Lösung 1.3:4 - Versionsgeschichte

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:35:31 GMT

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 10:35, 16. Sep. 2009
Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}

-	also hat die ~~Flächenfunktion~~ an der Stelle <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.	+	also hat die Flächenfunktion an der Stelle <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.

	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>		Also ist der optimale Punkt <math>P</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Silke2 um 17:57, 9. Sep. 2009

Silke2 — Wed, 09 Sep 2009 17:57:48 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:57, 9. Sep. 2009
Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}

-	also ~~ist~~ <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.	+	also hat die Flächenfunktion an der Stelle <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.

	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>		Also ist der optimale Punkt <math>P</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Ombtut4 um 11:39, 9. Sep. 2009

Ombtut4 — Wed, 09 Sep 2009 11:39:46 GMT

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Zeile 12:		Zeile 12:


-	Lokale ~~Extrempunkte~~ der Fläche sind entweder:	+	Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:

-	# stationäre ~~Punkte~~ mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# singuläre ~~Punkte~~, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-	# ~~Endpunkte~~.	+	# Randstellen.
-	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die ~~Endpunkte~~ <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale ~~Extrempunkte~~ sein (offenbar lokale Minima).	+	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).

	Die Ableitung der Funktion ist		Die Ableitung der Funktion ist
Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}

-	und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären ~~Punkte~~. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.	+	und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Stellen. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.

-	Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären ~~Punkt~~ den Wert	+	Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat in der stationären Stelle den Wert

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}

Moni um 19:24, 21. Aug. 2009

Moni — Fri, 21 Aug 2009 19:24:19 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 19:24, 21. Aug. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	Wir wollen diese Fläche maximieren.		Wir wollen diese Fläche maximieren.

-	Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. <math>x\ge 0</math>~~, also~~ <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.	+	Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. Also <math>x\ge 0</math> und <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.

Sekretariat1 um 14:07, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 14:07:26 GMT

Bayerer um 10:18, 5. Aug. 2009

Bayerer — Wed, 05 Aug 2009 10:18:46 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:18, 5. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir ~~benennen~~ die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, ~~nachdem~~ <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.	+	Wir nennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''-Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, da <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.

	[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]		[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]
Zeile 7:		Zeile 7:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}

-	Wir wollen diese Fläche ~~in Bezug auf ''x''~~ maximieren.	+	Wir wollen diese Fläche maximieren.

-	Wir sehen ~~von der Figur her~~ dass <math>P</math> in der ersten ~~Quadrante~~ liegen muss, <math>x\ge 0</math>, ~~und~~ also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, ~~und~~ wir erhalten dass <math>x\le 1</math>. Also suchen wir das ~~Maxima~~ von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.	+	Wir sehen dass <math>P</math> in der ersten Quadranten liegen muss, <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, wir erhalten damit, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximu von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.


	Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:		Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ~~ableitbar~~ ist, oder	+	# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.
-	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, so der ~~wir müssen den 2:en~~ Fall nicht ~~beachten~~. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima~~, siehe Figur~~).	+	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).

	Die Ableitung der Funktion ist		Die Ableitung der Funktion ist
Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}

-	~~und~~ also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales ~~Maxima~~.	+	also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.

	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:		Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 11:39, 27. Apr. 2009

Martin — Mon, 27 Apr 2009 11:39:26 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:39, 27. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we call the~~ ''x''-~~coordinate of the point~~ <math>P</math> <math>x</math>~~, then its~~ ''y''~~-coordinate is~~ <math>1-x^{2}</math>, ~~because~~ <math>P</math> ~~lies on the curve~~ <math>y=1-x^{2}</math>.	+	Wir benennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, nachdem <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.

	[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]		[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]

-	~~The area of the rectangle is then given by~~	+	Die Fläche des Rechteckes ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(~~base~~)}\cdot\text{(~~height~~)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}

-	~~and we will try to choose <math>~~x~~</math> so that this area function is maximised~~.	+	Wir wollen diese Fläche in Bezug auf ''x'' maximieren.

-	~~To begin with, we note that, because~~ <math>P</math> ~~should lie~~ in ~~the first quadrant~~, <math>x\ge 0</math> ~~and~~ also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, ~~i.e.~~ <math>x\le 1</math>. ~~We should therefore look for the maximum of~~ <math>A(x)</math> ~~when~~ <math>0\le x\le 1\,</math>.	+	Wir sehen von der Figur her dass <math>P</math> in der ersten Quadrante liegen muss, <math>x\ge 0</math>, und also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, und wir erhalten dass <math>x\le 1</math>. Also suchen wir das Maxima von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.

-	There are three types of points which can maximise the area function:

-	~~# critical points,~~	+	Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
-	~~# points where the function is not differentiable,~~	+
-	~~# endpoints of the region of definition.~~	+

-	~~The function~~ <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ~~is differentiable everywhere~~, so ~~item~~ 2 ~~does not apply~~. ~~In addition,~~ <math>A(0) = A(1) = 0\,</math>~~, so the endpoints in item 3 cannot be maximum points~~ (~~but rather the opposite~~, ~~i.e. minimum points~~).	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
		+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
		+	# Endpunkte.
		+	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, so der wir müssen den 2:en Fall nicht beachten. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima, siehe Figur).

-	~~We must therefore conclude that the maximum area is a critical point. We differentiate~~	+	Die Ableitung der Funktion ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}

-	~~and the condition that the derivative should be zero gives that~~ <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math>~~; however, it is only~~ <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ~~which satisfies~~ <math>0\le x\le 1</math>.	+	und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.

-	~~At the critical point, the second derivative~~ <math>A''(x)=-6x</math> ~~has the value~~	+	Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}

-	~~which shows that~~ <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ~~is a local maximum~~.	+	und also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maxima.

-	~~The answer is that the point~~ <math>P</math> ~~should be chosen so that~~	+	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:12:35 GMT

Solution 1.3:4 moved to Lösung 1.3:4: Robot: moved page

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Version vom 10:12, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:56:44 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 08:43, 21. Okt. 2008

Tek — Tue, 21 Oct 2008 08:43:47 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:43, 21. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we call the	+	If we call the ''x''-coordinate of the point <math>P</math> <math>x</math>, then its ''y''-coordinate is <math>1-x^{2}</math>, because <math>P</math> lies on the curve <math>y=1-x^{2}</math>.
-	<math>x</math>	+
-	-coordinate ~~of the point~~	+
-	<math>P</math>	+

-	~~<math>x</math>, then its~~	+	[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]
-	~~<math>y</math>~~	+
-	-~~coordinate is~~	+
-	~~<math>~~1-~~x^{2}</math>, because~~	+
-	~~<math>P</math>~~	+
-	~~lies on the curve~~	+
-	~~<math>y=~~1~~-x^{2}</math>~~.	+
-		+
-	~~FIGURE~~	+

	The area of the rectangle is then given by		The area of the rectangle is then given by

		+	{{Displayed math\|\|<math>A(x) = \text{(base)}\cdot\text{(height)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}

-	<math>~~A\left(~~ x ~~\right)=</math>~~	+	and we will try to choose <math>x</math> so that this area function is maximised.
-	~~base *height~~	+
-	~~<math>=x\centerdot \left( 1-x^{2} \right)~~</math>.	+

-		+	To begin with, we note that, because <math>P</math> should lie in the first quadrant, <math>x\ge 0</math> and also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, i.e. <math>x\le 1</math>. We should therefore look for the maximum of <math>A(x)</math> when <math>0\le x\le 1\,</math>.
-		+
-	~~and we will try to choose~~	+
-	~~<math>x</math>~~	+
-	~~so that this area function is maximised.~~	+
-		+
-	To begin with, we note that, because	+
-	<math>P</math>	+
-	should lie in the first quadrant,	+
-	<math>x\ge 0</math>	+
-	and also	+
-	<math>y=1-x^{2}\ge 0</math>, i.e.	+
-	<math>x\le 1</math>. We should therefore look for the maximum of	+
-	<math>A~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+
-	when	+
-	<math>0\le x\le 1</math>.	+

	There are three types of points which can maximise the area function:		There are three types of points which can maximise the area function:

-	1. critical points,	+	# critical points,
-	2. points where the function is not differentiable,	+	# points where the function is not differentiable,
-	3. endpoints of the region of definition.	+	# endpoints of the region of definition.
-		+
-	~~The function~~	+
-	~~<math>A\left( x \right)=x\left( 1-x^{2} \right)</math>~~	+
-	~~is differentiable everywhere, so item 2. does not apply. In addition,~~	+
-	~~<math>A\left( 0 \right)=A\left( 1 \right)=0</math>, so the endpoints in item 3. cannot be maximum points (but rather the opposite, i.e. minimum points).~~	+
-		+
-	~~We must therefore supposed that the maximum area is a critical point. We differentiate~~	+

		+	The function <math>A(x) = x(1-x^2)</math> is differentiable everywhere, so item 2 does not apply. In addition, <math>A(0) = A(1) = 0\,</math>, so the endpoints in item 3 cannot be maximum points (but rather the opposite, i.e. minimum points).

