Lösung 2.3:2b - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 08:12, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:12:55 GMT

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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten	+	Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Sekretariat1 um 08:12, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:12:43 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Nachdem~~ wir ~~eine Produkte~~ von zwei Funktionen haben, ~~ist~~ es ~~ein natürlicher Schritt~~ partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren, ~~sodass~~ wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten	+	Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten,	+	Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 35:		Zeile 35:
	&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]		&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
	&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]		&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
-	&= \frac{1}{2~~}\,\textrm{.~~}	+	&= \frac{1}{2}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Moni um 11:10, 22. Aug. 2009

Moni — Sat, 22 Aug 2009 11:10:58 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Nachdem wir eine Produkte von zwei Funktionen haben, ist es ein natürlicher Schritt partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren sodass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden, und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten	+	Nachdem wir eine Produkte von zwei Funktionen haben, ist es ein natürlicher Schritt partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren, sodass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 9:		Zeile 9:
	Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.		Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.

-	Die Lösung ist dass wir die Substitution	+	Die Lösung ist, dass wir die Substitution
	<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie		<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}

-	sehen wir dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir	+	sehen wir, dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Martin um 17:19, 5. Mai 2009

Martin — Tue, 05 May 2009 17:19:17 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~We have a product of two factors in the integrand~~, ~~so an integration by parts does not seem unreasonable~~. ~~There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate~~ <math>x^3</math> (~~so as to reduce its exponent by 1~~), ~~we need to find a primitive function for~~ <math>e^{x^2}</math>, ~~and how do we do that? If, on the other hand, we integrate~~ <math>x^3</math> ~~and differentiate~~ <math>e^{x^2}</math>~~, we get~~	+	Nachdem wir eine Produkte von zwei Funktionen haben, ist es ein natürlicher Schritt partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren sodass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden, und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 7:		Zeile 7:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~which just seems to make the integral harder~~. ~~The solution is instead to substitute~~	+	Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
-	<math>u=x^2</math>. ~~If we write the integral as~~	+
		+	Die Lösung ist dass wir die Substitution
		+	<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}

-	~~we see that the expression~~ "<math>x\,dx</math>" ~~can be replaced by~~ <math>du</math>	+	sehen wir dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
-	~~and the rest of the integrand contains only <math>x</math> in the form of~~ <math>x^2</math>. ~~The substitution gives~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 27:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~We can then calculate this integral by integration by parts~~, ~~where we differentiate away the factor~~ <math>u</math>,	+	Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Tekbot: Solution 2.3:2b moved to Lösung 2.3:2b: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:27:35 GMT

Solution 2.3:2b moved to Lösung 2.3:2b: Robot: moved page

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Version vom 10:27, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 13:04:14 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:04, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	We have a product of two factors in the integrand, so an integration by parts does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate <math>x^3</math> (so as to reduce its exponent by 1), we need to find a primitive function for <math>e^{x^2}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate <math>x^3</math> and differentiate <math>e^{x^2}</math>, we get		We have a product of two factors in the integrand, so an integration by parts does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate <math>x^3</math> (so as to reduce its exponent by 1), we need to find a primitive function for <math>e^{x^2}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate <math>x^3</math> and differentiate <math>e^{x^2}</math>, we get

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx		\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx
	&= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt]		&= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt]
Zeile 10:		Zeile 10:
	<math>u=x^2</math>. If we write the integral as		<math>u=x^2</math>. If we write the integral as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}

	we see that the expression "<math>x\,dx</math>" can be replaced by <math>du</math>		we see that the expression "<math>x\,dx</math>" can be replaced by <math>du</math>
	and the rest of the integrand contains only <math>x</math> in the form of <math>x^2</math>. The substitution gives		and the rest of the integrand contains only <math>x</math> in the form of <math>x^2</math>. The substitution gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx		\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx
	&= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt]
Zeile 28:		Zeile 28:
	We can then calculate this integral by integration by parts, where we differentiate away the factor <math>u</math>,		We can then calculate this integral by integration by parts, where we differentiate away the factor <math>u</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du		\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du
	&= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt]		&= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt]

Tek um 08:54, 29. Okt. 2008

Tek — Wed, 29 Oct 2008 08:54:23 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:54, 29. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	We have a product of two factors in the integrand, so ~~a partial~~ integration does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate	+	We have a product of two factors in the integrand, so an integration by parts does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate <math>x^3</math> (so as to reduce its exponent by 1), we need to find a primitive function for <math>e^{x^2}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate <math>x^3</math> and differentiate <math>e^{x^2}</math>, we get
-	<math>x^~~{\text{~~3}}</math>	+
-	(so as to reduce its exponent by	+
-	~~<math>\text{~~1~~}</math>~~), we need to find a primitive function for	+
-	<math>e^{x^{2}}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate	+
-	<math>x^~~{\text{~~3}}</math>	+
-	and differentiate	+
-	<math>e^{x^{2}}</math>, we get	+

