Lösung 2.1:4d - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 11:14, 27. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 27 Aug 2009 11:14:25 GMT

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Zeile 14:		Zeile 14:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt]	+	\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt]
-	\text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,,	+	\text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und die~~ gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.	+	Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

	Wir suchen also die Schnittstellen:		Wir suchen also die Schnittstellen:
Zeile 38:		Zeile 38:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir ~~eine Gleichung~~ für <math>x</math>,	+	:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}
Zeile 49:		Zeile 49:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,,\\[5pt]	+	(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt]
-	(x+1)^2 &= 2\,,	+	(x+1)^2 &= 2\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, und dies ergibt	+	:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math> und dies ergibt
	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>		<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
	liegt links von <math>x=a\,</math>.)		liegt links von <math>x=a\,</math>.)


-	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, ~~und~~ daher <math>c=1\,</math>.	+	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, daher <math>c=1\,</math>.


Zeile 72:		Zeile 72:
	&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
	&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
-	&= 1\,\\[10pt]	+	&= 1\,\textrm{.}\\[10pt]
	\text{Rechte Fläche}		\text{Rechte Fläche}
	&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
Zeile 81:		Zeile 81:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und die~~ gesamte Fläche ist	+	Die gesamte Fläche ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Dima um 09:20, 23. Aug. 2009

Dima — Sun, 23 Aug 2009 09:20:09 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:20, 23. Aug. 2009
Zeile 72:		Zeile 72:
	&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
	&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
-	&= 1\.\\[10pt]	+	&= 1\,\\[10pt]
	\text{Rechte Fläche}		\text{Rechte Fläche}
	&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]

Moni um 22:39, 21. Aug. 2009

Moni — Fri, 21 Aug 2009 22:39:55 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 22:39, 21. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Image:2_1_4_d1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d1.gif\|center]]

-	Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir dass die Fläche unten von der Geraden <math>y=1</math> begrenzt ist, und oben von den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x\,</math>.	+	Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden <math>y=1</math> begrenzt ist und oben von den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x\,</math>.

	[[Image:2_1_4_d2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d2.gif\|center]]

-	Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, wo die obere Grenze <math>y=x+2</math> ist, und eine zwischen <math>x=b</math> und <math>x=c</math> wo <math>y=1/x</math> die obere Grenze ist.	+	Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, wo die obere Grenze <math>y=x+2</math> ist und eine zwischen <math>x=b</math> und <math>x=c</math> wo <math>y=1/x</math> die obere Grenze ist.

	[[Image:2_1_4_d3.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d3.gif\|center]]

-	Die Flächen dieser Gebiete ~~ist~~	+	Die Flächen dieser Gebiete sind

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 28:		Zeile 28:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, ~~und~~ also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.	+	:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.


Zeile 38:		Zeile 38:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	:Eliminieren wir <math>y</math>. erhalten wir eine Gleichung für <math>x</math>,	+	:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir eine Gleichung für <math>x</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}
Zeile 58:		Zeile 58:


-	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, ~~und~~ also ist <math>x=1\,</math>, und daher <math>c=1\,</math>.	+	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, und daher <math>c=1\,</math>.


Zeile 72:		Zeile 72:
	&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
	&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
-	&= 1\,,\\[10pt]	+	&= 1\.\\[10pt]
	\text{Rechte Fläche}		\text{Rechte Fläche}
	&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]

Martin um 18:59, 28. Apr. 2009

Martin — Tue, 28 Apr 2009 18:59:54 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:59, 28. Apr. 2009
Zeile 84:		Zeile 84:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{~~Area~~}	+	\text{Fläche}
-	&= \text{(~~left area~~)} + \text{(~~right area~~)}\\[5pt]	+	&= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt]
	&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]		&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]
	&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}		&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Martin um 18:59, 28. Apr. 2009

Martin — Tue, 28 Apr 2009 18:59:17 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:59, 28. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~We start by drawing the three curves:~~	+	Wir zeichnen die Kurven.

	[[Image:2_1_4_d1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d1.gif\|center]]

-	~~When we draw the curves on the same diagram~~, ~~we see that the region is bounded from below in the ''y''-direction by the horizontal line~~ <math>y=1</math> ~~and above partly by~~ <math>y=x+2</math> ~~and partly by~~ <math>y=1/x\,</math>.	+	Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir dass die Fläche unten von der Geraden <math>y=1</math> begrenzt ist, und oben von den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x\,</math>.

