Lösung 1.3:3e - Versionsgeschichte

Silke2 um 17:55, 9. Sep. 2009

Silke2 — Wed, 09 Sep 2009 17:55:26 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:55, 9. Sep. 2009
Zeile 118:		Zeile 118:


-	Die Funktion hat also lokale Minima in den ~~Punkten~~ <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima in den ~~Punkten~~ <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.	+	Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima an den Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

Sekretariat1 um 08:37, 21. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 21 Aug 2009 08:37:55 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:37, 21. Aug. 2009
Zeile 37:		Zeile 37:
	Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.		Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>,}}

-	da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.	+	da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math> hat.

Sekretariat1 um 13:59, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 13:59:19 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:59, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~Singuläre~~ Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	Wir untersuchen die einzelnen Fälle	+	Wir untersuchen die einzelnen Fälle.

	<ol>		<ol>
Zeile 13:		Zeile 13:
	f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]		f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]
	&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]		&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]
-	&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{.}	+	&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Zeile 19:		Zeile 19:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt]	+	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt]
-	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt]	+	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt]
-	x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,,	+	x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide ~~dieser~~ Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>	+	Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>

-	<li>Die Funktion besteht aus ~~einen~~ Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. ~~Nachdem~~ beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>	+	<li>Die Funktion besteht aus einem Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>

-	<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche ~~lokae~~ Extrempunkte betrachten.</li>	+	<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.</li>
	</ol>		</ol>

	Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.		Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.

-	Wir ~~stellen~~ eine Vorzeichentabelle ~~auf~~ um diese Punkte zu bestimmen.	+	Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.

	Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.		Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>}}

-	~~nachdem~~ <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.	+	da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.


Zeile 118:		Zeile 118:


-	Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und lokale Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.	+	Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

Bayerer um 10:12, 5. Aug. 2009

Bayerer — Wed, 05 Aug 2009 10:12:04 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:12, 5. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ~~ableitbar~~ ist, oder	+	# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

Zeile 8:		Zeile 8:

	<ol>		<ol>
-	<li>Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die ~~Ableitung~~ der ~~Funktion als null setzen~~.	+	<li>Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 16:		Zeile 16:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Die Ableitung ist null wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, ~~nachdem~~ <math>e^x</math> immer größer ~~aös~~ null ist ~~für alle <math>x</math>~~.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.	+	Die Ableitung ist null, wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, da <math>e^x</math> immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 24:		Zeile 24:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Also <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide dieser Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>	+	Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide dieser Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>

-	<li>Die Funktion besteht aus einen Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Nachdem beide ~~diese~~ Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>	+	<li>Die Funktion besteht aus einen Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Nachdem beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>

-	<li>Wir müssen ~~auch~~ die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.</li>	+	<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.</li>
	</ol>		</ol>

Zeile 83:		Zeile 83:


-	Das Vorzeichen der Ableitung ist ~~der~~ Produkt der Faktoren oben.	+	Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.


Zeile 118:		Zeile 118:


-	Die Funktion hat also ~~ein lokales~~ Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und ~~ein lokales~~ Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.	+	Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und lokale Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

Martin um 20:00, 26. Apr. 2009

Martin — Sun, 26 Apr 2009 20:00:25 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 20:00, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~As always, a function can only have local extreme points at one of the following types of points,~~	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# ~~critical points~~, ~~i.e. where~~ <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~points where the function is not differentiable~~, ~~and~~	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# ~~endpoints of the interval of definition~~.	+	# Endpunkte.

-	~~We investigate these three cases.~~	+	Wir untersuchen die einzelnen Fälle

	<ol>		<ol>
-	<li>~~We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero,~~	+	<li>Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die Ableitung der Funktion als null setzen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 16:		Zeile 16:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~This expression for the derivative can only be zero when~~ <math>x^2+x-2=0</math>, ~~because~~ <math>e^x</math> ~~differs from zero for all values of~~ <math>x</math>. ~~We solve the second-degree equation by completing the square,~~	+	Die Ableitung ist null wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, nachdem <math>e^x</math> immer größer aös null ist für alle <math>x</math>.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 24:		Zeile 24:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~i.e.~~ <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> ~~and~~ <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. ~~Both of these points lie within the region of definition,~~ <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>	+	Also <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide dieser Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>

-	<li>~~The function is a polynomial~~ <math>x^2-x-1</math> ~~multiplied by the exponential function~~ <math>e^x</math>, ~~and, because both of these functions are differentiable, the product is also a differentiable function, which shows that the function is differentiable everywhere~~.</li>	+	<li>Die Funktion besteht aus einen Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>

-	<li>~~The function's region of definition is <math>-3\le x\le 3</math> and the endpoints <math>x=-3</math> and <math>x=3</math> are therefore possible local extreme points~~.</li>	+	<li>Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.</li>
	</ol>		</ol>

-	~~All~~ in ~~all, there are four points~~ <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> ~~and~~ <math>x=3</math> ~~where the function possibly has local extreme points~~.	+	Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.

-	~~Now, we will write down a table of the sign of the derivative, in order to investigate if the function has local extreme points~~.	+	Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.

-	~~We can factorize the derivative somewhat,~~	+	Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}

-	~~since~~ <math>x^2+x-2</math> ~~has zeros at~~ <math>x=-2</math> ~~and~~ <math>x=1</math>. ~~Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table:~~	+	nachdem <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.


