Lösung 1.1:5 - Versionsgeschichte

Ombtut4 um 10:59, 9. Sep. 2009

Ombtut4 — Wed, 09 Sep 2009 10:59:12 GMT

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Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}

-	Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> ~~im Punkt~~ <math>x=x_0</math>.	+	Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> an der Stelle <math>x=x_0</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>\|(2)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>\|(2)}}

Silke2 um 15:20, 4. Sep. 2009

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 15:20:52 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:20, 4. Sep. 2009
Zeile 34:		Zeile 34:
	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}		y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-
-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{cases}
-	y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
-	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
-	\end{cases}</math>}}

Silke2 um 15:19, 4. Sep. 2009

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 15:19:45 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:19, 4. Sep. 2009
Zeile 34:		Zeile 34:
	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}		y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
		+
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{cases}
		+	y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
		+	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
		+	\end{cases}</math>}}
		+

	Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.		Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.

Moni um 13:17, 21. Aug. 2009

Moni — Fri, 21 Aug 2009 13:17:58 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:17, 21. Aug. 2009
Zeile 35:		Zeile 35:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.	+	Substituieren wir (1) von (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
Zeile 45:		Zeile 45:
	Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen		Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{~~and~~}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

	Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert		Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert

Sekretariat1 um 14:01, 19. Aug. 2009

Sekretariat1 — Wed, 19 Aug 2009 14:01:36 GMT

Sekretariat1 um 13:55, 19. Aug. 2009

Sekretariat1 — Wed, 19 Aug 2009 13:55:51 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:55, 19. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}

-	Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,	+	Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung <math>y^{\,\prime} = -2x</math> im Punkt <math>x=x_0</math>.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{}</math>\|(2)}}

	Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt		Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt
Zeile 17:		Zeile 17:
	Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.		Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.

-	Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',	+	Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m''.

-	Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math> Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert	+	Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math>. Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}

-	Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->	+	Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
	und <math>y_0</math>-Terme,		und <math>y_0</math>-Terme,

Bayerer um 12:08, 7. Aug. 2009

Bayerer — Fri, 07 Aug 2009 12:08:55 GMT

Martin um 10:48, 9. Apr. 2009

Martin — Thu, 09 Apr 2009 10:48:30 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:48, 9. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Suppose that the tangent touches the curve at the point~~ <math>(x_0,y_0)</math>. ~~That point must~~, ~~first and foremost, lie on the curve and therefore satisfy the equation of the curve, i.e.~~	+	Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> tangiert. Dieser Punkt liegt natürlich aug der Kurve, und erfüllt also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}

-	~~If we now write the equation of the tangent as~~ <math>y=kx+m</math>, ~~the slope of the tangent,~~ ''k''~~, is given by the value of the curve's derivative~~, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, at <math>x=x_0</math>,	+	Schreiben wir die Tangente wie <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}

-	~~The condition that the tangent goes through the point~~ <math>(x_0,y_0)</math> ~~gives us that~~	+	Die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>\|(3)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>\|(3)}}

-	~~In addition to this, the tangent should also pass through the point~~ (1,1),	+	Und die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>\|(4)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>\|(4)}}

-	~~Equations~~ (1)-(4) ~~constitute a system of equations in the unknowns~~ <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> ~~and~~ <math>m</math>.	+	Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.

-	~~Because we are looking for~~ <math>x_0</math> ~~and~~ <math>y_0</math>, ~~the first step is to try and eliminate~~ ''k'' ~~and~~ ''m'' ~~from the equations.~~	+	Nachdem wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ersuchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',

-	~~Equation~~ (2) ~~gives that~~ <math>k = -2 x_0</math> ~~and substituting this into equation~~ (4) ~~gives~~	+	Die Gleichung (2) Gibt dass <math>k = -2 x_0</math> und dies in der Gleichung (4) gibt,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}

-	~~With~~ ''k'' ~~and~~ ''m'' ~~expressed~~ in ~~terms of~~ <math>x_0</math> ~~and~~ <math>y_0</math>, (3) ~~becomes an equation that is expressed completely in terms of~~ <math>x_0</math>	+	Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und die Gleichung (3) hat nur <math>x_0</math->
-	~~and~~ <math>y_0</math>,	+	und <math>y_0</math>-Terme,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>\|(3')}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>\|(3')}}

-	~~This equation~~, ~~together with~~ (1), ~~is a system of equations in~~ <math>x_0</math> ~~and~~ <math>y_0</math>,	+	Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 35:		Zeile 35:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Substituting equation~~ (1) ~~into~~ (3') ~~gives us an equation in~~ <math>x_0</math>,	+	Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}

-	~~i.e.~~	+	also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~This quadratic equation has solutions~~	+	Diese Quadratische Gleichung hat die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Equation~~ (1) ~~gives the corresponding~~ y-~~values~~,	+	Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Thus, the answers are the points~~ <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> ~~and~~	+	Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und
	<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.		<math>(1+\sqrt{2},-3-2\sqrt{2})\,</math>.

	[[Image:1_1_5_3.gif\|center]]		[[Image:1_1_5_3.gif\|center]]

Tekbot: Solution 1.1:5 moved to Lösung 1.1:5: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 11 Mar 2009 10:01:15 GMT

Solution 1.1:5 moved to Lösung 1.1:5: Robot: moved page

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Version vom 10:01, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Tue, 10 Mar 2009 12:51:44 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 14:01, 19. Aug. 2009
Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}

-	Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->	+	Jetzt haben wir ''k'' und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math>-
-	und <math>y_0</math>-Terme,	+	und <math>y_0</math>-Terme.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>\|(3')}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}</math>\|(3')}}

-	Diese Gleichung, und die Gleichung (1), bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>,	+	Diese Gleichung und die Gleichung (1) bilden ein Gleichungssystem für <math>x_0</math> und <math>y_0</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]		y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
-	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}	+	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>,	+	Substituieren wir (1) in (3), erhalten wir eine Gleichung mit nur <math>x_0</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}
Zeile 47:		Zeile 47:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert,	+	Durch die Gleichung (1) erhalten wir den entsprechenden ''y''-Wert

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{~~and~~}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{und}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

	Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und		Also erhalten wir die Punkte <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> und

← Nächstältere Version		Version vom 12:08, 7. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir nehmen an dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> ~~tangiert~~. Dieser Punkt liegt natürlich ~~aug~~ der Kurve, ~~und~~ erfüllt also	+	Wir nehmen an, dass die Tangente(n) die Kurve im Punkt <math>(x_0,y_0)</math> berührt. Dieser Punkt liegt natürlich auf der Kurve, erfüllt also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}

-	Schreiben wir die Tangente ~~wie~~ <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,	+	Schreiben wir die Tangente als <math>y=kx+m</math>, ist die Steigung ''k'' dasselbe wie die Ableitung, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, im Punkt <math>x=x_0</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}

-	Die ~~Bedienung~~ dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt	+	Die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt <math>(x_0,y_0)</math> geht, gibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>\|(3)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>\|(3)}}

-	~~Und die Bedienung~~ dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt	+	Die Bedingung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht, gibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>\|(4)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>\|(4)}}
Zeile 17:		Zeile 17:
	Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.		Die Gleichungen (1)-(4) sind ein System von Gleichungen mit den unbekannten <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> und <math>m</math>.

-	~~Nachdem~~ wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ~~ersuchen~~, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',	+	Da wir <math>x_0</math> und <math>y_0</math> suchen, eliminieren wir zuerst ''k'' und ''m'',

-	~~Die~~ Gleichung (2) ~~Gibt~~ dass <math>k = -2 x_0</math> ~~und dies~~ in ~~der~~ Gleichung (4) ~~gibt~~,	+	Aus der Gleichung (2) folgt, dass <math>k = -2 x_0</math> Das in Gleichung (4) eingesetzt, liefert

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}

-	Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und ~~die~~ Gleichung (3) hat nur <math>x_0</math->	+	Jetzt haben wir ''k'', und ''m'' in Termen von <math>x_0</math> und <math>y_0</math> ausgedrückt, und Gleichung (3) hat nun nur <math>x_0</math->
	und <math>y_0</math>-Terme,		und <math>y_0</math>-Terme,

← Nächstältere Version		Version vom 12:51, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Suppose that the tangent touches the curve at the point <math>(x_0,y_0)</math>. That point must, first and foremost, lie on the curve and therefore satisfy the equation of the curve, i.e.		Suppose that the tangent touches the curve at the point <math>(x_0,y_0)</math>. That point must, first and foremost, lie on the curve and therefore satisfy the equation of the curve, i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -x_0^2\,\textrm{.}</math>\|(1)}}

	If we now write the equation of the tangent as <math>y=kx+m</math>, the slope of the tangent, ''k'', is given by the value of the curve's derivative, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, at <math>x=x_0</math>,		If we now write the equation of the tangent as <math>y=kx+m</math>, the slope of the tangent, ''k'', is given by the value of the curve's derivative, <math>y^{\,\prime} = -2x</math>, at <math>x=x_0</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = -2x_0\,\textrm{.}</math>\|(2)}}

	The condition that the tangent goes through the point <math>(x_0,y_0)</math> gives us that		The condition that the tangent goes through the point <math>(x_0,y_0)</math> gives us that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>\|(3)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_{0} = k\cdot x_0 + m\,\textrm{.}</math>\|(3)}}

	In addition to this, the tangent should also pass through the point (1,1),		In addition to this, the tangent should also pass through the point (1,1),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>\|(4)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = k\cdot 1 + m\,\textrm{.}</math>\|(4)}}

	Equations (1)-(4) constitute a system of equations in the unknowns <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> and <math>m</math>.		Equations (1)-(4) constitute a system of equations in the unknowns <math>x_0</math>, <math>y_{0}</math>, <math>k</math> and <math>m</math>.
Zeile 21:		Zeile 21:
	Equation (2) gives that <math>k = -2 x_0</math> and substituting this into equation (4) gives		Equation (2) gives that <math>k = -2 x_0</math> and substituting this into equation (4) gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = -2x_0 + m\quad\Leftrightarrow\quad m = 2x_0+1\,\textrm{.}</math>}}

	With ''k'' and ''m'' expressed in terms of <math>x_0</math> and <math>y_0</math>, (3) becomes an equation that is expressed completely in terms of <math>x_0</math>		With ''k'' and ''m'' expressed in terms of <math>x_0</math> and <math>y_0</math>, (3) becomes an equation that is expressed completely in terms of <math>x_0</math>
	and <math>y_0</math>,		and <math>y_0</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>\|(3')}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}</math>\|(3')}}

	This equation, together with (1), is a system of equations in <math>x_0</math> and <math>y_0</math>,		This equation, together with (1), is a system of equations in <math>x_0</math> and <math>y_0</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]		y_{0} &= -x_0^{2}\,,\\[5pt]
	y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}		y_{0} &= -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,\textrm{.}
Zeile 37:		Zeile 37:
	Substituting equation (1) into (3') gives us an equation in <math>x_0</math>,		Substituting equation (1) into (3') gives us an equation in <math>x_0</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x_0^2 = -2x_0^2 + 2x_0 + 1\,,</math>}}

	i.e.		i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}

	This quadratic equation has solutions		This quadratic equation has solutions

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x_0 = 1-\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad x_0 = 1+\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

	Equation (1) gives the corresponding y-values,		Equation (1) gives the corresponding y-values,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y_0 = -3+2\sqrt{2}\qquad\text{and}\qquad y_0 = -3-2\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

	Thus, the answers are the points <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> and		Thus, the answers are the points <math>(1-\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})</math> and