	[[Image:2_1_4_d2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d2.gif\|center]]

-	~~If we denote the ''x''-coordinates of the intersection points between the curves by~~ <math>x=a</math>, <math>x=b</math> ~~and~~ <math>x=c</math>, ~~as shown~~ in ~~the figure, we see that the region can be divided up into two parts~~. ~~In the left part between~~ <math>x=a</math> ~~and~~ <math>x=b</math>, ~~the upper limit is~~ <math>y=x+2</math>, ~~whilst in the right part between~~ <math>x=b</math> ~~and~~ <math>x=c</math> ~~the curve~~ <math>y=1/x</math> ~~is the upper limit~~.	+	Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, wo die obere Grenze <math>y=x+2</math> ist, und eine zwischen <math>x=b</math> und <math>x=c</math> wo <math>y=1/x</math> die obere Grenze ist.

	[[Image:2_1_4_d3.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d3.gif\|center]]

-	~~The area of each part is given by the integrals~~	+	Die Flächen dieser Gebiete ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{~~Left area~~} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt]	+	\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt]
-	\text{~~Right area~~} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,,	+	\text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and the total area is the sum of these areas~~.	+	und die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

-	~~If we just manage to determine the curves' points of intersection, the rest is just a matter of integration.~~	+	Wir suchen also die Schnittstellen:
-		+
-	~~To determine the points of intersection~~:	+
-		+
-	*<math>x=a</math>: The point of intersection between <math>y=1</math> and <math>y=x+2</math> must satisfy both equations of the lines,	+

		+	*<math>x=a</math>: Die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=x+2</math> erfüllt beide Gleichungen:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	y &= 1\,,\\[5pt]		y &= 1\,,\\[5pt]
Zeile 31:		Zeile 28:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	:~~This gives that <math>x</math> must satisfy~~ <math>x+2=1</math>, ~~i.e.~~ <math>x=-1\,</math>. ~~Thus,~~ <math>a=-1\,</math>.	+	:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, und also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.


-	*<math>x=b</math>: ~~At the point where the curves~~ <math>y=x+2</math> ~~and~~ <math>y=1/x</math> ~~meet, we have that~~	+	*<math>x=b</math>: Die Schnittstelle von <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x</math> erfüllt beide Gleichungen:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 41:		Zeile 38:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	:~~If we eliminate~~ <math>y</math>~~, we obtain an equation for~~ <math>x</math>,	+	:Eliminieren wir <math>y</math>. erhalten wir eine Gleichung für <math>x</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}

-	:~~which we multiply by~~ <math>x</math>,	+	:die wir mit <math>x</math> multiplizieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}

-	:~~Completing the square of the left-hand side,~~	+	:Quadratische Ergänzung ergibt:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 56:		Zeile 53:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	:~~and taking the square root gives that~~ <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, ~~leading to~~	+	:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, und dies ergibt
-	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (~~The alternative~~ <math>b=-1-\sqrt{2}</math>	+	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
-	~~lies to the left of~~ <math>x=a\,</math>.)	+	liegt links von <math>x=a\,</math>.)


-	*<math>x=c</math>: ~~The final point of intersection is given by the condition that the equation to both curves,~~ <math>y=1</math> ~~and~~ <math>y=1/x\,</math>, ~~are satisfied simultaneously. We see almost immediately that this gives~~ <math>x=1\,</math>, ~~i.e.~~ <math>c=1\,</math>.	+	*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, und also ist <math>x=1\,</math>, und daher <math>c=1\,</math>.


-	~~The sub-areas are~~	+	Die Teilflächen sind also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{~~Left area~~}	+	\text{Linke Fläche}
	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]
Zeile 76:		Zeile 73:
	&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]		&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
	&= 1\,,\\[10pt]		&= 1\,,\\[10pt]
-	\text{~~Right area~~}	+	\text{Rechte Fläche}
	&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
	&= \Bigl[\ \ln \|x\| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]		&= \Bigl[\ \ln \|x\| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]
Zeile 84:		Zeile 81:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~The total area is~~	+	und die gesamte Fläche ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Tekbot: Solution 2.1:4d moved to Lösung 2.1:4d: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:18:55 GMT

Solution 2.1:4d moved to Lösung 2.1:4d: Robot: moved page

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Version vom 10:18, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:59:54 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 12:59, 10. Mär. 2009
Zeile 13:		Zeile 13:
	The area of each part is given by the integrals		The area of each part is given by the integrals

