Lösung 1.3:1c - Versionsgeschichte

Tek: Replaced pictures

Tek — Mon, 26 Jul 2010 10:10:19 GMT

Replaced pictures

← Nächstältere Version		Version vom 10:10, 26. Jul. 2010
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-	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Bild). Das sind die stationären Stellen.	+	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; <math>x=-2</math>, <math>x=-1</math> und <math>x=\tfrac{1}{2}</math> (siehe Bild). Das sind die stationären Stellen.

-	~~[[Image~~:~~1_3_1_c1~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:1.3.1c - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>

-	An der Stelle <math>x=b</math> hat die Funktion einen Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

-	~~Am linken Rand des Definitionsbereiches und an~~ der Stelle <math>x=c</math> hat die Funktion ~~lokale Maxima. Am rechten Rand des Definitionsbereiches~~ und ~~an der Stelle <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Minima~~.	+	An der Stelle <math>x=-1</math> hat die Funktion einen Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

-	~~Von diesen Stellen ist~~ an der Stelle <math>x=c</math> ~~das globale Maximum und im~~ rechten Rand des Definitionsbereiches ~~das globale Minimum~~.	+	Am linken Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle <math>x=\tfrac{1}{2}</math> hat die Funktion lokale Maxima. Am rechten Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle <math>x=-2</math> hat die Funktion lokale Minima.

-	~~[[Image:1_3_1_c2_de~~.~~gif\|center]]~~	+	Von diesen Stellen ist im linken Rand des Definitionsbereiches das globale Maximum und an der Stelle <math>x=-2</math> das globale Minimum.

-	~~Zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und der Stelle~~ <~~math~~>~~x=a~~</~~math~~> sowie zwischen <math>x=c</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.	+	<center>{{:1.3.1c - Solution - The graph with max's and min's labeled}}</center>

-	~~[[Image~~:~~1_3_1_c3_de~~.~~gif~~\|center]]	+
		+	Zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und der Stelle <math>x=-2</math> sowie zwischen <math>x=\tfrac{1}{2}</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=-2</math> und <math>x=\tfrac{1}{2}</math> ist.
		+
		+	{\| align="center"
		+	\|\|{{:1.3.1c - Solution - The graph with the interval where the function is decreasing}}
		+	\|width="20px"\|
		+	\|\|{{:1.3.1c - Solution - The graph with the interval where the function is increasing}}
		+	\|-
		+	\|align="center"\|<small>streng monoton fallend</small>
		+	\|\|
		+	\|align="center"\|<small>streng monoton steigend</small>
		+	\|}

Silke2 um 08:59, 11. Sep. 2009

Silke2 — Fri, 11 Sep 2009 08:59:51 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:59, 11. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Bild). Das sind die stationären ~~Punkte~~.	+	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Bild). Das sind die stationären Stellen.

	[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]

-	~~Der Punkt~~ <math>x=b</math> ~~ist ein~~ Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.	+	An der Stelle <math>x=b</math> hat die Funktion einen Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

-	Am linken ~~Endpunkt~~ und ~~im Punkt~~ <math>x=c</math> hat die Funktion lokale Maxima. Am rechten ~~Endpunkt~~ und ~~im Punkt~~ <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Minima.	+	Am linken Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle <math>x=c</math> hat die Funktion lokale Maxima. Am rechten Rand des Definitionsbereiches und an der Stelle <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Minima.

-	Von diesen ~~Punkten~~ ist <math>x=c</math> das globale Maximum und ~~der rechte Endpunkt~~ das globale Minimum.	+	Von diesen Stellen ist an der Stelle <math>x=c</math> das globale Maximum und im rechten Rand des Definitionsbereiches das globale Minimum.

	[[Image:1_3_1_c2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c2_de.gif\|center]]

-	Zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> sowie zwischen <math>x=c</math> und dem rechten Endpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.	+	Zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und der Stelle <math>x=a</math> sowie zwischen <math>x=c</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.

	[[Image:1_3_1_c3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c3_de.gif\|center]]

Sekretariat1 um 12:27, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 12:27:09 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:27, 20. Aug. 2009
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-	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe ~~Figur~~). Das sind die stationären Punkte.	+	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen; <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Bild). Das sind die stationären Punkte.

