Lösung 3.3:4d - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 13:14, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 13:14:13 GMT

Moni um 09:51, 23. Aug. 2009

Moni — Sun, 23 Aug 2009 09:51:54 GMT

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Zeile 15:		Zeile 15:
	Wir erhalten die Wurzeln		Wir erhalten die Wurzeln

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> ~~and~~ <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}

-	Nachdem ~~keiner~~ dieser Lösungen null ist, sind dies auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.	+	Nachdem keine dieser Lösungen null ist, sind dies auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

-	Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben.	+	Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Martin um 16:10, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 16:10:04 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~To avoid having~~ <math>z</math> ~~in the denominator~~, ~~we multiply both sides of the equation by~~ <math>z</math>,	+	Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}

-	~~This multiplication could possibly introduce a spurious root if it turns out that the new equation has~~ <math>z=0</math> ~~as a root. The old equation~~, ~~for understandable reasons, doesn't have <math>z=0</math> as a solution~~.	+	In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann die unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

-	~~If we move the terms over to the left-hand side and complete the square~~, ~~we get~~	+	Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 13:		Zeile 13:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~This gives that the equation has solutions~~	+	Wir erhalten die Wurzeln

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~None of these solutions are equal to zero~~, ~~so these are also solutions to the original equation~~.	+	Nachdem keiner dieser Lösungen null ist, sind dies auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

-	~~We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly~~.	+	Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben.

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{~~LHS~~}	+	z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite}
	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]		&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]		&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
Zeile 28:		Zeile 28:
	&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]		&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
	&= \frac{1}{2}\\[5pt]		&= \frac{1}{2}\\[5pt]
-	&= \text{~~RHS~~,}\\[10pt]	+	&= \text{Rechte Seite,}\\[10pt]
-	z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{~~LHS~~}	+	z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite}
	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]		&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]		&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
Zeile 35:		Zeile 35:
	&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]		&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
	&= \frac{1}{2}\\[5pt]		&= \frac{1}{2}\\[5pt]
-	&= \text{~~RHS~~.}	+	&= \text{Rechte Seite.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Tekbot: Solution 3.3:4d moved to Lösung 3.3:4d: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:48:15 GMT

Solution 3.3:4d moved to Lösung 3.3:4d: Robot: moved page

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Version vom 10:48, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 13:13:34 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:13, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	To avoid having <math>z</math> in the denominator, we multiply both sides of the equation by <math>z</math>,		To avoid having <math>z</math> in the denominator, we multiply both sides of the equation by <math>z</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}

	This multiplication could possibly introduce a spurious root if it turns out that the new equation has <math>z=0</math> as a root. The old equation, for understandable reasons, doesn't have <math>z=0</math> as a solution.		This multiplication could possibly introduce a spurious root if it turns out that the new equation has <math>z=0</math> as a root. The old equation, for understandable reasons, doesn't have <math>z=0</math> as a solution.
Zeile 7:		Zeile 7:
	If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get		If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\,,\\[5pt]		z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\,,\\[5pt]
	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\,,\\[5pt]		\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\,,\\[5pt]
Zeile 15:		Zeile 15:
	This gives that the equation has solutions		This gives that the equation has solutions

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}

	None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.		None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.

Tek um 15:07, 30. Okt. 2008

Tek — Thu, 30 Oct 2008 15:07:33 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:07, 30. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	To avoid having	+	To avoid having <math>z</math> in the denominator, we multiply both sides of the equation by <math>z</math>,
-	<math>z</math>	+
-	in the denominator, we multiply both sides of the equation by	+
-	<math>z</math>:	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>1+z^{2}=\frac{1}{2}z</math>~~	+	This multiplication could possibly introduce a spurious root if it turns out that the new equation has <math>z=0</math> as a root. The old equation, for understandable reasons, doesn't have <math>z=0</math> as a solution.
-		+
-		+
-	This multiplication could possibly introduce a ~~false~~ root if it turns out that the new equation has	+
-	<math>z=0~~\text{ }~~</math>	+
-	as a root. The old equation, for understandable reasons, have	+
-	<math>z=0~~\text{ }~~</math>	+
-	as a solution.	+

	If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get		If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\begin{align}	+	z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\,,\\[5pt]
-	& z^{2}-\frac{1}{2}z+1=0 \\	+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\,,\\[5pt]
-	& \~~left~~( z-\frac{1}{4} \~~right~~)^{2}-\~~left~~( \frac{1}{4} \~~right~~)^{2}+1=0 \\	+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
-	& \~~left~~( z-\frac{1}{4} \~~right~~)^{2}+\frac{15}{16}=0 \\	+	\end{align}</math>}}
-	\end{align}</math>	+
-		+

	This gives that the equation has solutions		This gives that the equation has solutions

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> and <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>	+
-	and	+
-	<math>z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>	+
-		+

	None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.		None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.

	We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly.		We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly.
-
-
-	<math>\begin{align}
-	& z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
-	& =\frac{1}{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
-	& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
-	& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
-	& =\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
-	\end{align}</math>
-
-

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	& z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\	+	z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}
-	& =\frac{1}{\~~frac~~{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\	+	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-	& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\~~left(~~ \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \~~right~~)\~~left~~( \~~frac~~{1}{4}-i\~~frac~~{\sqrt{15}}{4} \~~right~~)}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\	+	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-	& =\frac{\~~frac~~{1}{4}-i\~~frac~~{\sqrt{15}}{4}}{\~~frac~~{1}{16}+\~~frac~~{15}{16}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\	+	&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-	& =\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\	+	&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \text{RHS,}\\[10pt]
		+	z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{LHS}
		+	&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \text{RHS.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Ian um 10:52, 25. Okt. 2008

Ian — Sat, 25 Oct 2008 10:52:19 GMT

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-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	To avoid having
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_4d~~-1(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>z</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	in the denominator, we multiply both sides of the equation by
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>z</math>:
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~3_3_4d~~-2(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
		+	<math>1+z^{2}=\frac{1}{2}z</math>
		+
		+
		+	This multiplication could possibly introduce a false root if it turns out that the new equation has
		+	<math>z=0\text{ }</math>
		+	as a root. The old equation, for understandable reasons, have
		+	<math>z=0\text{ }</math>
		+	as a solution.
		+
		+	If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z^{2}-\frac{1}{2}z+1=0 \\
		+	& \left( z-\frac{1}{4} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4} \right)^{2}+1=0 \\
		+	& \left( z-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{15}{16}=0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	This gives that the equation has solutions
		+
		+
		+	<math>z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>
		+	and
		+	<math>z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>
		+
		+
		+	None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.
		+
		+	We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly.
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
		+	& =\frac{1}{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
		+	& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
		+	& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
		+	& =\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
		+	& =\frac{1}{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
		+	& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
		+	& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
		+	& =\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
		+	\end{align}</math>

Tekbot: Lösning 3.3:4d moved to Solution 3.3:4d: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 15:08:41 GMT

Lösning 3.3:4d moved to Solution 3.3:4d: Robot: moved page

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Version vom 15:08, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

Tekbot — Thu, 21 Aug 2008 08:14:04 GMT

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_3_4d-1(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_3_4d-1(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_3_4d-2(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_3_4d-2(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_3_4d-1(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_3_4d-2(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar — Mon, 07 Apr 2008 13:43:09 GMT

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_4d-1(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_4d-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

Neue Seite

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<center> [[Bild:3_3_4d-1(2).gif]] </center>
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<center> [[Bild:3_3_4d-2(2).gif]] </center>
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-	Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>,	+	Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}

-	In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann ~~die~~ unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.	+	In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

-	Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung,	+	Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
-	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0~~\,,~~\\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
	\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}		\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
Zeile 17:		Zeile 17:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Nachdem~~ keine dieser Lösungen null ist, sind ~~dies~~ auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.	+	Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

	Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.		Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.