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{Left area} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt]		\text{Left area} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt]
	\text{Right area} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,,		\text{Right area} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,,
Zeile 26:		Zeile 26:
	*<math>x=a</math>: The point of intersection between <math>y=1</math> and <math>y=x+2</math> must satisfy both equations of the lines,		*<math>x=a</math>: The point of intersection between <math>y=1</math> and <math>y=x+2</math> must satisfy both equations of the lines,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	y &= 1\,,\\[5pt]		y &= 1\,,\\[5pt]
	y &= x+2\,\textrm{.}		y &= x+2\,\textrm{.}
Zeile 36:		Zeile 36:
	*<math>x=b</math>: At the point where the curves <math>y=x+2</math> and <math>y=1/x</math> meet, we have that		*<math>x=b</math>: At the point where the curves <math>y=x+2</math> and <math>y=1/x</math> meet, we have that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	y &= x+2\,,\\[5pt]		y &= x+2\,,\\[5pt]
	y &= 1/x\,\textrm{.}		y &= 1/x\,\textrm{.}
Zeile 43:		Zeile 43:
	:If we eliminate <math>y</math>, we obtain an equation for <math>x</math>,		:If we eliminate <math>y</math>, we obtain an equation for <math>x</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}

	:which we multiply by <math>x</math>,		:which we multiply by <math>x</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}

	:Completing the square of the left-hand side,		:Completing the square of the left-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,,\\[5pt]		(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,,\\[5pt]
	(x+1)^2 &= 2\,,		(x+1)^2 &= 2\,,
Zeile 66:		Zeile 66:
	The sub-areas are		The sub-areas are

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{Left area}		\text{Left area}
	&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]		&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
Zeile 86:		Zeile 86:
	The total area is		The total area is

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{Area}		\text{Area}
	&= \text{(left area)} + \text{(right area)}\\[5pt]		&= \text{(left area)} + \text{(right area)}\\[5pt]

Tek um 09:04, 28. Okt. 2008

Tek — Tue, 28 Oct 2008 09:04:53 GMT

(Unterschied zwischen Versionen)

Ian um 08:45, 19. Okt. 2008

Ian — Sun, 19 Oct 2008 08:45:49 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:45, 19. Okt. 2008
Zeile 60:		Zeile 60:


-	<math>\left\{ \begin{~~matrix~~}	+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
-	y=\text{1 } \\	+	y=\text{1} \\
	y=x+\text{2} \\		y=x+\text{2} \\
-	\end{~~matrix~~} \right.</math>	+	\end{array} \right.</math>


Zeile 82:		Zeile 82:


-	<math>\left\{ \begin{~~matrix~~}	+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
	y=x+\text{2} \\		y=x+\text{2} \\
	y={1}/{x}\; \\		y={1}/{x}\; \\
-	\end{~~matrix~~} \right.</math>	+	\end{array} \right.</math>


Zeile 113:		Zeile 113:
	<math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, leading to		<math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, leading to
	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>		<math>b=-1+\sqrt{2}</math>
-
	(the alternative		(the alternative
	<math>b=-1-\sqrt{2}</math>		<math>b=-1-\sqrt{2}</math>
Zeile 147:		Zeile 146:
	& =0-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)+\sqrt{2}-1 \\		& =0-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)+\sqrt{2}-1 \\
	& =\sqrt{2}-2-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\		& =\sqrt{2}-2-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	The total area is
		+
		+	Area = (left area +right area)
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& =1+\sqrt{2}-2-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
		+	& =\sqrt{2}-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Ian um 12:46, 18. Okt. 2008

Ian — Sat, 18 Oct 2008 12:46:36 GMT

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-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	We start by drawing the three curves:
-	~~<center> [[Image~~:~~2_1_4d-1(5).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	~~<center> [[Image:2_1_4d-2(5).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	~~<center> [[Image:2_1_4d-3(5).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	~~<center> [[Image:2_1_4d-4(5).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
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-	~~<center> [[Image:2_1_4d-5(5).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-		+

	[[Image:2_1_4_d1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d1.gif\|center]]
		+
		+	When we draw the curves on the same diagram, we see that the region is bounded from below in the
		+	<math>y</math>
		+	-direction by the horizontal line
		+	<math>y=\text{1}</math>
		+	and above partly by
		+	<math>y=x+2</math>
		+	and partly by
		+	<math>y=\frac{1}{x}</math>.
		+

