Lösung 1.3:7 - Versionsgeschichte

Silke2 um 18:10, 9. Sep. 2009

Silke2 — Wed, 09 Sep 2009 18:10:24 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:10, 9. Sep. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>.		::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>.

-	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum ~~in einem~~ stationären ~~Punkt~~ an.	+	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum an einer stationären Stelle an.

	Wir leiten die Funktion ab		Wir leiten die Funktion ab
Zeile 74:		Zeile 74:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (~~Der Punkt~~ <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)	+	Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Die Stelle <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)

	Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren		Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren
Zeile 137:		Zeile 137:
	\|}		\|}

-	Wir sehen hier, dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum ~~ist~~. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>:	+	Wir sehen hier, dass die Funktion an der Stelle <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum hat. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}

Moni um 19:48, 21. Aug. 2009

Moni — Fri, 21 Aug 2009 19:48:10 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 19:48, 21. Aug. 2009
Zeile 58:		Zeile 58:
	<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.		<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.

-	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, für <math>0\le x\le 1\,</math>.	+	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\ </math> , für <math>0\le x\le 1\,</math>.

	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.		Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.

Sekretariat1 um 14:40, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 14:40:18 GMT

Bayerer um 11:42, 7. Aug. 2009

Bayerer — Fri, 07 Aug 2009 11:42:12 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:42, 7. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Image:1_3_7_1_1_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_1_de.gif\|center]]

-	Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die ~~Maße~~ Kegels.	+	Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.

	[[Image:1_3_7_1_2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_2_de.gif\|center]]

-	Mit diesen ~~Maßen~~ ist das Volumen des Kegels:	+	Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Bayerer um 10:50, 6. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 06 Aug 2009 10:50:37 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:50, 6. Aug. 2009
Zeile 54:		Zeile 54:
	::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.		::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.

-	Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass ~~dar~~ Winkel	+	Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
	<math>\alpha</math> nur in		<math>\alpha</math> nur in
	<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.		<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.

-	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, ~~wenn~~ <math>0\le x\le 1\,</math>.	+	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, für <math>0\le x\le 1\,</math>.

-	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math>, ist ~~der~~ Volumen null, ~~und nachdem~~ die Funktion überall außer in <math>x=1</math> ~~ableitbar~~ ist, nimmt ~~der~~ Volumen sein ~~Maxima an einen~~ stationären Punkt an.	+	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null, weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.

	Wir leiten die Funktion ab,		Wir leiten die Funktion ab,
Zeile 74:		Zeile 74:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist ~~auch~~ ein ~~Endpunkt~~) oder wenn <math>2-3x^2=0</math>, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)	+	Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Raandpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)

	Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,		Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
Zeile 137:		Zeile 137:
	\|}		\|}

-	Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales ~~Maxima~~ ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht den Winkel <math>\alpha</math>:	+	Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht den Winkel <math>\alpha</math>:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ ~~\text{radians.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}

Bayerer um 10:47, 6. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 06 Aug 2009 10:47:46 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:47, 6. Aug. 2009
Zeile 42:		Zeile 42:

	Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von		Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
-	<math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. ~~Der~~ Volumen des Kegels ist also	+	<math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 54:		Zeile 54:
	::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.		::Maximiere <math>V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,</math>, wo <math>0\le \alpha \le 2\pi\,</math>.

-	Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel	+	Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass dar Winkel
	<math>\alpha</math> nur in		<math>\alpha</math> nur in
-	<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, ~~und also~~ können wir ~~den~~ Volumen genauso in Bezug auf ~~den Variabel~~ <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren~~, um das Problem zu vereinfachen,~~	+	<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt, um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.

	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>.		::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, wenn <math>0\le x\le 1\,</math>.

Bayerer um 10:45, 6. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 06 Aug 2009 10:45:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:45, 6. Aug. 2009
Zeile 16:		Zeile 16:
	Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.		Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.

-	Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ~~wird~~ der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments	+	Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
	<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.		<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.

Zeile 22:		Zeile 22:

	Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch		Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch
-	<math>2\pi r</math>, ~~und~~ also haben wir	+	<math>2\pi r</math>, also haben wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}}

-	Jetzt haben wir ~~also~~ den neuen Radius <math>r</math> als Funktion ~~von den Winkel~~	+	Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels
-	<math>\alpha</math> und ~~den~~ ursprünglichen Radius <math>R</math> ~~geschrieben~~.	+	<math>\alpha</math> und dem ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.

-	Um die Höhe zu ~~beschreiben~~, benutzen wir ~~das Gesetz~~ des Pythagoras	+	Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras

	[[Image:1_3_7_1_4.gif\|\|center]]		[[Image:1_3_7_1_4.gif\|\|center]]

Bayerer um 10:40, 6. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 06 Aug 2009 10:40:16 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:40, 6. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:		Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

-	[[Image:~~1_3_7_1_1~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_7_1_1_de.gif\|center]]

-	Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, ~~definieren~~ wir die Maße ~~des~~ Kegels.	+	Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.