	[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]
Zeile 5:		Zeile 5:
	Der Punkt <math>x=b</math> ist ein Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.		Der Punkt <math>x=b</math> ist ein Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

-	Am linken Endpunkt, und im Punkt <math>x=c</math> hat die Funktion lokale ~~Minima~~. Am rechten Endpunkt und im Punkt <math>x=a</math> hat die Funktion lokale ~~Maxima~~.	+	Am linken Endpunkt und im Punkt <math>x=c</math> hat die Funktion lokale Maxima. Am rechten Endpunkt und im Punkt <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Minima.

-	Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale Maximum, und der rechte Endpunkt das globale Minimum.	+	Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale Maximum und der rechte Endpunkt das globale Minimum.

	[[Image:1_3_1_c2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c2_de.gif\|center]]

Bayerer um 14:15, 4. Aug. 2009

Bayerer — Tue, 04 Aug 2009 14:15:19 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:15, 4. Aug. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale Maximum, und der rechte Endpunkt das globale Minimum.		Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale Maximum, und der rechte Endpunkt das globale Minimum.

-	[[Image:~~1_3_1_c2~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_1_c2_de.gif\|center]]

	Zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> sowie zwischen <math>x=c</math> und dem rechten Endpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.		Zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> sowie zwischen <math>x=c</math> und dem rechten Endpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.

-	[[Image:~~1_3_1_c3~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_1_c3_de.gif\|center]]

Bayerer um 13:46, 4. Aug. 2009

Bayerer — Tue, 04 Aug 2009 13:46:45 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:46, 4. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Figur). ~~Dies~~ sind die stationären Punkte.	+	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Figur). Das sind die stationären Punkte.

	[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]

-	Der Punkt <math>x=b</math> ist ein Sattelpunkt ~~nachdem~~ die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.	+	Der Punkt <math>x=b</math> ist ein Sattelpunkt, da die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

	Am linken Endpunkt, und im Punkt <math>x=c</math> hat die Funktion lokale Minima. Am rechten Endpunkt und im Punkt <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Maxima.		Am linken Endpunkt, und im Punkt <math>x=c</math> hat die Funktion lokale Minima. Am rechten Endpunkt und im Punkt <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Maxima.

-	Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale ~~Maxima~~, und der rechte Endpunkt das globale ~~Minima~~.	+	Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale Maximum, und der rechte Endpunkt das globale Minimum.

	[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]

-	Zwischen ~~den~~ linken Endpunkt und <math>x=a</math>~~, sowohl wie~~ zwischen <math>x=c</math> und ~~den~~ rechten Endpunkt. ist die Funktion streng fallend, während die Funktion streng steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.	+	Zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> sowie zwischen <math>x=c</math> und dem rechten Endpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, während die Funktion streng monoton steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.

	[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]

Martin um 15:05, 26. Apr. 2009

Martin — Sun, 26 Apr 2009 15:05:48 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:05, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The function has zero derivative at three points~~, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> ~~and~~ <math>x=c</math> (~~see picture below~~)~~, which are therefore the critical points of the function~~.	+	Die Ableitung der Funktion hat drei Nullstellen, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math> (siehe Figur). Dies sind die stationären Punkte.

	[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]

-	~~The point~~ <math>x=b</math> ~~is an inflexion point because the derivative is positive in a neighbourhood both to the left and right~~.	+	Der Punkt <math>x=b</math> ist ein Sattelpunkt nachdem die Ableitung links und rechts vom Punkt positiv ist.

-	~~At the left endpoint of the interval of definition and at~~ <math>x=c</math>~~, the function has local maximum points , because the function takes lower values at all points in the vicinity of these points~~. ~~At the point~~ <math>x=a</math> ~~and the right endpoint, the function has local minimum points~~.	+	Am linken Endpunkt, und im Punkt <math>x=c</math> hat die Funktion lokale Minima. Am rechten Endpunkt und im Punkt <math>x=a</math> hat die Funktion lokale Maxima.

-	~~Also, we see that~~ <math>x=c</math> ~~is a global maximum (the function takes its largest value there) and the right endpoint is a global minimum~~.	+	Von diesen Punkten ist <math>x=c</math> das globale Maxima, und der rechte Endpunkt das globale Minima.

