1.2 Ableitungsregeln - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:27, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:27:51 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:27, 11. Aug. 2010
Zeile 20:		Zeile 20:
	* Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.		* Wie man prinzipiell jede Funktion, die aus Elementarfunktionen besteht, ableitet.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Die Produkt- und Quotientenregel ==		== A - Die Produkt- und Quotientenregel ==

Stefanie um 15:26, 8. Okt. 2009

Stefanie — Thu, 08 Oct 2009 15:26:17 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:26, 8. Okt. 2009
Zeile 232:		Zeile 232:
	Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.		Falls eine Funktion mehrmals differenzierbar ist, kann man auch höhere Ableitungen berechnen, indem man die Funktion mehrmals ableitet.

-	Die zweite Ableitung schreibt man meistens <math>f^{\,\prime\prime}</math>, während man die dritte Ableitung als <math>f^{\,(3)}</math> schreibt, die vierte als <math>f^{\,(4)}</math> etc.	+	Die zweite Ableitung schreibt man meistens <math>f^{\, \prime \, \prime}</math>, während man die dritte Ableitung als <math>f^{\,(3)}</math> schreibt, die vierte als <math>f^{\,(4)}</math> etc.

	Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben.		Mann kann auch <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math> oder <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> schreiben.

Silke2: Produktregel ist nicht Faktorregel.

Silke2 — Wed, 30 Sep 2009 10:59:12 GMT

Produktregel ist nicht Faktorregel.

← Nächstältere Version		Version vom 10:59, 30. Sep. 2009
Zeile 36:		Zeile 36:
	</div>		</div>

-	Die Produktregel wird manchmal auch Faktorregel genannt.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:34:51 GMT

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 10:34, 16. Sep. 2009
Zeile 74:		Zeile 74:
	== B - Ableitung von verketteten Funktionen ==		== B - Ableitung von verketteten Funktionen ==

-	Die Funktion <math>y(x)=f(g(x))</math> besteht aus einer inneren Funktion <math> g </math> und einer ~~äußeren~~ Funktion <math> f </math>. Um <math>y(x)</math> an einer Stelle <math> x=x_0 </math> zu berechnen, berechnet man zuerst <math> g(x_0) </math> und berechnet dann <math> f(u_0) </math> mit <math> u_0 = g(x_0) </math>. Eine solche Funktion y heisst auch verkettete Funktion und man schreibt <math> y = f \circ g </math> und spricht "f kringel g" oder "f nach g".	+	Die Funktion <math>y(x)=f(g(x))</math> besteht aus einer inneren Funktion <math> g </math> und einer äußeren Funktion <math> f </math>. Um <math>y(x)</math> an einer Stelle <math> x=x_0 </math> zu berechnen, berechnet man zuerst <math> g(x_0) </math> und berechnet dann <math> f(u_0) </math> mit <math> u_0 = g(x_0) </math>. Eine solche Funktion y heisst auch verkettete Funktion und man schreibt <math> y = f \circ g </math> und spricht "f kringel g" oder "f nach g".

	Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.		Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:32:17 GMT

Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

← Nächstältere Version		Version vom 10:32, 16. Sep. 2009
Zeile 88:		Zeile 88:


-	Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, ~~verkürzt~~ sich die Kettenregel zu	+	Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, verkürzt sich die Kettenregel zu

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{dy}{dx}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{dy}{dx}
Zeile 97:		Zeile 97:
	''' Beispiel 2'''		''' Beispiel 2'''

-	<math>y(x)=(x^2 + 2x)^4</math> ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die ~~verkürzte~~ Kettenregel:	+	<math>y(x)=(x^2 + 2x)^4</math> ist eine verkettete Funktion. Wir benutzen die verkürzte Kettenregel:

	<center>		<center>

Silke2: /* A - Die Produkt- und Quotientenregel */ Bem. Faktorregel = Produktregel

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 16:40:43 GMT

A - Die Produkt- und Quotientenregel - Bem. Faktorregel = Produktregel

← Nächstältere Version		Version vom 16:40, 4. Sep. 2009
Zeile 36:		Zeile 36:
	</div>		</div>

		+	Die Produktregel wird manchmal auch Faktorregel genannt.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Silke2: /* B - Ableitung von verketteten Funktionen */

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 16:38:00 GMT

B - Ableitung von verketteten Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 16:38, 4. Sep. 2009
Zeile 129:		Zeile 129:
	''' Beispiel 3'''		''' Beispiel 3'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li><math> f(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br>	+	<li><math> y(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br>
-	<math>\begin{array}{ll}	+	<math>\begin{array}{llll}
-	\text{Äußere Ableitung:} & \cos (~~3x^2 +1~~)\\	+	\text{Äußere Funktion:} & f(u) = \sin u & \text{Äußere Ableitung:} & f^{\, \prime}(u) = \cos (u)\\
-	\text{Innere ~~Ableitung~~:} & 6x	+	\text{Innere Funktion:} & g(x) = 3 x^2 +1 & \text{Innere Ableitung:} & g^{\, \prime}(x) = 6x
	\end{array}</math><br><br>		\end{array}</math><br><br>
-	<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x	+	<math>
-	= 6x \cos (3x^2 +1)</math></li>	+	\begin{align} y(x) &= f( g(x)) \\
		+	y^{\,\prime}(x) &= f^{\, \prime}(g(x)) \, g^{\, \prime} (x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x
		+	= 6x \cos (3x^2 +1) \end{align}</math> <br><br></li>

