Lösung 1.3:2d - Versionsgeschichte

Ombtut4 um 11:27, 9. Sep. 2009

Ombtut4 — Wed, 09 Sep 2009 11:27:18 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Lokale ~~Extrempunkte~~ einer Funktion sind entweder:	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre ~~Punkte~~ mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# singuläre ~~Punkte~~, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
-	# ~~Endpunkte~~.	+	# Randstellen.

-	Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine ~~Extrempunkte~~, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.	+	Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extremstellen, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat die Funktion keine lokalen ~~Extrempunkte~~. Bei der Ableitung	+	Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extremstellen. Bei der Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}

Sekretariat1 um 08:32, 21. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 21 Aug 2009 08:32:50 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:32, 21. Aug. 2009
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}

-	Die ~~Quadratische~~ Ergänzung ergibt	+	Die quadratische Ergänzung ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}

Sekretariat1 um 13:11, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 13:11:39 GMT

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~Singuläre~~ Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	~~Nachdem~~ die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.	+	Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}

-	Quadratische Ergänzung ergibt	+	Die Quadratische Ergänzung ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	Diese Gleichung hat ~~kein~~ Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung	+	Diese Gleichung hat keine Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}

Bayerer um 16:02, 4. Aug. 2009

Bayerer — Tue, 04 Aug 2009 16:02:20 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 16:02, 4. Aug. 2009
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}

-	Quadratische Ergänzung ergibt	+	Quadratische Ergänzung ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}

Bayerer um 16:02, 4. Aug. 2009

Bayerer — Tue, 04 Aug 2009 16:02:02 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 16:02, 4. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ~~ableitbar~~ ist, oder	+	# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ~~ableitbar~~. ~~Also~~ gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.	+	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Es gibt also keine Extrempunkte, die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden.~~ Quadratische Ergänzung ergibt	+	Quadratische Ergänzung ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	Diese Gleichung hat ~~keine Wurzeln~~, ~~und~~ also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. ~~Von~~ der Ableitung	+	Diese Gleichung hat kein Lösung, also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Bei der Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}

-	~~sahen~~ wir dass sie immer größer als null ist, ~~und~~ also ist die Funktion streng steigend. Wir ~~haben keine weitere Information als~~ einige Funktionswerte um die Funktion zu zeichnen.	+	sehen wir, dass sie immer größer als null ist, also ist die Funktion streng monoton steigend. Wir berechnen einige Funktionswerte, um die Funktion zu zeichnen.

	[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]		[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]

Martin um 16:50, 26. Apr. 2009

Martin — Sun, 26 Apr 2009 16:50:54 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 16:50, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If the function has several local extreme points, then they must be among the following three types of points~~:	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# ~~critical points~~, ~~i.e. where~~ <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~points where the function is not differentiable~~, ~~and~~	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# ~~endpoints of the interval of definition~~.	+	# Endpunkte.
		+
		+	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

-	Items 2 and 3 do not give rise to any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,	+	Die Ableitung ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}

-	~~equal to zero and obtain the equation~~	+	und wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Completing the square gives~~	+	um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden. Quadratische Ergänzung ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}

-	~~i.e.~~	+	also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~This equation does not have any real roots~~, ~~because the left-hand side is always greater than or equal to <math>1</math>, regardless of how <math>x</math> is chosen (the square <math>(x-3)^2</math> can never be negative)~~.	+	Diese Gleichung hat keine Wurzeln, und also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Von der Ableitung
-		+
-	~~This means that the function does not have any local extreme points.~~	+
-		+
-	~~From the derivative's appearance,~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}

-	~~we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function~~, ~~other than the function's value at a few points~~.	+	sahen wir dass sie immer größer als null ist, und also ist die Funktion streng steigend. Wir haben keine weitere Information als einige Funktionswerte um die Funktion zu zeichnen.

	[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]		[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:10:35 GMT

Solution 1.3:2d moved to Lösung 1.3:2d: Robot: moved page

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Version vom 10:10, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:55:44 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 13:10, 17. Okt. 2008

Tek — Fri, 17 Oct 2008 13:10:33 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:10, 17. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If the function has several local extreme points, then they must ~~lie between~~ the following three types of points:	+	If the function has several local extreme points, then they must be among the following three types of points:

-	~~1. Critical~~ points, i.e. where	+	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	<math>{f}'\~~left~~( x ~~\right~~)=0</math>;	+	# points where the function is not differentiable, and
		+	# endpoints of the interval of definition.

