Lösung 3.3:2b - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 12:37, 14. Okt. 2011

Dagmar Timmreck — Fri, 14 Oct 2011 12:37:56 GMT

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Zeile 14:		Zeile 14:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^3 &= 1\,,\\[5pt]		r^3 &= 1\,,\\[5pt]
-	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl).}	+	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 21:		Zeile 21:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,,\\[5pt]		r &= 1\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Sekretariat1 um 12:02, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 12:02:07 GMT

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Zeile 10:		Zeile 10:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math> unterscheiden	+	Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}

Sekretariat1 um 09:02, 1. Sep. 2009

Sekretariat1 — Tue, 01 Sep 2009 09:02:23 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:02, 1. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir bringen zuerst alle Zahlen ~~auf~~ Polarform:	+	Wir bringen zuerst alle Zahlen in Polarform.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]	+	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt]
-	-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,,	+	-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und mit den~~ Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung	+	Mit dem Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	Die beiden Seiten sind gleich wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,	+	Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^3 &= 1\,,\\[5pt]		r^3 &= 1\,,\\[5pt]
-	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}	+	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 20:		Zeile 20:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
-	r &= 1\,\\[5pt]	+	r &= 1\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen (eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>),	+	Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen - eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>).

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
Zeile 38:		Zeile 38:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, ~~nachdem~~ wir 3 Lösungen haben.	+	Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, da wir 3 Lösungen haben.

	[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]

Moni um 21:14, 22. Aug. 2009

Moni — Sat, 22 Aug 2009 21:14:11 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 21:14, 22. Aug. 2009
Zeile 10:		Zeile 10:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	Die beiden Seiten sind gleich wenn ~~deren~~ Beträge gleich sind, und ~~deren~~ Argumente sich ~~mit einen~~ Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,	+	Die beiden Seiten sind gleich wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^3 &= 1\,,\\[5pt]		r^3 &= 1\,,\\[5pt]
-	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~),}	+	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 21:		Zeile 21:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,\\[5pt]		r &= 1\,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Für jede ~~Dritte~~ ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, ~~und~~ also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>~~\text{~~2}</math>),	+	Für jede dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen (eine für <math>n=0</math>, für <math>n=1</math> und für <math>n=2</math>),

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
Zeile 38:		Zeile 38:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In ~~diesen~~ Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.	+	Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.

	[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]

Martin um 15:21, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 15:21:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:21, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The equation <math>z^3=-1</math> is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have~~	+	Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 6:		Zeile 6:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes~~	+	und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of~~ <math>2\pi</math>,	+	Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Beträge gleich sind, und deren Argumente sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 17:		Zeile 17:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~which gives that~~	+	Dadurch erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 24:		Zeile 24:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~For every third integer~~ <math>n</math>, ~~the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of <math>2\pi</math>)~~, ~~so the equation has in reality three solutions~~ (~~for~~ <math>n=0</math>, <math>1</math> ~~and~~ <math>\text{2}</math>),	+	Für jede Dritte ganze Zahl <math>n</math>, erhalten wir dieselbe Lösung, und also hat die Gleichung nur 3 Lösungen(eine für <math>n=0</math>, für <math>1</math> und für <math>\text{2}</math>),

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
Zeile 38:		Zeile 38:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	~~We obtain the typical behaviour that the solutions are corner points in a regular polygon (a triangle in this case because the degree of the equation is~~ 3.	+	Wir sehen dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesen Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.

	[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:44:35 GMT

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Version vom 10:44, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 13:11:44 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

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Zeile 1:		Zeile 1:
	The equation <math>z^3=-1</math> is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have		The equation <math>z^3=-1</math> is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
	-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,,		-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
Zeile 8:		Zeile 8:
	and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes		and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

	Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of <math>2\pi</math>,		Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of <math>2\pi</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^3 &= 1\,,\\[5pt]		r^3 &= 1\,,\\[5pt]
	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}		3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
Zeile 19:		Zeile 19:
	which gives that		which gives that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,\\[5pt]		r &= 1\,\\[5pt]
	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n is an arbitrary integer).}		\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
Zeile 26:		Zeile 26:
	For every third integer <math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of <math>2\pi</math>), so the equation has in reality three solutions (for <math>n=0</math>, <math>1</math> and <math>\text{2}</math>),		For every third integer <math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of <math>2\pi</math>), so the equation has in reality three solutions (for <math>n=0</math>, <math>1</math> and <math>\text{2}</math>),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
	&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]		&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
	&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]		&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]