	[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]

-	~~Between the left endpoint and~~ <math>x=a</math>, ~~as well as between~~ <math>x=c</math>	+	Zwischen den linken Endpunkt und <math>x=a</math>, sowohl wie zwischen <math>x=c</math> und den rechten Endpunkt. ist die Funktion streng fallend, während die Funktion streng steigend zwischen <math>x=a</math> und <math>x=c</math> ist.
-	~~and the right endpoint~~, ~~the function is strictly decreasing (the larger <math>x</math> is, the smaller <math>f(x)</math> becomes), whilst the function is strictly increasing between~~ <math>x=a</math> ~~and~~ <math>x=c</math> ~~(the graph flattens out at <math>x=b</math>, but it isn't constant there)~~.	+

	[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]

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Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:08:55 GMT

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Version vom 10:08, 11. Mär. 2009

Tek um 12:03, 17. Okt. 2008

Tek — Fri, 17 Oct 2008 12:03:00 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:03, 17. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	The function has zero derivative at three points,	+	The function has zero derivative at three points, <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=c</math> (see picture below), which are therefore the critical points of the function.
-	<math>x=a</math>,	+
-	<math>x=b</math>and	+
-	<math>x=c</math>	+
-	(see picture below), which are therefore the critical points of the function.	+

	[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]

-	The point	+	The point <math>x=b</math> is an inflexion point because the derivative is positive in a neighbourhood both to the left and right.
-	<math>x=b</math>	+
-	is an inflexion point because the derivative is positive in a neighbourhood both the left and right.	+

-	At the left endpoint of the interval of definition and at	+	At the left endpoint of the interval of definition and at <math>x=c</math>, the function has local maximum points , because the function takes lower values at all points in the vicinity of these points. At the point <math>x=a</math> and the right endpoint, the function has local minimum points.
-	<math>x=c</math>, the function has local maximum points , because the function takes lower values at all points in the vicinity of these points. At the point	+
-	<math>x=a</math>	+
-	and the right endpoint, the function has local minimum points.	+
-		+
-	~~Also, we see that~~	+
-	~~<math>x=c</math>~~	+
-	~~is a global maximum (the function takes its largest value there) and the right endpoint is a global minimum~~.	+

		+	Also, we see that <math>x=c</math> is a global maximum (the function takes its largest value there) and the right endpoint is a global minimum.

	[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]

-	Between the left endpoint and	+	Between the left endpoint and <math>x=a</math>, as well as between <math>x=c</math>
-	<math>x=a</math>, as well as between	+	and the right endpoint, the function is strictly decreasing (the larger <math>x</math> is, the smaller <math>f(x)</math> becomes), whilst the function is strictly increasing between <math>x=a</math> and <math>x=c</math> (the graph flattens out at <math>x=b</math>, but it isn't constant there).
-	<math>x=c</math>	+
-	and the right endpoint, the function is strictly decreasing (the larger	+
-	<math>x</math>	+
-	is, the smaller	+
-	<math>f~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+
-	becomes), whilst the function is strictly increasing between	+
-	<math>x=a</math>	+
-	and x=c (the graph flattens out at	+
-	<math>x=b</math>, but it isn't constant there).	+
-		+

	[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]

Ian um 09:22, 15. Okt. 2008

Ian — Wed, 15 Oct 2008 09:22:48 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:22, 15. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	The function has zero derivative at three points,
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_1c-1(3).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>x=a</math>,
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	<math>x=b</math>and
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	<math>x=c</math>
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_1c-2(3).gif]]~~ </~~center~~>	+	(see picture below), which are therefore the critical points of the function.
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_1c-3(3).gif]]~~ </~~center~~>	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+

	[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c1.gif\|center]]
		+
		+	The point
		+	<math>x=b</math>
		+	is an inflexion point because the derivative is positive in a neighbourhood both the left and right.
		+
		+	At the left endpoint of the interval of definition and at
		+	<math>x=c</math>, the function has local maximum points , because the function takes lower values at all points in the vicinity of these points. At the point
		+	<math>x=a</math>
		+	and the right endpoint, the function has local minimum points.
		+
		+	Also, we see that
		+	<math>x=c</math>
		+	is a global maximum (the function takes its largest value there) and the right endpoint is a global minimum.
		+
		+
	[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c2.gif\|center]]
		+
		+	Between the left endpoint and
		+	<math>x=a</math>, as well as between
		+	<math>x=c</math>
		+	and the right endpoint, the function is strictly decreasing (the larger
		+	<math>x</math>
		+	is, the smaller
		+	<math>f\left( x \right)</math>
		+	becomes), whilst the function is strictly increasing between
		+	<math>x=a</math>
		+	and x=c (the graph flattens out at
		+	<math>x=b</math>, but it isn't constant there).
		+
		+
	[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_c3.gif\|center]]

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Tekbot — Tue, 16 Sep 2008 14:29:21 GMT

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