2.2 Integration durch Substitution - Versionsgeschichte

Ines um 17:24, 24. Okt. 2010

Ines — Sun, 24 Oct 2010 17:24:39 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:24, 24. Okt. 2010
Zeile 47:		Zeile 47:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}

-	Also ist das ~~unbekannt~~ <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir	+	Also ist das unbekannte <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}

Dagmar Timmreck um 13:28, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:28:55 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:28, 11. Aug. 2010
Zeile 22:		Zeile 22:
	* Wann Integration durch Substitution möglich ist.		* Wann Integration durch Substitution möglich ist.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Integration durch Substitution ==		== A - Integration durch Substitution ==

Silke2: tippfehler

Silke2 — Wed, 30 Sep 2009 14:30:05 GMT

tippfehler

← Nächstältere Version		Version vom 14:30, 30. Sep. 2009
Zeile 151:		Zeile 151:
	Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null).		Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null).

-	Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion ,math> u </math> stetig differenzierbar.	+	Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion <math> u </math> stetig differenzierbar.
	\| width="5%" \|		\| width="5%" \|
	\|\|		\|\|

Silke2: kontinuierlich -> stetig

Silke2 — Wed, 30 Sep 2009 14:29:28 GMT

kontinuierlich -> stetig

← Nächstältere Version		Version vom 14:29, 30. Sep. 2009
Zeile 141:		Zeile 141:
	''' Beispiel 6'''		''' Beispiel 6'''

-	Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat. ~~Findest du den Fehler selbst?~~	+	Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 147:		Zeile 147:
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\| width="95%" \|		\| width="95%" \|
-	~~Diese~~ Rechnung ~~ist~~ falsch, ~~da <math>f(u)=1/u^2</math> nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (nicht wenn <math>x=0</math>)~~.	+	Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.

-	Es ist ~~notwendig~~, dass die ~~Funktion~~ <math>f(u~~(x)~~)</math> ~~überall~~ im Intervall definiert ~~und kontinuierlich~~ ist~~. Ansonsten wird die Substitution~~ <math>~~u=u~~(x)</math> nicht ~~gültig~~ sein.	+	Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null).
		+
		+	Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion ,math> u </math> stetig differenzierbar.
	\| width="5%" \|		\| width="5%" \|
	\|\|		\|\|

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:35:11 GMT

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 10:35, 16. Sep. 2009
Zeile 39:		Zeile 39:
	wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.		wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.

-	Wir zeigen eine ~~eigenenständige~~ Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable	+	Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}

-	Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch ~~verändert~~ sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der ~~nächsten~~ Zeile tun wir so, als ~~wäre~~ <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.	+	Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}

Zeile 114:		Zeile 114:
	'' Methode 2''		'' Methode 2''

-	Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen ~~verändern~~ sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 ~~läuft~~, ~~läuft~~ <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>.	+	Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 läuft, läuft <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:32:37 GMT

Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

← Nächstältere Version		Version vom 10:32, 16. Sep. 2009
Zeile 42:		Zeile 42:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}

-	Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" ~~Brüchen~~.	+	Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}

Zeile 103:		Zeile 103:
	Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.		Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.

-	Wir ermitteln eine Stammfunktion ~~für~~ die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>	+	Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln \|1+u\| </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln \|1+u\| </math>}}

Silke2 um 14:37, 14. Sep. 2009

Silke2 — Mon, 14 Sep 2009 14:37:51 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:37, 14. Sep. 2009
Zeile 50:		Zeile 50:
	Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.		Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.

-	Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall ~~differenzierbar ist, für alle~~ <math>u</math> ~~im Intervall~~.	+	Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall <math> (a,b) </math> differenzierbar ist.


Zeile 92:		Zeile 92:
	== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==		== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==

-	Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder ~~berechnet~~ man ~~das Integral~~ und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.	+	Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man <math> u = u(x) </math>, berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 101:		Zeile 101:
	'' Methode 1''		'' Methode 1''

-	Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>	+	Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.

-	~~{{Abgesetzte Formel\|\|~~<math>~~\begin{align}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{~~u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align}</math>}}	+	Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>

-	~~Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie~~ <math>x ~~= 0</math> und <math>~~x = ~~2</math> schreiben~~, ~~nachdem <math>x~~</math> ~~nicht die Integrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:~~	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln \|1+u\| </math>}}

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\~~int_~~{0}^{2} \~~frac{e^x}{~~1 + e^x} \, ~~dx =~~ \~~int_~~{0}^{2} \~~frac{1}{~~1 + u} \~~, du~~ \~~quad~~ \~~text~~{ ~~etc.~~}</math>}}	+	Jetzt schreiben wir wieder <math> u(x) </math> statt <math> u </math> und setzen die Integrationsgrenzen ein.
		+
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \Bigl[\,\ln \|1+ u(x) \|\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}</math>}}


	'' Methode 2''		'' Methode 2''

-	Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die ~~Integrationsgrenze~~ <math>x=0</math> ~~entspricht~~ <math>u=~~e^0 = 1~~</math> ~~und~~ <math>x=2</math> ~~entspricht~~ <math>u=e^2</math>	+	Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 läuft, läuft <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}

Silke2 um 14:10, 10. Sep. 2009

Silke2 — Thu, 10 Sep 2009 14:10:54 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:10, 10. Sep. 2009
Zeile 39:		Zeile 39:
	wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.		wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.

-	Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel:	+	Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable
-	~~Wir vergleichen diese Formel mit der normalen Intagrationsformel~~	+
-	~~{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}~~	+
-		+
-	~~und sehen, dass wir die Variable <math>u(x)</math> mit der Variable <math>u</math> ersetzt haben und den Term <math>u'(x)\, dx</math> mit <math>du</math>.~~	+
-		+
-	~~Alternativer Text~~: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable	+
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}

Zeile 54:		Zeile 48:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}

-	Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als ~~Variable~~) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als ~~Variable~~). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.	+	Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.

	Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall differenzierbar ist, für alle <math>u</math> im Intervall.		Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall differenzierbar ist, für alle <math>u</math> im Intervall.

Silke2: /* B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution */

Silke2 — Thu, 10 Sep 2009 11:21:30 GMT

B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

← Nächstältere Version		Version vom 11:21, 10. Sep. 2009
Zeile 107:		Zeile 107:
	'' Methode 1''		'' Methode 1''

-	Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\,dx</math>	+	Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align}</math>}}

	Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie <math>x = 0</math> und <math>x = 2</math> schreiben, nachdem <math>x</math> nicht die Integrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:		Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie <math>x = 0</math> und <math>x = 2</math> schreiben, nachdem <math>x</math> nicht die Integrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:
Zeile 145:		Zeile 145:
	''' Beispiel 6'''		''' Beispiel 6'''

-	Betrachte folgende Rechnungen:	+	Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat. Findest du den Fehler selbst?

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 151:		Zeile 151:
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\| width="95%" \|		\| width="95%" \|
-	Diese Rechnung ist ~~aber~~ falsch, ~~nachdem~~ <math>f(u)=1/u^2</math> nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (nicht wenn <math>x=0</math>).	+	Diese Rechnung ist falsch, da <math>f(u)=1/u^2</math> nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (nicht wenn <math>x=0</math>).

	Es ist notwendig, dass die Funktion <math>f(u(x))</math> überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution <math>u=u(x)</math> nicht gültig sein.		Es ist notwendig, dass die Funktion <math>f(u(x))</math> überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution <math>u=u(x)</math> nicht gültig sein.

Silke2: /* A - Integration durch Substitution */

Silke2 — Thu, 10 Sep 2009 11:12:42 GMT

A - Integration durch Substitution

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	</div>		</div>

-	wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist. Wir vergleichen diese Formel mit der normalen Intagrationsformel	+	wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.
		+
		+	Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel:
		+	Wir vergleichen diese Formel mit der normalen Intagrationsformel
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}

-	und sehen, dass wir die Variable <math>u(x)</math> mit der Variable <math>u</math> ersetzt haben und den Term <math>u'(x)\, dx</math> mit <math>du</math>. Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Variable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.	+	und sehen, dass wir die Variable <math>u(x)</math> mit der Variable <math>u</math> ersetzt haben und den Term <math>u'(x)\, dx</math> mit <math>du</math>.
		+
		+	Alternativer Text: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
		+
		+	Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}
		+
		+	Also ist das unbekannt <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}
		+
		+	Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Variable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.

	Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall differenzierbar ist, für alle <math>u</math> im Intervall.		Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall differenzierbar ist, für alle <math>u</math> im Intervall.
Zeile 81:		Zeile 95:

	</div>		</div>
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	== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==		== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==