Lösung 3.3:2a - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 12:37, 14. Okt. 2011

Dagmar Timmreck — Fri, 14 Oct 2011 12:37:10 GMT

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Zeile 16:		Zeile 16:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^{4} &= 1\,,\\[5pt]		r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl})\textrm{.}	+	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ganze Zahl})\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,,\\[5pt]		r &= 1\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl).}	+	\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Sekretariat1 um 12:00, 3. Sep. 2009

Sekretariat1 — Thu, 03 Sep 2009 12:00:43 GMT

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Zeile 12:		Zeile 12:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}

-	wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math> unterscheiden	+	wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 30:		Zeile 30:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}

-	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.	+	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.

	Die Wurzeln sind daher		Die Wurzeln sind daher

Sekretariat1 um 08:33, 1. Sep. 2009

Sekretariat1 — Tue, 01 Sep 2009 08:33:39 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:33, 1. Sep. 2009
Zeile 26:		Zeile 26:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~und~~ die Wurzeln sind	+	Und die Wurzeln sind

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}

Sekretariat1 um 08:32, 1. Sep. 2009

Sekretariat1 — Tue, 01 Sep 2009 08:32:54 GMT

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Zeile 16:		Zeile 16:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^{4} &= 1\,,\\[5pt]		r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\,\textrm{.}	+	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Sekretariat1 um 08:30, 1. Sep. 2009

Sekretariat1 — Tue, 01 Sep 2009 08:30:57 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:30, 1. Sep. 2009
Zeile 26:		Zeile 26:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	und die Wurzeln sind:	+	und die Wurzeln sind

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}

Sekretariat1 um 08:29, 1. Sep. 2009

Sekretariat1 — Tue, 01 Sep 2009 08:29:10 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:29, 1. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen ~~auf~~ Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.	+	Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

-	Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> ~~auf~~ Polarform	+	Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> in Polarform

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 8:		Zeile 8:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und~~ erhalten die Gleichung	+	Wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}

-	wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit ~~dir~~ rechte und die linke Seite gleich ~~sein sollen~~, müssen deren ~~Betrag~~ gleich sein und auch deren ~~Argument darf~~ sich nur ~~mit einen~~ Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,	+	wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 28:		Zeile 28:
	und die Wurzeln sind:		und die Wurzeln sind:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}

-	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, ~~nachdem~~ jeder anderer Winkel sich nur ~~mit einen~~ Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.	+	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.

	Die Wurzeln sind daher		Die Wurzeln sind daher
Zeile 48:		Zeile 48:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, ~~nachdem~~ wir 4 verschiedene Lösungen haben.	+	Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.

	[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]

Moni um 21:09, 22. Aug. 2009

Moni — Sat, 22 Aug 2009 21:09:12 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 21:09, 22. Aug. 2009
Zeile 28:		Zeile 28:
	und die Wurzeln sind:		und die Wurzeln sind:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3~~\ldots~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>}}

	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.		Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.

Moni um 21:08, 22. Aug. 2009

Moni — Sat, 22 Aug 2009 21:08:51 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 21:08, 22. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Eine Gleichung ~~auf~~ der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt, und den Moivreschen Satz benutzt.	+	Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

	Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> auf Polarform		Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> auf Polarform
Zeile 12:		Zeile 12:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}

-	wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, ~~msen~~ deren Betrag gleich sein, und deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,	+	wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, müssen deren Betrag gleich sein und auch deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^{4} &= 1\,,\\[5pt]		r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ~~is an arbitrary integer~~})\,\textrm{.}	+	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\,\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Also it	+	Also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,,\\[5pt]		r &= 1\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ~~is an arbitrary integer~~).}	+	\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

	und die Wurzeln sind:		und die Wurzeln sind:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{~~for~~ }n=0,~~\ \pm~~ 1,~~\ \pm~~ 2,\ldots</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3\ldots</math>}}

-	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche ~~winkeln~~, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2\,</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.	+	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.

	Die Wurzeln sind daher		Die Wurzeln sind daher
Zeile 48:		Zeile 48:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wir sehen dass die Lösungen ~~eine Quadrate~~ bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.	+	Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.

	[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]

Martin um 15:22, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 15:22:42 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:22, 18. Mai 2009
Zeile 48:		Zeile 48:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-		+	Wir sehen dass die Lösungen eine Quadrate bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.

	[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]

Martin um 15:17, 18. Mai 2009

Martin — Mon, 18 May 2009 15:17:15 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~An equation of the type~~ "<math>z^{n} = \text{~~a complex number~~}</math>" ~~is called a binomial equation and these are usually solved by going over to polar form and using de Moivre's formula~~.	+	Eine Gleichung auf der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt, und den Moivreschen Satz benutzt.

-	~~We start by writing~~ <math>z</math> ~~and~~ <math>1</math> ~~in polar form~~	+	Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> auf Polarform

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 8:		Zeile 8:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~The equation then becomes~~	+	und erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}

-	~~where we have used de Moivre's formula on the left-hand side~~. ~~In order that both sides are equal~~, ~~they must have the same magnitude and the same argument to within a multiple of~~ <math>2\pi</math>, ~~i.e.~~	+	wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, msen deren Betrag gleich sein, und deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 19:		Zeile 19:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~This means that~~	+	Also it

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 26:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~The solutions are thus (in polar form)~~	+	und die Wurzeln sind:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{for }n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{for }n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots</math>}}

-	~~but observe that the argument on the right-hand side essentially takes only four different values~~ <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> ~~and~~ <math>3\pi/2\,</math>, ~~because other values of <math>n</math> give some of these values plus/minus a multiple of~~ <math>2\pi\,</math>.	+	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche winkeln, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2\,</math>, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.

-	~~The equation's solutions are therefore~~	+	Die Wurzeln sind daher

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 49:


-	Note: If we mark these solutions on the complex number plane, we see that they are corners in a regular quadrilateral.

	[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_a.gif\|center]]