Zeile 83:		Zeile 83:


-	~~The sign of the derivative is the product of these signs and from the derivative's sign we decide which local extreme points we have:~~	+	Das Vorzeichen der Ableitung ist der Produkt der Faktoren oben.


Zeile 118:		Zeile 118:


-	~~The function has local minimum points at~~ <math>x=-3</math> ~~and~~ <math>x=1</math>, ~~and local maximum points~~ <math>x=-2</math> ~~and~~ <math>x=3</math>.	+	Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten <math>x=-3</math> und <math>x=1</math>, und ein lokales Maxima in den Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:12:15 GMT

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Version vom 10:12, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:56:34 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 08:21, 21. Okt. 2008

Tek — Tue, 21 Oct 2008 08:21:50 GMT

(Unterschied zwischen Versionen)

Ian um 13:21, 15. Okt. 2008

Ian — Wed, 15 Oct 2008 13:21:47 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:21, 15. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{~~{NAVCONTENT_START~~}}	+	As always, a function can only have local extreme points at one of the following types of points:
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~1_3_3e~~-1(4)~~.gif]] </center>~~	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	1. Critical points, i.e. where
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~1_3_3e~~-2(4)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	2. Points where the function is not differentiable;
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_3e~~-3~~(4)~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+	3. Endpoints of the interval of definition.
-	{{~~NAVCONTENT_STOP}~~}	+
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	We investigate these three cases.
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_3e~~-~~4(4).gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	1. We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& {f}'\left( x \right)=\left( x^{2}-x-1 \right)^{\prime }e^{x}+\left( x^{2}-x-1 \right)\left( e^{x} \right)^{\prime } \\
		+	& =\left( 2x-1 \right)e^{x}+\left( x^{2}-x-1 \right)e^{x} \\
		+	& =\left( x^{2}+x-2 \right)e^{x} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	This expression for the derivative can only be zero when
		+	<math>x^{2}+x-2=0</math>, because
		+	<math>e^{x}</math>
		+	differs from zero for all values of
		+	<math>x</math>.
		+	We solve the second-degree equation by completing the square:
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}-2=0 \\
		+	& =\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4} \\
		+	& =x+\frac{1}{2}=\pm \frac{3}{2} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	i.e.
		+	<math>x=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2</math>
		+	and
		+	<math>x=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1</math>.Both of these points lie within the region of definition,
		+	<math>-3\le x\le 3</math>
		+
		+
		+	2. The function is a polynomial
		+	<math>x^{2}-x-1</math>
		+	multiplied by the exponential function
		+	<math>e^{x}</math>, and, because both of these functions are differentiable, the product is also a differentiable function, which shows that the function is differentiable everywhere.
		+
		+
		+	3. The function's region of definition is
		+	<math>-3\le x\le 3</math>
		+	and the endpoints
		+	<math>x=-3\text{ }</math>
		+	and
		+	<math>x=3\text{ }</math>
		+	are therefore possible local extreme points.
		+
		+	All in all, there are four points
		+	<math>x=-3,\quad x=-2,\quad x=1</math>
		+	and
		+	<math>x=3</math>
		+	where the function possibly has local extreme points.
		+
		+	Now, we will write down a table of the sign of the derivative, in order to investigate the function has local extreme points.
		+
		+	We can factorize the derivative somewhat,
		+
		+	<math>{f}'\left( x \right)=\left( x^{2}+x-2 \right)e^{x}=\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)e^{x}</math>,
		+	since
		+	<math>x^{2}+x-2</math>
		+	has zeros at
		+	<math>x=-2</math>
		+	and
		+	<math>x=1</math>. Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table:
		+
		+	TABELL
		+
		+	The sign of the derivative is the product of these signs and from the derivative's sign we decide which local extreme points we have:
		+
		+	TABELL
		+
		+
		+	The function has local minimum points at
		+	<math>x=-3</math>
		+	and
		+	<math>x=1</math>, and local maximum points
		+	<math>x=-2</math>
		+	and
		+	<math>x=3</math>.

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Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 14:32:41 GMT

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Version vom 14:32, 16. Sep. 2008

← Nächstältere Version		Version vom 12:56, 10. Mär. 2009
Zeile 10:		Zeile 10:
	<li>We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero,		<li>We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]		f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]
	&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]		&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]
Zeile 18:		Zeile 18:
	This expression for the derivative can only be zero when <math>x^2+x-2=0</math>, because <math>e^x</math> differs from zero for all values of <math>x</math>. We solve the second-degree equation by completing the square,		This expression for the derivative can only be zero when <math>x^2+x-2=0</math>, because <math>e^x</math> differs from zero for all values of <math>x</math>. We solve the second-degree equation by completing the square,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt]		\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt]
	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt]		\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt]
Zeile 37:		Zeile 37:
	We can factorize the derivative somewhat,		We can factorize the derivative somewhat,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}

	since <math>x^2+x-2</math> has zeros at <math>x=-2</math> and <math>x=1</math>. Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table:		since <math>x^2+x-2</math> has zeros at <math>x=-2</math> and <math>x=1</math>. Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table: