Lösung 1.3:1b - Versionsgeschichte

Tek: Replaced a and b with -1 and 1, respectively

Tek — Mon, 26 Jul 2010 09:41:32 GMT

Replaced a and b with -1 and 1, respectively

← Nächstältere Version		Version vom 09:41, 26. Jul. 2010
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.	+	Es gibt zwei Stellen, <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.

	<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>		<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>

-	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.	+	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=1</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=-1</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.

-	Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum.	+	Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=-1</math> liegt das globale Maximum.
	Die Funktion hat keine Sattelpunkte.		Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

Zeile 11:		Zeile 11:


-	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.	+	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=-1</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=1</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

	{\| align="center"		{\| align="center"

Tek: Replaced pictures

Tek — Mon, 26 Jul 2010 09:38:47 GMT

Replaced pictures

← Nächstältere Version		Version vom 09:38, 26. Jul. 2010
Zeile 1:		Zeile 1:
	Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.		Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.

-	<!--
	<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>		<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
-	-->
-	[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]

	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.		Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
Zeile 11:		Zeile 8:
	Die Funktion hat keine Sattelpunkte.		Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

-	<!--
	<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with max's and min's labeled}}</center>		<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with max's and min's labeled}}</center>
-	~~-->~~	+
-	~~[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]~~	+

	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.		Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

-	<!--
	{\| align="center"		{\| align="center"
	\|\|{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is increasing}}		\|\|{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is increasing}}
Zeile 24:		Zeile 18:
	\|\|{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is decreasing}}		\|\|{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is decreasing}}
	\|-		\|-
-	\|\|<small>streng monoton steigend</small>	+	\|align="center"\|<small>streng monoton steigend</small>
	\|\|		\|\|
-	\|\|<small>streng monoton fallend</small>	+	\|align="center"\|<small>streng monoton fallend</small>
	\|}		\|}
-	-->
-	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Tek: Added hidden metapost figures

Tek — Fri, 11 Sep 2009 12:45:47 GMT

Added hidden metapost figures

← Nächstältere Version		Version vom 12:45, 11. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.		Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.

		+	<!--
		+	<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
		+	-->
	[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]

Zeile 8:		Zeile 11:
	Die Funktion hat keine Sattelpunkte.		Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

		+	<!--
		+	<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with max's and min's labeled}}</center>
		+	-->
	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.		Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

		+	<!--
		+	{\| align="center"
		+	\|\|{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is increasing}}
		+	\|width="20px"\|
		+	\|\|{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is decreasing}}
		+	\|-
		+	\|\|<small>streng monoton steigend</small>
		+	\|\|
		+	\|\|<small>streng monoton fallend</small>
		+	\|}
		+	-->
	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Silke2 um 09:01, 11. Sep. 2009

Silke2 — Fri, 11 Sep 2009 09:01:20 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:01, 11. Sep. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]

-	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des ~~Intervals~~.	+	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.

-	Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des ~~Intervals~~ das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum.	+	Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum.
	Die Funktion hat keine Sattelpunkte.		Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

-	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des ~~Intervals~~ und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des ~~Intervals~~. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.	+	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Silke2 um 08:55, 11. Sep. 2009

Silke2 — Fri, 11 Sep 2009 08:55:31 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:55, 11. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Es gibt zwei ~~Punkte~~, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), ~~bei~~ denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären ~~Punkte~~.	+	Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.

	[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]

-	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt und ~~im Punkt~~ <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima ~~im Punkt~~ <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt.	+	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Intervals.

-	Von diesen ~~Punkten~~ ist ~~der~~ linke Endpunkt das globale Minimum und der ~~Punkt~~ <math>x=a</math> das globale Maximum.	+	Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Intervals das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum.
	Die Funktion hat keine Sattelpunkte.		Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

-	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.	+	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Intervals und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Intervals. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Moni um 15:38, 21. Aug. 2009

Moni — Fri, 21 Aug 2009 15:38:52 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:38, 21. Aug. 2009
Zeile 6:		Zeile 6:

	Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.		Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.
		+	Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

Sekretariat1 um 08:30, 21. Aug. 2009

Sekretariat1 — Fri, 21 Aug 2009 08:30:23 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:30, 21. Aug. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

-	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.	+	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Sekretariat1 um 12:20, 20. Aug. 2009

Sekretariat1 — Thu, 20 Aug 2009 12:20:14 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:20, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Es gibt zwei Punkte, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe ~~Figur~~), bei die Ableitung null ist. Dies sind die ~~Stationären~~ Punkte.	+	Es gibt zwei Punkte, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), bei denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Punkte.

	[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]
Zeile 5:		Zeile 5:
	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt und im Punkt <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima im Punkt <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt.		Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt und im Punkt <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima im Punkt <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt.

-	Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum, und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.	+	Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.

	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

-	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend, sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.	+	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Bayerer um 13:45, 4. Aug. 2009

Bayerer — Tue, 04 Aug 2009 13:45:06 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:45, 4. Aug. 2009
Zeile 7:		Zeile 7:
	Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum, und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.		Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum, und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.

-	[[Image:~~1_3_1_b2~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_1_b2_de.gif\|center]]

	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend, sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.		Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend, sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

-	[[Image:~~1_3_1_b3~~.gif\|center]]	+	[[Image:1_3_1_b3_de.gif\|center]]

Bayerer um 13:38, 4. Aug. 2009

Bayerer — Tue, 04 Aug 2009 13:38:42 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:38, 4. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Es gibt zwei Punkte, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Figur), wo die ~~ABleitung~~ null ist. Dies sind die Stationären Punkte.	+	Es gibt zwei Punkte, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Figur), bei die Ableitung null ist. Dies sind die Stationären Punkte.

	[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b1.gif\|center]]

-	Weiter hat die Funktion ~~ein lokales Minima~~ im linken Endpunkt, und im Punkt <math>x=b</math>. Die Funktion hat lokale Maxima im Punkt <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt.	+	Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt und im Punkt <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima im Punkt <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt.

-	Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale ~~Minima~~, und der Punkt <math>x=a</math> das globale ~~Maxima~~.	+	Von diesen Punkten ist der linke Endpunkt das globale Minimum, und der Punkt <math>x=a</math> das globale Maximum.

	[[Image:1_3_1_b2.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b2.gif\|center]]

-	Die Funktion ist ~~streng steigend~~ zwischen ~~den~~ linken Endpunkt und <math>x=a</math>, ~~sowohl wie~~ zwischen <math>x=b</math> und ~~den~~ rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion fallend.	+	Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt und <math>x=a</math> streng monoton steigend, sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt. Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.

	[[Image:1_3_1_b3.gif\|center]]		[[Image:1_3_1_b3.gif\|center]]