-	2~~. Points where the function is not differentiable;~~	+	Items 2 and 3 do not give rise to any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,
-		+
-	~~3. Endpoints of the interval of definition.~~	+
-		+
-	2. and 3. do not give any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,	+
-		+
-		+
-	~~<math>{f}'\left( x \right)=3x^{2}-18x+30=3\left( x^{2}-6x+10 \right)</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}

	equal to zero and obtain the equation		equal to zero and obtain the equation

-		+	{{Displayed math\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x^{2}-6x+10=0</math>	+
-		+

	Completing the square gives		Completing the square gives

-		+	{{Displayed math\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
-	<math>~~\left~~( x-3 ~~\right~~)^{2}-3^{2}+10=0</math>	+
-		+

	i.e.		i.e.

		+	{{Displayed math\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>\left( x-3 \right)^{2}+1=0</math>~~	+	This equation does not have any real roots, because the left-hand side is always greater than or equal to <math>1</math>, regardless of how <math>x</math> is chosen (the square <math>(x-3)^2</math> can never be negative).
-		+
-		+
-	This equation does not have any real roots, because the left-hand side is always greater than or equal to	+
-	<math>~~\text{~~1}</math>, regardless of how	+
-	<math>x</math>	+
-	is chosen (the square	+
-	<math>~~\left~~( x-3 ~~\right~~)^{2}</math>	+
-	can never be negative).	+

	This means that the function does not have any local extreme points.		This means that the function does not have any local extreme points.
Zeile 43:		Zeile 27:
	From the derivative's appearance,		From the derivative's appearance,

-		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}
-	<math>{f}'\~~left~~( x ~~\right~~)=3~~\left~~( ~~\left~~( x-3 ~~\right~~)^{2}+1 ~~\right~~)</math>	+
-		+

	we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function, other than the function's value at a few points.		we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function, other than the function's value at a few points.
-
-	PICTURE GRAPH
-

	[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]		[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]

Ian um 11:11, 15. Okt. 2008

Ian — Wed, 15 Oct 2008 11:11:37 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:11, 15. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	If the function has several local extreme points, then they must lie between the following three types of points:
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_2d-1~~(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	1. Critical points, i.e. where
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_2d-2~~(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{~~{NAVCONTENT_STOP}~~}	+	2. Points where the function is not differentiable;
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_2d~~-3(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	3. Endpoints of the interval of definition.
-	{{~~NAVCONTENT_STOP}~~}	+
		+	2. and 3. do not give any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,
		+
		+
		+	<math>{f}'\left( x \right)=3x^{2}-18x+30=3\left( x^{2}-6x+10 \right)</math>
		+
		+
		+	equal to zero and obtain the equation
		+
		+
		+	<math>x^{2}-6x+10=0</math>
		+
		+
		+	Completing the square gives
		+
		+
		+	<math>\left( x-3 \right)^{2}-3^{2}+10=0</math>
		+
		+
		+	i.e.
		+
		+
		+	<math>\left( x-3 \right)^{2}+1=0</math>
		+
		+
		+	This equation does not have any real roots, because the left-hand side is always greater than or equal to
		+	<math>\text{1}</math>, regardless of how
		+	<math>x</math>
		+	is chosen (the square
		+	<math>\left( x-3 \right)^{2}</math>
		+	can never be negative).
		+
		+	This means that the function does not have any local extreme points.
		+
		+	From the derivative's appearance,
		+
		+
		+	<math>{f}'\left( x \right)=3\left( \left( x-3 \right)^{2}+1 \right)</math>
		+
		+
		+	we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function, other than the function's value at a few points.
		+
		+	PICTURE GRAPH
		+

	[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]		[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]

← Nächstältere Version		Version vom 12:55, 10. Mär. 2009
Zeile 7:		Zeile 7:
	Items 2 and 3 do not give rise to any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,		Items 2 and 3 do not give rise to any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}

	equal to zero and obtain the equation		equal to zero and obtain the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}

	Completing the square gives		Completing the square gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}

	i.e.		i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

	This equation does not have any real roots, because the left-hand side is always greater than or equal to <math>1</math>, regardless of how <math>x</math> is chosen (the square <math>(x-3)^2</math> can never be negative).		This equation does not have any real roots, because the left-hand side is always greater than or equal to <math>1</math>, regardless of how <math>x</math> is chosen (the square <math>(x-3)^2</math> can never be negative).
Zeile 27:		Zeile 27:
	From the derivative's appearance,		From the derivative's appearance,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}

	we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function, other than the function's value at a few points.		we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function, other than the function's value at a few points.

	[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]		[[Image:1_3_2_d.gif\|center]]