-	[[Image:~~1_3_7_1_2~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_7_1_2_de.gif\|center]]

-	Mit diesen Maßen ~~wird der~~ Volumen des Kegels,	+	Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 14:		Zeile 14:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ~~schreiben~~, sodass wir ~~den~~ Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.	+	Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.

-	Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> ~~von den~~ Kreis ~~weg~~, wird der ~~Radius~~ des ~~über gebliebenen Kreises~~	+	Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, wird der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
-	<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wo <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.	+	<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.

-	[[Image:~~1_3_7_1_3~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_7_1_3_de.gif\|center]]

	Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch		Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch

Bayerer um 09:10, 6. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 06 Aug 2009 09:10:05 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:10, 6. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Das Verfahren wenn wir die~~ Kegel ~~erschaffen~~ wird hier ~~deutlich~~ illustriert:	+	Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:

	[[Image:1_3_7_1_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_1.gif\|center]]

Martin um 12:45, 27. Apr. 2009

Martin — Mon, 27 Apr 2009 12:45:52 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:45, 27. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Das Verfahren wird hier deutlich illustriert:	+	Das Verfahren wenn wir die Kegel erschaffen wird hier deutlich illustriert:

	[[Image:1_3_7_1_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_1.gif\|center]]

← Nächstältere Version		Version vom 14:40, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:	+	Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert.

	[[Image:1_3_7_1_1_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_1_de.gif\|center]]

-	~~Nachdem~~ wir ~~den~~ Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.	+	Da wir das Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Abmessungen Kegels.

	[[Image:1_3_7_1_2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_2_de.gif\|center]]

-	Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels:	+	Mit diesen Abmessungen ist das Volumen des Kegels

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 14:		Zeile 14:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.	+	Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können.

	Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments		Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments
-	<math>(2\pi-\alpha)R</math> ~~sein~~, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.	+	<math>(2\pi-\alpha)R</math>, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist.

	[[Image:1_3_7_1_3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_7_1_3_de.gif\|center]]
Zeile 27:		Zeile 27:

	Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels		Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels
-	<math>\alpha</math> und ~~dem~~ ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.	+	<math>\alpha</math> und des ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt.

-	Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras	+	Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras.

	[[Image:1_3_7_1_4.gif\|\|center]]		[[Image:1_3_7_1_4.gif\|\|center]]
Zeile 42:		Zeile 42:

	Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von		Jetzt haben wir den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> als Funktionen von
-	<math>\alpha</math> und <math>R</math>, geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also	+	<math>\alpha</math> und <math>R</math> geschrieben. Das Volumen des Kegels ist also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 56:		Zeile 56:
	Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel		Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir, dass der Winkel
	<math>\alpha</math> nur in		<math>\alpha</math> nur in
-	<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt~~, um~~ das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.	+	<math>(2\pi-\alpha)/2\pi</math>-Termen auftritt. Um das Problem zu vereinfachen, können wir das Volumen genauso in Bezug auf die Variable <math>x=(2\pi-\alpha)/2\pi</math> maximieren.

	::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, für <math>0\le x\le 1\,</math>.		::Maximiere <math>V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,</math>, für <math>0\le x\le 1\,</math>.

-	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null~~, weil~~ die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.	+	Wenn <math>x=0</math> oder <math>x=1</math> ist, ist das Volumen null. Weil die Funktion überall (außer in <math>x=1</math>) differenzierbar ist, nimmt das Volumen sein Maximum in einem stationären Punkt an.

-	Wir leiten die Funktion ab,	+	Wir leiten die Funktion ab

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,</math>}}

-	und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,	+	und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt]		V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt]
	&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt]		&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt]
-	&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{.}	+	&= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Die Ableitung ist null wenn <math>x=0</math> (dies ist ein ~~Raandpunkt~~) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)	+	Die Ableitung ist null, wenn <math>x=0</math> (dies ist ein Randpunkt) oder wenn <math>2-3x^2=0</math> ist, also wenn <math>x=\sqrt{2/3}\,</math>. (Der Punkt <math>x=-\sqrt{2/3}</math> liegt außerhalb des Gebietes <math>0\le x\le 1</math>.)

-	Durch ~~einer~~ Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,	+	Durch eine Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren

	{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 110:		Zeile 110:


-	und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst	+	und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst.


Zeile 137:		Zeile 137:
	\|}		\|}

-	Wir sehen hier dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht ~~den~~ Winkel <math>\alpha</math>:	+	Wir sehen hier, dass <math>x=\sqrt{2/3}</math> ein globales Maximum ist. <math>x = \sqrt{2/3}</math> entspricht dem Winkel <math>\alpha</math>:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ </math>}}