:20, 30. Okt. 2008

Tek — Thu, 30 Oct 2008 15:20:20 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:20, 30. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Even if the equation contains complex numbers as coefficients, we treat is as an ordinary second-degree equation and solve it by completing the square taking the root.	+	Even if the equation contains complex numbers as coefficients, we treat is as an ordinary second-degree equation and solve it by completing the square taking the square root.

-	We complete the square on the left-hand side:	+	We complete the square on the left-hand side,
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-\left( 1+i \right)^{2}+2i-1=0 \\~~	+
-	~~& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-\left( 1+2i+i^{2} \right)+2i-1=0 \\~~	+
-	~~& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-1-2i+1+2i-1=0 \\~~	+
-	~~& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-1=0 \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\,,\\[5pt]
		+	(z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\,,\\[5pt]
		+	(z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0\,,\\[5pt]
		+	(z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

	Now, we see that the equation has the solutions		Now, we see that the equation has the solutions

		+	{{Displayed math\|\|<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
		+	&2+i\,,\\
		+	&i\,\textrm{.}
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	~~<math>z-\left( 1+i \right)=\pm 1\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	We test the solutions,
-	~~2+i \\~~	+
-	~~i\text{ } \\~~	+
-	~~\end{array} \right.</math>~~	+
-		+
-		+
-	We test the solutions:	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& z=2+i:\quad z^{2}-2\left( 1+i \right)z+2i-1 \\~~	+
-	~~& =\left( 2+i \right)^{2}-2\left( 1+i \right)\left( 2+i \right)+2i-1 \\~~	+
-	~~& =4+4i+i^{2}-2\left( 2+i+2i+i^{2} \right)+2i-1 \\~~	+
-	~~& =4+4i-1-4-6i+2+2i-1=0 \\~~	+
-	~~& \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	& z=i:\quad z^{2}-2~~\left~~( 1+i ~~\right~~)z+2i-1 \\	+	z=2+i:\quad z^2-2(1+i)z+2i-1
-	& =i^{2}-2~~\left~~( 1+i ~~\right~~)i+2i-1 \\	+	&= (2+i)^2 - 2(1+i)(2+i)+2i-1\\[5pt]
-	& =-1-2~~\left~~( i+i^{2~~} \right~~)+2i-1 \\	+	&= 4+4i+i^2-2(2+i+2i+i^2)+2i-1\\[5pt]
-	& =-1-2i+2+2i-1=0 \\	+	&= 4+4i-1-4-6i+2+2i-1\\[5pt]
		+	&= 0\,,\\[10pt]
		+	z={}\rlap{i:}\phantom{2+i:}{}\quad z^2-2(1+i)z+2i-1
		+	&= i^2-2(1+i)i+2i-1\\[5pt]
		+	&= -1-2(i+i^2)+2i-1\\[5pt]
		+	&= -1-2i+2+2i-1\\[5pt]
		+	&= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Ian um 11:09, 25. Okt. 2008

Ian — Sat, 25 Oct 2008 11:09:15 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:09, 25. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	Even if the equation contains complex numbers as coefficients, we treat is as an ordinary second-degree equation and solve it by completing the square taking the root.
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_5a~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	We complete the square on the left-hand side:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-\left( 1+i \right)^{2}+2i-1=0 \\
		+	& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-\left( 1+2i+i^{2} \right)+2i-1=0 \\
		+	& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-1-2i+1+2i-1=0 \\
		+	& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-1=0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	Now, we see that the equation has the solutions
		+
		+
		+	<math>z-\left( 1+i \right)=\pm 1\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	2+i \\
		+	i\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	We test the solutions:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=2+i:\quad z^{2}-2\left( 1+i \right)z+2i-1 \\
		+	& =\left( 2+i \right)^{2}-2\left( 1+i \right)\left( 2+i \right)+2i-1 \\
		+	& =4+4i+i^{2}-2\left( 2+i+2i+i^{2} \right)+2i-1 \\
		+	& =4+4i-1-4-6i+2+2i-1=0 \\
		+	& \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=i:\quad z^{2}-2\left( 1+i \right)z+2i-1 \\
		+	& =i^{2}-2\left( 1+i \right)i+2i-1 \\
		+	& =-1-2\left( i+i^{2} \right)+2i-1 \\
		+	& =-1-2i+2+2i-1=0 \\
		+	\end{align}</math>

Tekbot: Lösning 3.3:5a moved to Solution 3.3:5a: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 15:09:01 GMT

Lösning 3.3:5a moved to Solution 3.3:5a: Robot: moved page

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Version vom 15:09, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

Tekbot — Thu, 21 Aug 2008 08:14:14 GMT

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_3_5a.gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_3_5a.gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_3_5a.gif {{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar — Mon, 07 Apr 2008 13:44:08 GMT

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_5a.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

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<center> [[Bild:3_3_5a.gif]] </center>
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