-	~~<math>{A}'\left( x \right)=1\centerdot \left( 1-x^{2} \right)+x\centerdot \left( -2x \right)=1-3x^{2}</math>,~~	+	We must therefore conclude that the maximum area is a critical point. We differentiate

-	~~and the condition that the derivative should be zero gives that~~	+	{{Displayed math\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}
-	~~<math>x=\pm~~ {~~1}/~~{~~\sqrt{3}}\;</~~math~~>; however, it is only~~	+
-	<math>x={1~~}/{~~\~~sqrt{3}}\;</math>~~	+
-	~~which satisfies~~	+
-	~~<math>0\le~~ x\le 1</math>	+
-	~~At the critical point, the second derivative~~	+
-	~~<math>{A~~}~~''</math>~~	+
-	~~has the value~~	+

		+	and the condition that the derivative should be zero gives that <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math>; however, it is only <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> which satisfies <math>0\le x\le 1</math>.

-	<math>{A}''~~\left~~( ~~{1}/{\sqrt{3}}\; \right~~)=-~~6\centerdot \frac{1}{\sqrt{3}}<0~~</math>,	+	At the critical point, the second derivative <math>A''(x)=-6x</math> has the value

-	~~which shows that~~	+	{{Displayed math\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
-	<math>{1}/{\sqrt{3}}\;</math>	+
-	~~is a local maximum.~~	+

-	~~The answer is~~ that ~~the point~~	+	which shows that <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> is a local maximum.
-	<math>P</math>	+
-	~~should be chosen so that~~	+

		+	The answer is that the point <math>P</math> should be chosen so that

-	<math>P=\~~left~~( \frac{1}{\sqrt{3}} ~~\right.~~,~~\left.~~ 1-\~~left~~( \frac{1}{\sqrt{3}} \~~right~~)^{2} \~~right~~)=\~~left~~( \frac{1}{\sqrt{3}} ~~\right.~~,~~\left.~~ \frac{2}{3} \~~right~~)</math>.	+	{{Displayed math\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

← Nächstältere Version		Version vom 14:07, 20. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]		[[Image:1_3_4-1-1.gif\|center]]

-	Die Fläche des ~~Rechteckes~~ ist	+	Die Fläche des Rechtecks ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.</math>}}

	Wir wollen diese Fläche maximieren.		Wir wollen diese Fläche maximieren.

-	Wir sehen dass <math>P</math> ~~in der~~ ersten Quadranten liegen muss, <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>~~, wir erhalten damit~~, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das ~~Maximu~~ von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.	+	Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.


	Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:		Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

-	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~Singuläre~~ Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.
	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).		Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).
Zeile 21:		Zeile 21:
	Die Ableitung der Funktion ist		Die Ableitung der Funktion ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}

-	und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.	+	und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.

	Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert		Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert
Zeile 31:		Zeile 31:
	also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.		also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.

-	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:	+	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

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	The area of the rectangle is then given by		The area of the rectangle is then given by

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A(x) = \text{(base)}\cdot\text{(height)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A(x) = \text{(base)}\cdot\text{(height)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}

	and we will try to choose <math>x</math> so that this area function is maximised.		and we will try to choose <math>x</math> so that this area function is maximised.
Zeile 21:		Zeile 21:
	We must therefore conclude that the maximum area is a critical point. We differentiate		We must therefore conclude that the maximum area is a critical point. We differentiate

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}

	and the condition that the derivative should be zero gives that <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math>; however, it is only <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> which satisfies <math>0\le x\le 1</math>.		and the condition that the derivative should be zero gives that <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math>; however, it is only <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> which satisfies <math>0\le x\le 1</math>.
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	At the critical point, the second derivative <math>A''(x)=-6x</math> has the value		At the critical point, the second derivative <math>A''(x)=-6x</math> has the value

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}

	which shows that <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> is a local maximum.		which shows that <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> is a local maximum.
Zeile 33:		Zeile 33:
	The answer is that the point <math>P</math> should be chosen so that		The answer is that the point <math>P</math> should be chosen so that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}