Lösung 1.3:3c - Versionsgeschichte

Silke2 um 17:53, 9. Sep. 2009

Silke2 — Wed, 09 Sep 2009 17:53:26 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:53, 9. Sep. 2009
Zeile 19:		Zeile 19:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}

-	Also ~~ist~~ <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.	+	Also hat die Funktion an der Stelle <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Ombtut4 um 11:32, 9. Sep. 2009

Ombtut4 — Wed, 09 Sep 2009 11:32:35 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Lokale ~~Extrempunkte~~ einer Funktion sind entweder:	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre ~~Punkte~~ mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# singuläre ~~Punkte~~, in denen die Funktion nicht ~~differenzierbar~~ ist, oder	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
-	# ~~Endpunkte~~	+	# Randstellen.

-	Die ~~Endpunkte~~ des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken ~~Endpunkt~~ des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.	+	Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

-	Nun bleiben nur noch die stationären ~~Punkte~~. Die Ableitung der Funktion ist	+	Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter ~~dieses Extrempunktes~~ zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist	+	Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}

	Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.		Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Sekretariat1 um 13:41, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 13:41:58 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:41, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~Singuläre~~ Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte		# Endpunkte

-	Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die ~~Bedienung~~ 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten ~~Bedienung~~.	+	Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

	Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist		Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}

-	Wir ~~sehan~~ dass diese Funktion null ist wenn	+	Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, ~~und~~ also ist	+	Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}

	Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.		Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Bayerer um 10:03, 5. Aug. 2009

Bayerer — Wed, 05 Aug 2009 10:03:52 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:03, 5. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ~~ableitbar~~ ist, oder	+	# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-	# Endpunkte.	+	# Endpunkte

-	Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher ~~hat~~ die Funktion ~~keine Endpunkte~~ (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), ~~und~~ also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ~~ergeben~~. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, ~~nachdem~~ <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, ~~und~~ also erhalten wir keine Extremwerte ~~durch die 2:e~~ Bedienung.	+	Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedienung.

-	~~Jetzt bestehen~~ nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist	+	Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
Zeile 19:		Zeile 19:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}

-	Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales ~~Minima~~.	+	Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Martin um 17:14, 26. Apr. 2009

Martin — Sun, 26 Apr 2009 17:14:13 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:14, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following,~~	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# ~~critical points~~, ~~i.e. where~~ <math>f^{\,\prime}(x) = 0\,</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~points where the function is not differentiable~~, ~~and~~	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# ~~endpoints of the interval of definition~~.	+	# Endpunkte.

-	~~What determines the function's region of definition is~~ <math>\ln x</math>~~, which is defined for~~ <math>x > 0</math>~~, and this region does not have any endpoints~~ (<math>x=0</math> ~~does not satisfy~~ <math>x>0</math>), ~~so item~~ 3 ~~above does not give rise to any imaginable extreme points~~. ~~Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined)~~, ~~because it consists of~~ <math>x</math> ~~and~~ <math>\ln x</math> ~~which are differentiable functions; so~~, ~~item~~ 2 ~~above does not contribute any extreme points either~~.	+	Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.

-	~~All the remains are possibly critical points~~. ~~We differentiate the function~~	+	Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}

-	~~and see that the derivative is zero when~~	+	Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative,~~ <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, ~~which gives that~~	+	Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, und also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}

-	~~which implies that~~ <math>x=e^{-1}</math> ~~is a local minimum~~.	+	Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minima.

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:11:35 GMT

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Version vom 10:11, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:56:14 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 12:56, 10. Mär. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	All the remains are possibly critical points. We differentiate the function		All the remains are possibly critical points. We differentiate the function

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}

	and see that the derivative is zero when		and see that the derivative is zero when

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}

	In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative, <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, which gives that		In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative, <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, which gives that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}

	which implies that <math>x=e^{-1}</math> is a local minimum.		which implies that <math>x=e^{-1}</math> is a local minimum.