Tek um 12:13, 30. Okt. 2008

Tek — Thu, 30 Oct 2008 12:13:37 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:13, 30. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The~~ The equation	+	The equation <math>z^3=-1</math> is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have
-	<math>z^{3}=-~~\text{~~1 }</math>	+
-	is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& z=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\~~	+
-	~~& -1=1\left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
		+	-1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
		+	\end{align}</math>}}

	and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes		and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes

		+	{{Displayed math\|\|<math>r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	<math>~~r^{3}\left( \cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)=1\left( \cos~~ \pi ~~+i\sin \pi \right)~~</math>	+	Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of <math>2\pi</math>,

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
-	~~Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of~~	+	r^3 &= 1\,,\\[5pt]
-	<math~~>2\pi </math>,~~	+	3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
-		+	\end{align}\right.</math>}}
-		+
-	<math>\left\{ \begin{~~array}{*{35}l~~}	+
-	r^{3}=1 \\	+
-	3\alpha =\pi +2n\pi \quad \~~left~~( n~~\text{~~ an arbitrary integer~~} \right~~)~~\text{~~ } \\	+
-	\end{~~array~~} \right.</math>	+

	which gives that		which gives that

		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
		+	r &= 1\,\\[5pt]
		+	\alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	~~<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	For every third integer <math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of <math>2\pi</math>), so the equation has in reality three solutions (for <math>n=0</math>, <math>1</math> and <math>\text{2}</math>),
-	~~r=1 \\~~	+
-	~~\alpha =\frac{\pi }{3}+\frac{2n\pi }{3}\quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\~~	+
-	~~\end{array} \right.</math>~~	+
-		+
-		+
-		+
-	For every third integer	+
-	<math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of	+
-	<math>2\pi </math>), so the equation has in reality three solutions (for	+
-	<math>n=0~~,\ 1~~</math>	+
-	~~and~~	+
-	<math>~~\text{2}</math>):~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+
-	1~~\centerdot \left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right) \\~~	+
-	~~1\centerdot \left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\~~	+
-	~~1\centerdot \left( \cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3} \right) \\~~	+
-	~~\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+
-	~~\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \\~~	+
-	~~-1 \\~~	+
-	~~\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \\~~	+
-	~~\end{array} \right.~~</math>	+
-		+
-	~~We obtain the typical behaviour that the solutions are corner points in a regular polygon (a triangle in this case because the degree of the equation is~~	+
-	<math>\text{3}</math>).	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
		+	&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
		+	&1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt]
		+	&1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr)
		+	\end{align}\right.
		+	=
		+	\left\{\begin{align}
		+	&\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt]
		+	&-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt]
		+	&\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.}
		+	\end{align} \right.</math>}}

		+	We obtain the typical behaviour that the solutions are corner points in a regular polygon (a triangle in this case because the degree of the equation is 3.

	[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]

Ian um 10:01, 24. Okt. 2008

Ian — Fri, 24 Oct 2008 10:01:36 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:01, 24. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START}~~}	+	The The equation
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_2b~~-1(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>z^{3}=-\text{1 }</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	is a so-called binomial equation, which we solve by writing both sides in polar form. We have
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_2b-2~~(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	<math>\begin{align}
		+	& z=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
		+	& -1=1\left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	and, with the help of de Moivre's formula, the equation becomes
		+
		+
		+	<math>r^{3}\left( \cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)=1\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)</math>
		+
		+
		+	Both sides are equal when their magnitudes are equal and the arguments differ by a multiple of
		+	<math>2\pi </math>,
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	r^{3}=1 \\
		+	3\alpha =\pi +2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+	which gives that
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	r=1 \\
		+	\alpha =\frac{\pi }{3}+\frac{2n\pi }{3}\quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+
		+	For every third integer
		+	<math>n</math>, the solution formula gives in principal the same value for the argument (the difference is a multiple of
		+	<math>2\pi </math>), so the equation has in reality three solutions (for
		+	<math>n=0,\ 1</math>
		+	and
		+	<math>\text{2}</math>):
		+
		+
		+	<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	1\centerdot \left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right) \\
		+	1\centerdot \left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\
		+	1\centerdot \left( \cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3} \right) \\
		+	\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \\
		+	-1 \\
		+	\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+	We obtain the typical behaviour that the solutions are corner points in a regular polygon (a triangle in this case because the degree of the equation is
		+	<math>\text{3}</math>).
		+
		+

	[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_b.gif\|center]]

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Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 15:05:01 GMT

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