	[[Image:2_1_4_d2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d2.gif\|center]]
		+
		+	If we denote the
		+	<math>x</math>
		+	-coordinates of the intersection points by
		+	<math>x=a</math>,
		+	<math>x=b</math>
		+	and
		+	<math>x=c</math>, as shown in the figure, we see that the region can be divided up into two parts. In the left part between
		+	<math>x=a</math>
		+	and
		+	<math>x=b</math>, the upper limit is
		+	<math>y=x+2</math>, whilst in the right part between
		+	<math>x=b</math>
		+	and
		+	<math>x=c</math>
		+
		+	<math>y={1}/{x}\;</math>
		+	is the upper limit.
		+

	[[Image:2_1_4_d3.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_d3.gif\|center]]
		+
		+	The area of each part is given by the integrals
		+
		+	Left area
		+	<math>=\int\limits_{a}^{b}{\left( x+2-1 \right)}\,dx</math>
		+
		+
		+	Right area
		+	<math>=\int\limits_{b}^{c}{\left( \frac{1}{x}-1 \right)}\,dx</math>
		+
		+
		+	and the total area is the sum of these areas.
		+
		+	If we just manage to determine the curves' points of intersection, the rest is just a matter of integration.
		+
		+	To determine the points of intersection:
		+
		+
		+	<math>x=a</math>: the point of intersection between
		+	<math>y=\text{1 }</math>
		+	and
		+	<math>y=x+\text{2}</math>
		+	must both satisfy the equations of the lines
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{matrix}
		+	y=\text{1 } \\
		+	y=x+\text{2} \\
		+	\end{matrix} \right.</math>
		+
		+
		+	This gives that
		+	<math>x</math>
		+	must satisfy
		+	<math>x+\text{2}=\text{1}</math>, i.e.
		+	<math>x=-\text{1 }</math>
		+	Thus,
		+	<math>a=-\text{1}</math>.
		+
		+
		+	<math>x=b</math>: At the point where the curves
		+	<math>y=x+\text{2}</math>
		+	and
		+	<math>y={1}/{x}\;</math>
		+	meet, we have that
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{matrix}
		+	y=x+\text{2} \\
		+	y={1}/{x}\; \\
		+	\end{matrix} \right.</math>
		+
		+
		+	If we eliminate
		+	<math>y</math>, we obtain an equation for
		+	<math>x</math>,
		+
		+
		+	<math>x+2=\frac{1}{x}</math>,
		+
		+	which we multiply by
		+	<math>x</math>,
		+
		+
		+	<math>x^{2}+2x=1</math>
		+
		+
		+	Completing the square of the left-hand side,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \left( x+1 \right)^{2}-1^{2}=1 \\
		+	& \left( x+1 \right)^{2}=2 \\
		+	\end{align}</math>,
		+
		+	and taking the root gives that
		+	<math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, leading to
		+	<math>b=-1+\sqrt{2}</math>
		+
		+	(the alternative
		+	<math>b=-1-\sqrt{2}</math>
		+	lies to the left of
		+	<math>b=a</math>).
		+
		+
		+	<math>x=c</math>: the final point of intersection is given by the condition that the equation to both curves,
		+	<math>y=\text{1}</math>
		+	and
		+	<math>y={1}/{x}\;</math>, are satisfied simultaneously. We see almost immediately that this gives
		+	<math>x=\text{1}</math>, i.e.
		+	<math>c=\text{ 1}</math>.
		+
		+	The sub-areas are
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \text{Leftarea }=\text{ }\int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1}{\left( x+2-1 \right)}\,dx=\int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1}{\left( x+1 \right)}\,dx \\
		+	& =\left[ \frac{x^{2}}{2}+x \right]_{-1}^{\sqrt{2}-1} \\
		+	& =\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}}{2}+\sqrt{2}-1-\left( \frac{\left( -1 \right)^{2}}{2}+\left( -1 \right) \right) \\
		+	& =\frac{\left( \sqrt{2} \right)^{2}-2\sqrt{2}+1}{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}+1 \\
		+	& =\frac{2-2\sqrt{2}+1}{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}+1 \\
		+	& =1-\sqrt{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}+1 \\
		+	& =1 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \text{Rightarea }=\int\limits_{\sqrt{2}-1}^{1}{\left( \frac{1}{x}-1 \right)}\,dx=\left[ \ln \left\| x \right\|-x \right]_{\sqrt{2}-1}^{1} \\
		+	& =\ln 1-1-\left( \ln \left( \sqrt{2}-1 \right)-\left( \sqrt{2}-1 \right) \right) \\
		+	& =0-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)+\sqrt{2}-1 \\
		+	& =\sqrt{2}-2-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
		+	\end{align}</math>