2.1 Einführung zur Integralrechnung - Versionsgeschichte

Ines um 11:26, 30. Okt. 2010

Ines — Sat, 30 Oct 2010 11:26:34 GMT

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Zeile 277:		Zeile 277:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Die Fläche ist also <math>\frac{4}{3}</math>	+	Die Fläche ist also <math>\frac{4}{3}</math>.
	\| width="5%" \|		\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = 2x - x² von x = 0 bis x = 2}}		\|\|{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = 2x - x² von x = 0 bis x = 2}}

Ines um 11:25, 30. Okt. 2010

Ines — Sat, 30 Oct 2010 11:25:24 GMT

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Zeile 273:		Zeile 273:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}</math>}}

-	berechnet werden. Nachdem <math>x^2-x^3/3</math> die Stammfunktion des Integranden ist, ist ~~der~~ Integral	+	berechnet werden. Nachdem <math>x^2-x^3/3</math> die Stammfunktion des Integranden ist, ist das Integral

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

Ines um 11:23, 30. Okt. 2010

Ines — Sat, 30 Oct 2010 11:23:40 GMT

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Zeile 268:		Zeile 268:
	''' Beispiel 7'''		''' Beispiel 7'''

-	Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion <math>y=2x - x^2</math> und der ''x''-Achse kann durch ~~den~~ Integral	+	Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion <math>y=2x - x^2</math> und der ''x''-Achse kann durch das Integral
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\| width="95%" \|		\| width="95%" \|

Ines um 11:03, 30. Okt. 2010

Ines — Sat, 30 Oct 2010 11:03:59 GMT

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Zeile 92:		Zeile 92:
	== B - Die Bezeichnung des Integrals ==		== B - Die Bezeichnung des Integrals ==

-	Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben, verwendet man das ''Integralzeichen'' <math>\,\smallint\,</math>.	+	Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben verwendet man das ''Integralzeichen'' <math>\,\smallint\,</math>.
	<div class="tips">		<div class="tips">

-	Das Integral einer positiven Funktion <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math> ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve <math>y=f(x)</math> und der ''x''-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, und wird wie folgt geschrieben:	+	Das Integral einer positiven Funktion <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math> ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve <math>y=f(x)</math> und der ''x''-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> und wird wie folgt geschrieben:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}

Ines um 16:31, 24. Okt. 2010

Ines — Sun, 24 Oct 2010 16:31:49 GMT

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Zeile 241:		Zeile 241:
	== E - Integrale berechnen ==		== E - Integrale berechnen ==

-	Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, dann	+	Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, dann ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}}

-	Wenn <math> b=a </math> ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante <math>C</math> so gewählt werden ~~muss~~, dass für <math>b=a</math> die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt	+	Wenn <math> b=a </math> ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante <math>C</math> so gewählt werden, dass für <math>b=a</math> die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}}

Ines um 16:08, 24. Okt. 2010

Ines — Sun, 24 Oct 2010 16:08:22 GMT

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Zeile 107:		Zeile 107:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="95%" \| Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist ~~gleich~~ groß wie die Fläche von <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass	+	\| width="95%" \| Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist genauso groß wie die Fläche von <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx

Dagmar Timmreck um 13:28, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:28:39 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:28, 11. Aug. 2010
Zeile 28:		Zeile 28:
	}}		}}

		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Die Fläche unter einer Kurve ==		== A - Die Fläche unter einer Kurve ==

Dagmar Timmreck: Basis eines Rechtecks -> Grundseite

Dagmar Timmreck — Mon, 19 Jul 2010 11:48:14 GMT

Basis eines Rechtecks -> Grundseite

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Zeile 151:		Zeile 151:
	Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) <math>y=3</math>		Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) <math>y=3</math>
	von <math>x = 0</math> bis <math>x = 4</math>,		von <math>x = 0</math> bis <math>x = 4</math>,
-	also ein Rechteck mit der ~~Basis~~ 4 und der Höhe 3, <br>	+	also ein Rechteck mit der Grundseite 4 und der Höhe 3, <br>
	<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>		<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>
	</ol>		</ol>
Zeile 422:		Zeile 422:
	\|-		\|-
	\|\|<small>Die Funktion ''f''(''x'') = ''x''²/2 - 2''x'' (siehe linkes Bild) und die Funktion ''g''(''x'') = 2''x'' - ''x''²/2 + 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden ''y'' = 3/4.		\|\|<small>Die Funktion ''f''(''x'') = ''x''²/2 - 2''x'' (siehe linkes Bild) und die Funktion ''g''(''x'') = 2''x'' - ''x''²/2 + 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden ''y'' = 3/4.
-	Also ist die Summe ''f''(''x'') + ''g''(''x'') = 3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der ~~Basis~~  2 und der Höhe  3/2 (siehe rechtes Bild). </small>	+	Also ist die Summe ''f''(''x'') + ''g''(''x'') = 3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Grundseite  2 und der Höhe  3/2 (siehe rechtes Bild). </small>
	\|}		\|}

Stefanie um 15:46, 1. Okt. 2009

Stefanie — Thu, 01 Oct 2009 15:46:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:46, 1. Okt. 2009
Zeile 336:		Zeile 336:
	</div>		</div>

-	== G - ~~Für die innere Ableitung kompensieren~~ ==	+	== G - Lineare Substitution ==

	Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.		Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Stefanie um 15:44, 1. Okt. 2009

Stefanie — Thu, 01 Oct 2009 15:44:24 GMT

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Zeile 120:		Zeile 120:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="95%" \| Sei <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit eines Gegenstandes in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Strecke, die nach 10 s zurückgelegt wurde, ist gleich der Fläche unter dem Schaubild von <math>v(t)</math> zwischen 0 und 10, also dem Integral von 0 bis 10.	+	\| width="95%" \| Sei <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit eines Gegenstandes in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Strecke, die nach 10 s zurückgelegt wurde, ist gleich der Fläche unter dem Schaubild von <math>v(t)</math> zwischen 0 und 10, also gleich dem Integral von 0 bis 10.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}
	Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.		Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

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Zeile 107:		Zeile 107:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="95%" \| Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist ~~gleich~~ groß wie die Fläche von <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass	+	\| width="95%" \| Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist genauso groß wie die Fläche von <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx