Lösung 3.4:6 - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 12:05, 4. Sep. 2009

2009-09-04T12:05:09Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.		Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

-	Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist~~, substituieren~~ wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir	+	Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist. Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
Zeile 11:		Zeile 11:
	Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir		Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{,}</math>}}

-	also,	+	also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 20:		Zeile 20:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Die zweite Gleichung ~~gibt~~ <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.	+	Die zweite Gleichung ergibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.

-	Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu ~~erwartet~~, da das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.	+	Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwarten, da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

-	~~Nachdem~~ die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor	+	Da die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math> hat, enthält das Polynom den Faktor

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6~~\,,~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6 </math>}}

	und daher ist		und daher ist
Zeile 32:		Zeile 32:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}

-	wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.	+	wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.

-	Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision,	+	Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 51:		Zeile 51:
	Also müssen wir die Gleichung		Also müssen wir die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2+3z-5 = 0~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2+3z-5 = 0 </math>}}

-	lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,	+	lösen, um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]		\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
-	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,,	+	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Moni um 09:12, 25. Aug. 2009

2009-08-25T09:12:55Z

Martin um 14:27, 21. Mai 2009

2009-05-21T14:27:44Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~First, we try to determine the pure imaginary root~~.	+	Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

-	~~We can write the imaginary root as~~ <math>z=ia</math>, ~~where~~ <math>a</math> ~~is a real number. If we substitute in~~ <math>z=ia</math>, ~~the equation should then be satisfied,~~	+	Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist Substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}

-	~~i.e.~~	+	also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}

-	~~and, if collect together the real and imaginary parts on the left~~-~~hand side~~, ~~we have~~	+	Separieren wir den Real- und Imaginärteil, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero~~,	+	und also,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 20:		Zeile 20:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~The other relation gives~~ <math>a=0</math> or <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, ~~but it is only~~ <math>a=\pm\sqrt{6}</math> ~~which satisfies the first relation~~.	+	Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.

-	~~Thus, the equation~~ <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> ~~has two pure imaginary roots,~~ <math>z=-i\sqrt{6}</math> ~~and~~ <math>z=i\sqrt{6}</math>. ~~Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots. The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots~~.	+	Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ist ganz erwartet, nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

-	~~Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots~~ <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, ~~the factor theorem gives that the equation contains the factor~~	+	Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}

-	~~i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,~~	+	und daher ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}

-	~~where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor~~ <math>z^{2}+Az+B</math>.	+	Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.

-	~~We determine the factor~~ <math>z^2+Az+B</math> ~~by means of a polynomial division (divide both sides by <math>z^2+6</math>)~~,	+	Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 49:		Zeile 49:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation~~	+	Also müssen wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We complete the square~~	+	lösen um die restlichen Wurzeln zu erhalten. Wir verwenden quadratische Ergänzung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 60:		Zeile 60:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~which gives that~~ <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.	+	Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.

-	~~The answer is that the equation has the roots~~	+	Die Gleichung hat also die Wurzeln

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

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2009-03-11T10:53:15Z

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Version vom 10:53, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:16:04Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:16, 10. Mär. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	We can write the imaginary root as <math>z=ia</math>, where <math>a</math> is a real number. If we substitute in <math>z=ia</math>, the equation should then be satisfied,		We can write the imaginary root as <math>z=ia</math>, where <math>a</math> is a real number. If we substitute in <math>z=ia</math>, the equation should then be satisfied,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}

	i.e.		i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}

	and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have		and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}

	If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,		If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt]		a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt]
	a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.}		a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.}
Zeile 26:		Zeile 26:
	Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor		Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}

	i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,		i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}

	where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor <math>z^{2}+Az+B</math>.		where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor <math>z^{2}+Az+B</math>.
Zeile 36:		Zeile 36:
	We determine the factor <math>z^2+Az+B</math> by means of a polynomial division (divide both sides by <math>z^2+6</math>),		We determine the factor <math>z^2+Az+B</math> by means of a polynomial division (divide both sides by <math>z^2+6</math>),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z^2+Az+B		z^2+Az+B
	&= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]		&= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
Zeile 51:		Zeile 51:
	To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation		To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}

	We complete the square		We complete the square

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]		\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,,		\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,,
Zeile 64:		Zeile 64:
	The answer is that the equation has the roots		The answer is that the equation has the roots

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Tek um 14:31, 31. Okt. 2008

2008-10-31T14:31:59Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	First, we try to determine the pure imaginary root.		First, we try to determine the pure imaginary root.

-	We can write the imaginary root as , where is a real number. If we substitute in ~~, the equation should then be satisfied,~~	+	We can write the imaginary root as <math>z=ia</math>, where <math>a</math> is a real number. If we substitute in <math>z=ia</math>, the equation should then be satisfied,
-		+
-		+
-	<math>~~\left( ia \right)^{4}+3\left( ia \right)^{3}+\left(~~ ia ~~\right)^{2}+18\left( ia \right)-30=0~~</math>	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}

	i.e.		i.e.

-		+	{{Displayed math\|\|<math>a^4 - 3a^3i - a^2 + 18ai - 30 = 0</math>}}
-	<math>a^{4}-3^~~{3}i~~-a^{2}+18ai-30=0</math>	+
-		+

	and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have		and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have

-		+	{{Displayed math\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>~~\left~~( a^{4}-a^{2}-30 ~~\right~~)+a~~\left~~( -3a^{2}+18 ~~\right~~)i=0</math>	+
-		+

	If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,		If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,

		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
		+	a^4-a^2-30 &= 0\,,\\[5pt]
		+	a(-3a^2+18) &= 0\,\textrm{.}
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	<math>~~\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	The other relation gives <math>a=0</math> or <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, but it is only <math>a=\pm\sqrt{6}</math> which satisfies the first relation.
-	a~~^{4}-~~a~~^{2}-30~~=0 \\	+
-	~~a\left( -3a^~~{2}~~+18 \right)~~=0 \\	+
-	~~\end~~{~~array~~} ~~\right.~~</math>	+

		+	Thus, the equation <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> has two pure imaginary roots, <math>z=-i\sqrt{6}</math> and <math>z=i\sqrt{6}</math>. Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots. The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots.

-	~~The other relation gives~~	+	Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor
-	~~<math>a=0\text{ }</math>~~	+
-	or	+
-	~~<math>a=\pm \sqrt{6}</math>, but it is only~~	+
-	~~<math>a=\pm \sqrt{6}</math>~~	+
-	~~which satisfies the first relation.~~	+
-		+
-	~~Thus, the equation~~	+
-	~~<math>z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30=0</math>~~	+
-	~~has two pure imaginary roots,~~	+
-	~~<math>z=-i\sqrt{6}</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>z=i\sqrt{6}</math>. Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots.~~	+
-	~~The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots.~~	+
-		+
-	Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots	+
-	<math>z=\pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor	+
-		+
-		+
-	~~<math>\left( z-i\sqrt{6} \right)\left( z+i\sqrt{6} \right)=z^{2}+6</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>(z-i\sqrt{6})(z+i\sqrt{6}) = z^2+6\,,</math>}}

	i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,		i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,

		+	{{Displayed math\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}

-	<math>~~z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30=\left(~~ z^{2}+Az+B ~~\right)\left( z^{2}+6 \right)~~</math>,	+	where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor <math>z^{2}+Az+B</math>.

-	~~where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor~~	+	We determine the factor <math>z^2+Az+B</math> by means of a polynomial division (divide both sides by <math>z^2+6</math>),
-	~~<math>z^{2}+Az+B</math>.~~	+
-		+
-	We determine the factor	+
-	<math>z^{2}+Az+B</math>	+
-	by means of a polynomial division (divide both sides by	+
-	<math>z^{2}+6</math>):	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& z^{2}+Az+B=\frac{z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =\frac{z^{4}+6z^{2}-6z^{2}+3z^{3}+z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =\frac{z^{2}\left( z^{2}+6 \right)+3z^{3}-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+\frac{3z^{3}-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+\frac{3z^{3}+18z-18z-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+\frac{3z\left( z^{2}+6 \right)-5z^{2}-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+3z+\frac{-5z^{2}-30}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+3z+\frac{-5\left( z^{2}+6 \right)}{z^{2}+6} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+3z-5 \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	z^2+Az+B
		+	&= \frac{z^4+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= \frac{z^4+6z^2-6z^2+3z^3+z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= \frac{z^2(z^2+6)+3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= z^2 + \frac{3z^3-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= z^2 + \frac{3z^3+18z-18z-5z^2+18z-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= z^2 + \frac{3z(z^2+6)-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= z^2 + 3z + \frac{-5z^2-30}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= z^2 + 3z + \frac{-5(z^2+6)}{z^2+6}\\[5pt]
		+	&= z^2 + 3z - 5\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

	To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation		To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z^2+3z-5 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>z^{2}+3z-5=0</math>	+
-		+

	We complete the square		We complete the square

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - 5 &= 0\,,\\[5pt]
		+	\Bigl(z+\frac{3}{2}\Bigr)^2 &= \frac{29}{4}\,,
		+	\end{align}</math>}}

-	~~<math>\begin{align}~~	+	which gives that <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
-	~~& \left( z+\frac{3}{2} \right)^{2}-\left( \frac{3}{2} \right)^{2}-5=0 \\~~	+
-	~~& \left( z+\frac{3}{2} \right)^{2}=\frac{29}{4} \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-	which gives that	+
-	<math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.	+

	The answer is that the equation has the roots		The answer is that the equation has the roots

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>z=-i\sqrt{6},\ z=i\sqrt{6},\ z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2},\ z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}</math>	+

Ian um 14:02, 28. Okt. 2008

2008-10-28T14:02:48Z

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-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	First, we try to determine the pure imaginary root.
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_4_6~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	We can write the imaginary root as , where is a real number. If we substitute in , the equation should then be satisfied,
		+
		+
		+	<math>\left( ia \right)^{4}+3\left( ia \right)^{3}+\left( ia \right)^{2}+18\left( ia \right)-30=0</math>
		+
		+
		+	i.e.
		+
		+
		+	<math>a^{4}-3^{3}i-a^{2}+18ai-30=0</math>
		+
		+
		+	and, if collect together the real and imaginary parts on the left-hand side, we have
		+
		+
		+	<math>\left( a^{4}-a^{2}-30 \right)+a\left( -3a^{2}+18 \right)i=0</math>
		+
		+
		+	If both sides are to be equal, the left-hand side's real and imaginary parts must be zero,
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	a^{4}-a^{2}-30=0 \\
		+	a\left( -3a^{2}+18 \right)=0 \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	The other relation gives
		+	<math>a=0\text{ }</math>
		+	or
		+	<math>a=\pm \sqrt{6}</math>, but it is only
		+	<math>a=\pm \sqrt{6}</math>
		+	which satisfies the first relation.
		+
		+	Thus, the equation
		+	<math>z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30=0</math>
		+	has two pure imaginary roots,
		+	<math>z=-i\sqrt{6}</math>
		+	and
		+	<math>z=i\sqrt{6}</math>. Note that it is completely normal to obtain two imaginary roots.
		+	The polynomial equation has real coefficients and must therefore have complex conjugate roots.
		+
		+	Now we tackle the problem of determining the equation's other two roots. Because we know that the equation has the two roots
		+	<math>z=\pm i\sqrt{6}</math>, the factor theorem gives that the equation contains the factor
		+
		+
		+	<math>\left( z-i\sqrt{6} \right)\left( z+i\sqrt{6} \right)=z^{2}+6</math>
		+
		+
		+	i.e. we can factorize the left-hand side of the equation in the following way,
		+
		+
		+	<math>z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z^{2}+6 \right)</math>,
		+
		+	where the equation's two other roots are zeros of the unknown factor
		+	<math>z^{2}+Az+B</math>.
		+
		+	We determine the factor
		+	<math>z^{2}+Az+B</math>
		+	by means of a polynomial division (divide both sides by
		+	<math>z^{2}+6</math>):
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z^{2}+Az+B=\frac{z^{4}+3z^{3}+z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =\frac{z^{4}+6z^{2}-6z^{2}+3z^{3}+z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =\frac{z^{2}\left( z^{2}+6 \right)+3z^{3}-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =z^{2}+\frac{3z^{3}-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =z^{2}+\frac{3z^{3}+18z-18z-5z^{2}+18z-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =z^{2}+\frac{3z\left( z^{2}+6 \right)-5z^{2}-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =z^{2}+3z+\frac{-5z^{2}-30}{z^{2}+6} \\
		+	& =z^{2}+3z+\frac{-5\left( z^{2}+6 \right)}{z^{2}+6} \\
		+	& =z^{2}+3z-5 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	To obtain the two remaining roots, we need therefore to solve the equation
		+
		+
		+	<math>z^{2}+3z-5=0</math>
		+
		+
		+	We complete the square
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \left( z+\frac{3}{2} \right)^{2}-\left( \frac{3}{2} \right)^{2}-5=0 \\
		+	& \left( z+\frac{3}{2} \right)^{2}=\frac{29}{4} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	which gives that
		+	<math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.
		+
		+	The answer is that the equation has the roots
		+
		+
		+	<math>z=-i\sqrt{6},\ z=i\sqrt{6},\ z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2},\ z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}</math>

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Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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-	<center> [[~~Bild~~:3_4_6.gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_4_6.gif]] </center>
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Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_4_6.gif {{NAVCONTENT_STOP}}

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<center> [[Bild:3_4_6.gif]] </center>
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	Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.		Zuerst bestimmen wir die rein imaginäre Wurzel.

-	Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wo <math>a</math> eine reelle Konstante ist ~~Substituieren~~ wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir	+	Eine rein imaginäre Wurzel können wir wie <math>z=ia</math> schreiben, wobei <math>a</math> eine reelle Konstante ist, substituieren wir <math>z=ia</math> im Polynom, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(ia)^4 + 3(ia)^3 + (ia)^2 + 18(ia) - 30 = 0\,,</math>}}
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	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(a^4-a^2-30) + a(-3a^2+18)i = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~und~~ also,	+	also,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 22:		Zeile 22:
	Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.		Die zweite Gleichung gibt <math>a=0</math> oder <math>a=\pm\sqrt{6}</math>, aber nur <math>a=\pm\sqrt{6}</math> erfüllt auch die erste Gleichung.

-	Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies ~~ist ganz~~ erwartet, ~~nachdem~~ das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.	+	Daher hat die Gleichung <math>z^4+3z^3+z^2+18z-30=0</math> die zwei rein imaginären Wurzeln <math>z=-i\sqrt{6}</math> und <math>z=i\sqrt{6}</math>. Dies war zu erwartet, da das Polynom reelle Koeffizienten hat, und komplexe Wurzeln treten daher in konjugiert komplexen Paaren auf.

	Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor		Nachdem die Gleichung die zwei Wurzeln <math>z = \pm i\sqrt{6}</math>, enthält das Polynom den Faktor
Zeile 32:		Zeile 32:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4+3z^3+z^2+18z-30 = (z^2+Az+B)(z^2+6)\,,</math>}}

-	Wo die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.	+	wobei die anderen zwei Wurzeln der Gleichung, die Nullstellen von <math>z^{2}+Az+B</math> sind.

	Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision,		Wir bestimmen den Faktor <math>z^2+Az+B</math> durch Polynomdivision,
Zeile 62:		Zeile 62:
	Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.		Dies ergibt also <math>z=-\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{29}}{2}</math>.

-	Die Gleichung hat also die ~~Wurzeln~~	+	Die Gleichung hat also die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=-i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=i\sqrt{6}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}</math>, <math>\quad z=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\,\textrm{.}</math>}}