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\begin{align}	+	\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx
-	& \int{x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\frac{x^{4}}{4}}\~~centerdot~~ e^{x^{2}}-\int{\frac{x^{4}}{4}}\~~centerdot~~ e^{x^{2}}2x\,dx \\	+	&= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt]
-	& =\frac{1}{4}x^{4}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\int{x^~~{5}e~~^{x^{2}}\,dx~~} \\~~	+	&= \frac{1}{4}x^{4}e^{x^2} - \frac{1}{2}\int x^5e^{x^2}\,dx
-	\end{align}</math>	+	\end{align}</math>}}

	which just seems to make the integral harder. The solution is instead to substitute		which just seems to make the integral harder. The solution is instead to substitute
-	<math>u=x^{2}</math>. If we write the integral as	+	<math>u=x^2</math>. If we write the integral as
-		+
-		+
-	~~<math>\int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~we see that the expression~~	+
-	~~<math>''x\,dx''</math>~~	+
-	~~can be replaced by~~	+
-	~~<math>du</math>~~	+
-	~~and the rest of the integrand contains only~~	+
-	~~<math>x</math>~~	+
-	~~in the form of~~	+
-	~~<math>x^{\text{2}}</math>. The substitution gives~~	+
-		+

-	<math>~~\begin{align}~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
-	& \int\~~limits_{0}~~^{1}{x^~~{3}e~~^{x^{2}}\,dx}=\int\~~limits_{0}~~^{1}{x^~~{2}e~~^{x^{2}}x\,dx~~}=\left\{ \begin{matrix}~~	+
-	~~u=x^{2} \\~~	+
-	~~du=\left( x^{2} \right)^{\prime }\,dx=2x\,dx \\~~	+
-	~~\end{matrix} \right\} \\~~	+
-	~~& =\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\frac{1}{2}\,du}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du} \\~~	+
-	~~\end{align}~~</math>	+

		+	we see that the expression "<math>x\,dx</math>" can be replaced by <math>du</math>
		+	and the rest of the integrand contains only <math>x</math> in the form of <math>x^2</math>. The substitution gives

-	~~We can then calculate this integral be partial integration, where we differentiate away the factor~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>u</math>:	+	\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx
		+	&= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt]
		+	&= \left\{\begin{align}
		+	u &= x^2\\[5pt]
		+	du &= \bigl(x^2\bigr)'\,dx = 2x\,dx
		+	\end{align}\right\}\\[5pt]
		+	&= \int\limits_0^1 ue^u\tfrac{1}{2}\,du\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

		+	We can then calculate this integral by integration by parts, where we differentiate away the factor <math>u</math>,

-	<math>\begin{align}	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	& \frac{1}{2}\int\~~limits_{0}~~^{1}{ue^{u}\,du}=\frac{1}{2}\~~left~~[ ue^{u} \~~right~~]~~_{0}~~^{1}-\frac{1}{2}\int\~~limits_{0}~~^{1}{1\~~centerdot~~ e^{u}\,du} \\	+	\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du
-	& =\frac{1}{2}\~~left~~( 1\~~centerdot~~ e^{1}-0 \~~right~~)-\frac{1}{2}\~~left~~[ e^{u} \~~right~~]~~_{0}~~^{1} \\	+	&= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt]
-	& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}\~~left~~( e^{1}-e^{0} \~~right~~) \\	+	&= \frac{1}{2}\bigl(1\cdot e^1-0\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_0^1\\[5pt]
-	& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}e+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\	+	&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
-	\end{align}</math>	+	&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

Ian um 13:50, 22. Okt. 2008

Ian — Wed, 22 Oct 2008 13:50:59 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:50, 22. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	We have a product of two factors in the integrand, so a partial integration does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate
-	<~~center~~> ~~[[Image:2_3_2b~~-1(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>x^{\text{3}}</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	(so as to reduce its exponent by
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>\text{1}</math>), we need to find a primitive function for
-	<~~center~~> ~~[[Image:2_3_2b-~~2(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>e^{x^{2}}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	<math>x^{\text{3}}</math>
		+	and differentiate
		+	<math>e^{x^{2}}</math>, we get
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \int{x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\frac{x^{4}}{4}}\centerdot e^{x^{2}}-\int{\frac{x^{4}}{4}}\centerdot e^{x^{2}}2x\,dx \\
		+	& =\frac{1}{4}x^{4}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\int{x^{5}e^{x^{2}}\,dx} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	which just seems to make the integral harder. The solution is instead to substitute
		+	<math>u=x^{2}</math>. If we write the integral as
		+
		+
		+	<math>\int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}</math>
		+
		+
		+	we see that the expression
		+	<math>''x\,dx''</math>
		+	can be replaced by
		+	<math>du</math>
		+	and the rest of the integrand contains only
		+	<math>x</math>
		+	in the form of
		+	<math>x^{\text{2}}</math>. The substitution gives
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
		+	u=x^{2} \\
		+	du=\left( x^{2} \right)^{\prime }\,dx=2x\,dx \\
		+	\end{matrix} \right\} \\
		+	& =\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\frac{1}{2}\,du}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	We can then calculate this integral be partial integration, where we differentiate away the factor
		+	<math>u</math>:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du}=\frac{1}{2}\left[ ue^{u} \right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{1\centerdot e^{u}\,du} \\
		+	& =\frac{1}{2}\left( 1\centerdot e^{1}-0 \right)-\frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} \\
		+	& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}\left( e^{1}-e^{0} \right) \\
		+	& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}e+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\
		+	\end{align}</math>

Tekbot: Lösning 2.3:2b moved to Solution 2.3:2b: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 14:48:01 GMT

Lösning 2.3:2b moved to Solution 2.3:2b: Robot: moved page

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Version vom 14:48, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

Tekbot — Thu, 21 Aug 2008 08:03:44 GMT

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 08:03, 21. Aug. 2008
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-	<center> [[~~Bild~~:2_3_2b-1(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:2_3_2b-1(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
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-	<center> [[~~Bild~~:2_3_2b-2(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:2_3_2b-2(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}