	<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br>		<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br>
	<math>\begin{array}{ll}		<math>\begin{array}{ll}
	\text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\		\text{Äußere Ableitung:} & 5\,e^{x^2}\\
-	\text{Innere Ableitung:} & 2x	+	\text{Innere Ableitung:} & 2x
	\end{array}</math><br><br>		\end{array}</math><br><br>
-	<math>y' = 5 \, e^{x^2} \, 2x = 10x\, e^{x^2}</math>	+	<math>y' = 5 \, e^{x^2} \, 2x = 10x\, e^{x^2}</math><br><br>
	</li>		</li>

Zeile 150:		Zeile 152:
	\text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x		\text{Innere Ableitung:} & 1\cdot \sin x + x \cos x
	\end{array}</math><br><br>		\end{array}</math><br><br>
-	<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>	+	<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x)</math><br><br>
	</li>		</li>

Zeile 156:		Zeile 158:
	<math> s'(t) = 2t \, \cos (\ln t)		<math> s'(t) = 2t \, \cos (\ln t)
	+ t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr)		+ t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr)
-	= 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)</math></li>	+	= 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)</math><br><br></li>

	<li><math> \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x		<li><math> \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x
	= \frac{d}{dx}\,e^{x\ln a}		= \frac{d}{dx}\,e^{x\ln a}
	= e^{x\ln a} \, \ln a		= e^{x\ln a} \, \ln a
-	= a^x \, \ln a </math></li>	+	= a^x \, \ln a </math><br><br></li>

	<li><math> \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a		<li><math> \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a
Zeile 187:		Zeile 189:
	\vphantom{\Bigl(}</math><br>		\vphantom{\Bigl(}</math><br>
	<math> \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2		<math> \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\cdot 2
-	= 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math></li>	+	= 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math><br><br></li>
-	<li><math> \~~frac{d}{dx}~~\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)	+
		+	<li><math> \left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)\, \right)^{\, \prime}
	= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)		= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
-	\, \~~frac{d}{dx}~~\,(x^2 -3x)^4	+	\,\left(\,(x^2 -3x)^4 \, \right)^{\, \prime}
-	\vphantom{\Bigl(}</math><br>	+	\vphantom{\Bigl(} </math><br>
-	<math>\phantom{\~~frac{d}{dx}~~\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}	+	<math> \phantom{\left( \,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) \, \right)^{\, \prime} }{}
	= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3		= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3
-	\, \~~frac{d}{dx}~~\,(x^2-3x)	+	\,\left( \,(x^2-3x) \, \right)^{\, \prime}
	\vphantom{\Bigl(}</math><br>		\vphantom{\Bigl(}</math><br>
	<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}		<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
	= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3		= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3
-	\, (2x-3)</math></li>	+	\, (2x-3)</math><br><br></li>
		+
	<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)		<li><math> \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)
	= \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4		= \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
Zeile 209:		Zeile 213:
	\vphantom{\Bigl(}</math><br>		\vphantom{\Bigl(}</math><br>
	<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{}		<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{}
-	= 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)</math></li>	+	= 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3)</math><br><br></li>
		+
	<li><math>\frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)		<li><math>\frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
	= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1}		= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1}

Silke2: /* A - Die Produkt- und Quotientenregel */ Faktorregel -> Produktregel

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 16:23:08 GMT

A - Die Produkt- und Quotientenregel - Faktorregel -> Produktregel

← Nächstältere Version		Version vom 16:23, 4. Sep. 2009
Zeile 26:		Zeile 26:

	<div class="regel">		<div class="regel">
-	'''~~Faktor~~- und Quotientenregel: '''	+	'''Produkt- und Quotientenregel: '''
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \begin{align*}
	\bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt]		\bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt]

Silke2: /* B - Ableitung von verketteten Funktionen */ Sie -> Du

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 16:14:46 GMT

B - Ableitung von verketteten Funktionen - Sie -> Du

← Nächstältere Version		Version vom 16:14, 4. Sep. 2009
Zeile 124:		Zeile 124:
	\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}}		\, (\text{Innere Ableitung})\,\mbox{.}</math>}}

-	~~Vergessen Sie~~ nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.	+	Vergiss nicht, die Produkt-und Quotientenregeln falls notwendig anzuwenden.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Silke2: /* A - Die Produkt- und Quotientenregel */

Silke2 — Fri, 04 Sep 2009 15:56:50 GMT

A - Die Produkt- und Quotientenregel

← Nächstältere Version		Version vom 15:56, 4. Sep. 2009
Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \begin{align*}
	\bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt]		\bigl( f(x) \, g(x) \bigr)^\prime &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x) \\[8pt]
-	\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^\prime &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} </math>}}	+	\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^{\,\prime} &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} </math>}}
	Dieselbe Regel in einer anderen Notation:		Dieselbe Regel in einer anderen Notation:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= \bigl(\, \frac{d}{dx}\,f(x) \, \bigr) \, g(x) + f(x) \,\bigl(\,\frac{d}{dx}\, g(x) \bigr) \\[8pt]		{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= \bigl(\, \frac{d}{dx}\,f(x) \, \bigr) \, g(x) + f(x) \,\bigl(\,\frac{d}{dx}\, g(x) \bigr) \\[8pt]
Zeile 63:		Zeile 63:
	= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.<br><br></li>		= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.<br><br></li>

-	<li><math>\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}	+	<li><math>\begin{align} \frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}
-	= \frac{(1\cdot e^x + x\, e^x)(1+x)	+	&= \frac{(1\cdot e^x + x\, e^x)(1+x)
	- x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2}		- x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2}
-	= \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2}	+	= \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} \\
-	= \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,</math>.</li>	+	&= \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2} \end{align}\,</math>.</li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>