Lösung 1.3:6 - Versionsgeschichte

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:35:41 GMT

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 10:35, 16. Sep. 2009
Zeile 43:		Zeile 43:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}

-	an der ~~stationären~~ Stelle.	+	an der stationären Stelle.

	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.		Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.

Silke2 um 18:07, 9. Sep. 2009

Silke2 — Wed, 09 Sep 2009 18:07:47 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:07, 9. Sep. 2009
Zeile 20:		Zeile 20:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}

-	~~Unser Problem ist~~ dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.	+	Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.

-	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen ~~Extrempunkte~~ nur in stationären ~~Punkten~~.	+	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 43:		Zeile 43:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}

-	~~im stationären Punkt~~.	+	an der stationären Stelle.

-	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ~~ein lokales Minimum~~.	+	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.

-	Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ~~ein globales Minimum~~.	+	Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.

	Also ist die Fläche minimal, wenn		Also ist die Fläche minimal, wenn

Moni um 19:40, 21. Aug. 2009

Moni — Fri, 21 Aug 2009 19:40:39 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 19:40, 21. Aug. 2009
Zeile 45:		Zeile 45:
	im stationären Punkt.		im stationären Punkt.

-	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.	+	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.

	Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.		Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.

Sekretariat1 um 14:33, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 14:33:20 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:33, 20. Aug. 2009
Zeile 12:		Zeile 12:
	Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.		Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.

-	Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens,	+	Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}

-	und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben,	+	und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}

-	Unser Problem ist dann	+	Unser Problem ist dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.

-	~~::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.~~	+	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.
-		+
-	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (~~nachdem~~ <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.	+

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}

	Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung		Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
Zeile 39:		Zeile 37:
	Die zweite Ableitung ist		Die zweite Ableitung ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}

	und hat den Wert		und hat den Wert

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}

	im stationären Punkt.		im stationären Punkt.
Zeile 49:		Zeile 47:
	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.		Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.

-	~~Nachdem~~ wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. ~~In unseren Fall~~ wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.	+	Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.

-	Also ist die Fläche minimal wenn	+	Also ist die Fläche minimal, wenn

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{~~and~~}\\[5pt]	+	r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
	h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}		h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Bayerer um 10:26, 5. Aug. 2009

Bayerer — Wed, 05 Aug 2009 10:26:54 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:26, 5. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. ~~Der~~ Volumen ist	+	Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 10:		Zeile 10:
	[[Image:1_3_6_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_6_1.gif\|center]]

-	Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während ~~der~~ Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist.	+	Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.

-	Wir schreiben ''h'' als Funktion des ~~Volumen~~,	+	Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
Zeile 24:		Zeile 24:
	::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.		::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.

-	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), ~~und~~ also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.	+	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 30:		Zeile 30:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}

-	~~Und die~~ Ableitung ~~gleich null ergibt folgende~~ Gleichung	+	Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 47:		Zeile 47:
	im stationären Punkt.		im stationären Punkt.

-	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales ~~Minima~~.	+	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minimum.

-	Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in ~~den~~ beiden ~~Richtungen~~ <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, ~~und~~ also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales ~~Minima~~.	+	Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minimum.

	Also ist die Fläche minimal wenn		Also ist die Fläche minimal wenn

Martin um 12:21, 27. Apr. 2009

Martin — Mon, 27 Apr 2009 12:21:56 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:21, 27. Apr. 2009
Zeile 49:		Zeile 49:
	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima.		Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima.

-	Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist	+	Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein globales Minima.
-	<math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> ein globales Minima.	+

	Also ist die Fläche minimal wenn		Also ist die Fläche minimal wenn

Martin um 12:21, 27. Apr. 2009

Martin — Mon, 27 Apr 2009 12:21:10 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:21, 27. Apr. 2009
Zeile 47:		Zeile 47:
	im stationären Punkt.		im stationären Punkt.

-	Also ist <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> ein lokales Minima.	+	Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> ein lokales Minima.

	Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist		Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist

Martin um 12:19, 27. Apr. 2009

Martin — Mon, 27 Apr 2009 12:19:33 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:19, 27. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we call the radius of the metal can~~ ''r'' ~~and its height~~ ''h''~~, then we can determine the can's volume and area by using the figures below,~~	+	Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Der Volumen ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{Volume} &= \text{(~~area of the base~~)}\cdot\text{(~~height~~)}\\[5pt]	+	\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
	&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]		&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
-	\text{~~Area~~} &= \text{(~~area of the base~~)} + \text{(~~area of the cylindrical surface~~)}\\[5pt]	+	\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
	&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}		&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
Zeile 10:		Zeile 10:
	[[Image:1_3_6_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_6_1.gif\|center]]

-	~~The problem can then be formulated as: minimise the can's area,~~ <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, ~~whilst at the same time keeping the volume,~~ <math>V = \pi r^2h\,</math>, ~~constant~~.	+	Das Problem ist also; Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während der Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math>, konstant ist.

-	~~From the formula for the volume, we can make~~ ''h'' ~~the subject~~,	+	Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}

-	~~and express the area solely in terms of the radius,~~ ''r'',	+	und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The minimisation problem is then:~~	+	Unser Problem ist dann

-	::~~Minimise the area~~ <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, ~~when~~ <math>r>0\,</math>.	+	::Minimiere die Flächea <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.

-	~~The area function~~ <math>A(r)</math> ~~is differentiable for all~~ <math>r>0</math> ~~and the region of definition~~ <math>r>0</math> ~~has no endpoints~~ (<math>r=0</math> ~~does not satisfy~~ <math>r>0</math>), ~~so the function can only assume extreme values at critical points~~.	+	Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar, und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (nachdem <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), und also erscheinen Extrempunkte nur in stationären Punkten.

-	~~The derivative is given by~~	+	Die Ableitung ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}

-	~~and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get~~	+	Und die Ableitung gleich null ergibt folgende Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 37:		Zeile 37:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~For this value of ''r'', the second derivative,~~	+	Die zweite Ableitung ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}

-	~~has the value~~	+	und hat den Wert

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}

-	~~which shows that <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> is a local minimum~~.	+	im stationären Punkt.

-	~~Because the region of definition, <math>r>0</math>, is open (the endpoint~~	+	Also ist <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> ein lokales Minima.
-	<math>r=0\text{ }</math> is not included) and unlimited, we cannot directly say that the area is least when <math>r = \sqrt[3]{V/\pi}\,</math>; it could be the case that area becomes smaller when <math>r\to 0</math> or <math>r\to \infty </math>. In this case, however, the area increases without bound as	+
-	~~<math>r\to 0</math> or <math>r\to \infty </math>, so~~ <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math>	+
-	~~really is a global minimum~~.	+

-	~~The metal can has the least area for a given volume~~ <math>V</math> ~~when~~	+	Nachdem wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen dass die Fläche kleiner wird wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. In unseren Fall wächst die Fläche aber unbegrenzt in den beiden Richtungen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, und also ist
		+	<math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> ein globales Minima.
		+
		+	Also ist die Fläche minimal wenn

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:13:15 GMT

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Version vom 10:13, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:57:04 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 12:57, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	If we call the radius of the metal can ''r'' and its height ''h'', then we can determine the can's volume and area by using the figures below,		If we call the radius of the metal can ''r'' and its height ''h'', then we can determine the can's volume and area by using the figures below,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{Volume} &= \text{(area of the base)}\cdot\text{(height)}\\[5pt]		\text{Volume} &= \text{(area of the base)}\cdot\text{(height)}\\[5pt]
	&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]		&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
Zeile 14:		Zeile 14:
	From the formula for the volume, we can make ''h'' the subject,		From the formula for the volume, we can make ''h'' the subject,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}

	and express the area solely in terms of the radius, ''r'',		and express the area solely in terms of the radius, ''r'',

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}

	The minimisation problem is then:		The minimisation problem is then:
Zeile 28:		Zeile 28:
	The derivative is given by		The derivative is given by

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}

	and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get		and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt]		& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt]
	&\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}		&\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
Zeile 39:		Zeile 39:
	For this value of ''r'', the second derivative,		For this value of ''r'', the second derivative,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}

	has the value		has the value

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}

	which shows that <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> is a local minimum.		which shows that <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> is a local minimum.
Zeile 54:		Zeile 54:
	The metal can has the least area for a given volume <math>V</math> when		The metal can has the least area for a given volume <math>V</math> when

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt]		r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt]
	h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}		h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}