Tek um 07:28, 20. Okt. 2008

Tek — Mon, 20 Oct 2008 07:28:35 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 07:28, 20. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following:	+	The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following,

-	~~1. Critical~~ points, i.e. where	+	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x) = 0\,</math>,
-	<math>{f}'\~~left~~( x ~~\right~~)=0</math>;	+	# points where the function is not differentiable, and
		+	# endpoints of the interval of definition.

-	~~2. Points where the function is not differentiable;~~	+	What determines the function's region of definition is <math>\ln x</math>, which is defined for <math>x > 0</math>, and this region does not have any endpoints (<math>x=0</math> does not satisfy <math>x>0</math>), so item 3 above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of <math>x</math> and <math>\ln x</math> which are differentiable functions; so, item 2 above does not contribute any extreme points either.
-		+
-	~~3. Endpoints of the interval of definition.~~	+
-		+
-	What determines the function's region of definition is	+
-	<math>\ln x</math>, which is defined for	+
-	<math>x>0</math>, and this region does not have any endpoints (	+
-	<math>x=0</math>	+
-	does not satisfy	+
-	<math>x>0</math>	+
-	), so item 3. above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of	+
-	<math>x</math>	+
-	and	+
-	<math>\ln x</math>	+
-	which are differentiable functions; so, item 2. above does not contribute any extreme points either.	+

	All the remains are possibly critical points. We differentiate the function		All the remains are possibly critical points. We differentiate the function

-		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
-	<math>{f}'\~~left~~( x ~~\right~~)=1\~~centerdot~~ \ln x+x\~~centerdot~~ \frac{1}{x}-0=\ln x+1</math>	+
-		+

	and see that the derivative is zero when		and see that the derivative is zero when

		+	{{Displayed math\|\|<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>\ln x=-1\quad \Leftrightarrow \quad x=e^{-1}</math>~~	+	In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative, <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, which gives that
-		+
-		+
-		+
-	In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative,	+
-	<math>{f}~~''\left~~( x ~~\right~~)={1}/{x~~}\;~~</math>	+
-	which gives that	+
-		+
-		+
-	~~<math>{f}''\left( e^{-1} \right)=\frac{1}{e^{-1}}=e>0</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}

-	which implies that	+	which implies that <math>x=e^{-1}</math> is a local minimum.
-	<math>x=e^{-1}</math>	+
-	is a local minimum.	+

Ian um 11:54, 15. Okt. 2008

Ian — Wed, 15 Oct 2008 11:54:22 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:54, 15. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following:
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_3c-1~~(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	1. Critical points, i.e. where
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_3c-2~~(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	2. Points where the function is not differentiable;
		+
		+	3. Endpoints of the interval of definition.
		+
		+	What determines the function's region of definition is
		+	<math>\ln x</math>, which is defined for
		+	<math>x>0</math>, and this region does not have any endpoints (
		+	<math>x=0</math>
		+	does not satisfy
		+	<math>x>0</math>
		+	), so item 3. above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of
		+	<math>x</math>
		+	and
		+	<math>\ln x</math>
		+	which are differentiable functions; so, item 2. above does not contribute any extreme points either.
		+
		+	All the remains are possibly critical points. We differentiate the function
		+
		+
		+	<math>{f}'\left( x \right)=1\centerdot \ln x+x\centerdot \frac{1}{x}-0=\ln x+1</math>
		+
		+
		+	and see that the derivative is zero when
		+
		+
		+	<math>\ln x=-1\quad \Leftrightarrow \quad x=e^{-1}</math>
		+
		+
		+
		+	In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative,
		+	<math>{f}''\left( x \right)={1}/{x}\;</math>
		+	which gives that
		+
		+
		+	<math>{f}''\left( e^{-1} \right)=\frac{1}{e^{-1}}=e>0</math>
		+
		+
		+	which implies that
		+	<math>x=e^{-1}</math>
		+	is a local minimum.

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Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 14:32:01 GMT

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Version vom 14:32, 16. Sep. 2008