Lösung 3.3:4a - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:28, 10. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Tue, 10 Aug 2010 13:28:59 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:28, 10. Aug. 2010
Zeile 30:		Zeile 30:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]		&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
-	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)	+	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)
	\end{align}\right.		\end{align}\right.
	=		=

Sekretariat1 um 13:01, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 13:01:40 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:01, 3. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Diese Gleichung lösen wir am einfachsten indem wir sie in Polarform bringen,	+	Diese Gleichung lösen wir am einfachsten, indem wir sie in Polarform bringen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-	i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,,	+	i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Zeile 10:		Zeile 10:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	Die beiden Seiten sind gleich wenn	+	Die beiden Seiten sind gleich, wenn

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= 1\,,\\[5pt]		r^2 &= 1\,,\\[5pt]
-	2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}	+	2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 24:		Zeile 24:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene ~~Wuzeln~~, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.	+	Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wurzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.

	Die Wurzeln sind daher		Die Wurzeln sind daher

Moni um 09:37, 23. Aug. 2009

Moni — Sun, 23 Aug 2009 09:37:38 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:37, 23. Aug. 2009
Zeile 6:		Zeile 6:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Durch ~~den Moivreschen~~ Gesetz erhalten wir	+	Durch das Moivresche Gesetz erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 14:		Zeile 14:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= 1\,,\\[5pt]		r^2 &= 1\,,\\[5pt]
-	2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~),}	+	2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 21:		Zeile 21:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,,\\[5pt]		r &= 1\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur ~~mit einen~~ Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.	+	Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.

	Die Wurzeln sind daher		Die Wurzeln sind daher

Martin um 15:57, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 15:57:31 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:57, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~This is a typical binomial equation which we solve~~ in ~~polar form.~~	+	Diese Gleichung lösen wir am einfachsten indem wir sie in Polarform bringen,
-		+
-	~~We write~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 8:		Zeile 6:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and, on using de Moivre's formula, the equation becomes~~	+	Durch den Moivreschen Gesetz erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Both sides are equal when~~	+	Die beiden Seiten sind gleich wenn

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19:		Zeile 17:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~which gives that~~	+	und wir erhalten dadurch

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 24:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~When~~ <math>n=0</math> ~~and~~ <math>n=1</math>, ~~we get two different arguments for~~	+	Wenn <math>n=0</math> und <math>n=1</math>, erhalten wir verschiedene Wuzeln, aber für andere <math>n</math> erhalten wir wieder dieselben Wurzeln, die sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> im Argument unterscheiden.
-	~~<math>\alpha</math>~~, ~~whilst different values of~~ <math>n</math> ~~only give these arguments plus/minus a multiple of~~ <math>2\pi</math>.	+

-	~~The solutions to the equation are~~	+	Die Wurzeln sind daher

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}

Tekbot: Solution 3.3:4a moved to Lösung 3.3:4a: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:47:15 GMT

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Version vom 10:47, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 13:13:04 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:13, 10. Mär. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	We write		We write

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
	i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,,		i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,,
Zeile 10:		Zeile 10:
	and, on using de Moivre's formula, the equation becomes		and, on using de Moivre's formula, the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

	Both sides are equal when		Both sides are equal when

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= 1\,,\\[5pt]		r^2 &= 1\,,\\[5pt]
	2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}		2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
Zeile 21:		Zeile 21:
	which gives that		which gives that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,,\\[5pt]		r &= 1\,,\\[5pt]
	\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}		\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
Zeile 31:		Zeile 31:
	The solutions to the equation are		The solutions to the equation are

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]		&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)		&1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)

Tek um 14:18, 30. Okt. 2008

Tek — Thu, 30 Oct 2008 14:18:57 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:18, 30. Okt. 2008
Zeile 3:		Zeile 3:
	We write		We write

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\begin{align}	+	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-	& z=r~~\left~~( \cos \alpha +i\sin \alpha ~~\right~~) \\	+	i &= 1\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,,
-	& i=1\~~left~~( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \~~right~~) \\	+	\end{align}</math>}}
-	\end{align}</math>	+
-		+

	and, on using de Moivre's formula, the equation becomes		and, on using de Moivre's formula, the equation becomes

