Lösung 2.3:2a - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 08:06, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:06:31 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,~~\textrm{,}~~</math>,}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,</math>,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:06, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:06:07 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\:\textrm{,}</math>,}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,\textrm{,}</math>,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:05, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:05:20 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\:\textrm{,}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\:\textrm{,}</math>,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:04, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:04:47 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>~~\,,~~}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\:\textrm{,}</math>}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:04, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:04:00 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>\.,}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>\,,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:03, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:03:41 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>\:,}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>\.,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:03, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:03:19 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>,}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>\:,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:02, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:02:55 GMT

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	Wäre das Integral		Wäre das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>,}}

	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir		würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir

Sekretariat1 um 08:02, 28. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 28 Aug 2009 08:02:34 GMT

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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten, und <math>e^{u}</math> integrieren,	+	Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten und <math>e^{u}</math> integrieren.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 22:		Zeile 22:
	&= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt]		&= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt]
	&= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt]		&= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt]
-	&= 2(u-1)e^u + C~~\,\textrm{.}~~	+	&= 2(u-1)e^u + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}

-	Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal, und es ist nicht immer ganz ~~offenbar~~ wie man beginnen soll.	+	Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.

Martin um 17:11, 5. Mai 2009

Martin — Tue, 05 May 2009 17:11:41 GMT

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-	~~Had the integral instead been~~	+	Wäre das Integral

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>}}

-	~~it is quite obvious that we would substitute~~ <math>u=\sqrt{x}</math>, ~~but we are missing a factor~~ <math>~~1/2~~\sqrt{x}~~</math> which would take account of the derivative of <math>u</math> which is needed when <math>dx</math> is replaced by~~	+	würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir
-	~~<math>du~~</math>. ~~In spite of this, we can try the substitution~~ <math>u=\sqrt{x}</math> ~~if we multiply top and bottom by what is missing~~,	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Now~~, ~~we obtain instead another, not entirely simple, integral, but we can calculate the new integral by partial integration (~~<math>2u</math> ~~is the factor that we differentiate and~~ <math>e^{u}</math> ~~is the factor that we integrate)~~,	+	Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten, und <math>e^{u}</math> integrieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 25:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~If we substitute back~~ <math>u=\sqrt{x}</math>, ~~we obtain the answer~~	+	Substituieren wir jetzt <math>u=\sqrt{x}</math> zurück, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}

-	~~As can be seen~~, ~~it is possible to mix different integration techniques and often we need to experiment with different approaches before we find the right one~~.	+	Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal, und es ist nicht immer ganz offenbar wie man beginnen soll.