-		+	{{Displayed math\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = 1\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>r^{2~~}\left~~( \cos 2\alpha +i\sin 2\alpha ~~\right~~)=1\~~left~~( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \~~right~~)</math>	+
-		+

	Both sides are equal when		Both sides are equal when

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
-	<math>\left\{ \begin{~~array}{*{35}l~~}	+	r^2 &= 1\,,\\[5pt]
-	r^{2}=1 \\	+	2\alpha &= \frac{\pi}{2}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
-	2\alpha =\frac{\pi }{2}+2n\pi \quad \~~left~~( n~~\text{~~ an arbitrary integer~~} \right~~)~~\text{~~ } \\	+	\end{align}\right.</math>}}
-	\end{~~array~~} \right.</math>	+
-		+

	which gives that		which gives that

		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
		+	r &= 1\,,\\[5pt]
		+	\alpha &= \frac{\pi}{4} + n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	~~<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	When <math>n=0</math> and <math>n=1</math>, we get two different arguments for
-	~~r=1 \\~~	+	<math>\alpha</math>, whilst different values of <math>n</math> only give these arguments plus/minus a multiple of <math>2\pi</math>.
-	~~\alpha =\frac{\pi }{4}+n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\~~	+
-	~~\end{array} \right.</math>~~	+
-		+
-		+
-	When	+
-	<math>n=0</math>	+
-	and	+
-	<math>n=~~\text{~~1}</math>, we get two different arguments for	+
-	<math>\alpha </math>, whilst different values of	+
-	<math>n</math>	+
-	only give these arguments plus/minus a multiple of	+
-	<math>2\pi </math>.	+

	The solutions to the equation are		The solutions to the equation are

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
-	<math>z=\left\{ \begin{~~array}{*{35}l~~}	+	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
-	\ 1\~~centerdot~~ \~~left~~( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \~~right~~) \\	+	&1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)
-	\ 1\~~centerdot~~ \~~left~~( \cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4} \~~right~~) \\	+	\end{align}\right.
-	\end{~~array~~} \right.=\left\{ \begin{~~array}{*{35}l~~}	+	=
-	\ \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\	+	\left\{\begin{align}
-	\ -\frac{1+i}{\sqrt{2}} \\	+	&\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,,\\[5pt]
-	\end{~~array~~} \right.</math>	+	&-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\,\textrm{.}
		+	\end{align}\right.</math>}}

Ian um 09:37, 25. Okt. 2008

Ian — Sat, 25 Oct 2008 09:37:06 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:37, 25. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	This is a typical binomial equation which we solve in polar form.
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_4a~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	We write
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
		+	& i=1\left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right) \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	and, on using de Moivre's formula, the equation becomes
		+
		+
		+	<math>r^{2}\left( \cos 2\alpha +i\sin 2\alpha \right)=1\left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right)</math>
		+
		+
		+	Both sides are equal when
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	r^{2}=1 \\
		+	2\alpha =\frac{\pi }{2}+2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	which gives that
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	r=1 \\
		+	\alpha =\frac{\pi }{4}+n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	When
		+	<math>n=0</math>
		+	and
		+	<math>n=\text{1}</math>, we get two different arguments for
		+	<math>\alpha </math>, whilst different values of
		+	<math>n</math>
		+	only give these arguments plus/minus a multiple of
		+	<math>2\pi </math>.
		+
		+	The solutions to the equation are
		+
		+
		+	<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	\ 1\centerdot \left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right) \\
		+	\ 1\centerdot \left( \cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4} \right) \\
		+	\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	\ \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\
		+	\ -\frac{1+i}{\sqrt{2}} \\
		+	\end{array} \right.</math>

Tekbot: Lösning 3.3:4a moved to Solution 3.3:4a: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 15:07:41 GMT

Lösning 3.3:4a moved to Solution 3.3:4a: Robot: moved page

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Version vom 15:07, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

Tekbot — Thu, 21 Aug 2008 08:13:34 GMT

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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Zeile 1:		Zeile 1:
	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_3_4a.gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_3_4a.gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}