Lösung 3.4:5 - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck: Rechenfehler endgültig beseitigt, Probe eingefügt

2011-09-01T08:40:13Z

Rechenfehler endgültig beseitigt, Probe eingefügt

← Nächstältere Version		Version vom 08:40, 1. Sep. 2011
Zeile 61:		Zeile 61:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	c=1,\ d=-3:\\	+	c=1,\ d=-3:\quad
-	(z-1)^3(z+3) = (z^3-3z^2+3z-1)(z+3)	+	(z-1)^3(z+3) &= (z^3-3z^2+3z-1)(z+3) \\
-	= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3	+	&= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3 \\
-	= z^4 -6z^2 +8z-3	+	&= z^4 -6z^2 +8z-3
	\\[10pt]		\\[10pt]
-	c=-1,\ d=3:	+	c=-1,\ d=3: \quad
-	(z+1)^3(z-3) = (z^3+3z^2+3z+1)(z-3)	+	(z+1)^3(z-3) &= (z^3+3z^2+3z+1)(z-3) \\
-	= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3	+	&= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3\\
-	= z^4 -6z^2 -8z-3	+	&= z^4 -6z^2 -8z-3
	\,\textrm{.}		\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Dagmar Timmreck um 08:37, 1. Sep. 2011

2011-09-01T08:37:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:37, 1. Sep. 2011
Zeile 17:		Zeile 17:
	&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]		&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
	&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]		&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
-	&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d	+	&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

	und daher muss		und daher muss

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c+3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}

	Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen		Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen
Zeile 29:		Zeile 29:
	3c+d &= 0\,,\\[5pt]		3c+d &= 0\,,\\[5pt]
	3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]		3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
-	-c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt]	+	-c^2(c+3d) &= a\,,\\[5pt]
	c^3d &= b\,\textrm{.}		c^3d &= b\,\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
Zeile 45:		Zeile 45:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = -10\,,\\[5pt]	+	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1+3\cdot (-3)) = -8\,,\\[5pt]
	b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]		b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
-	c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]	+	c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 8\,,\\[5pt]
	b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}		b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 53:		Zeile 53:
	Daher gibt es zwei mögliche Antworten,		Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

-	:*<math>a=-10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,	+	:*<math>a=-8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,

-	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.	+	:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.
		+
		+
		+	Da solch eine lange Rechnung fehleranfällig ist, überprüfen wir das Ergebnis noch mit einer Probe:
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	c=1,\ d=-3:\\
		+	(z-1)^3(z+3) = (z^3-3z^2+3z-1)(z+3)
		+	= z^4 - 3z^3 +3z^2 -z +3z^3-9z^2+9z-3
		+	= z^4 -6z^2 +8z-3
		+	\\[10pt]
		+	c=-1,\ d=3:
		+	(z+1)^3(z-3) = (z^3+3z^2+3z+1)(z-3)
		+	= z^4 + 3z^3 +3z^2 +z -3z^3-9z^2-9z-3
		+	= z^4 -6z^2 -8z-3
		+	\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>

Dagmar Timmreck: Rechenfehler korrigiert

2011-08-31T19:37:20Z

Rechenfehler korrigiert

← Nächstältere Version		Version vom 19:37, 31. Aug. 2011
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Ein Polynom hat die dreifache ~~Wurzel~~ <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.	+	Ein Polynom hat die dreifache Nullstelle <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.

	In unseren Fall bedeutet dies, dass		In unseren Fall bedeutet dies, dass
Zeile 5:		Zeile 5:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}

-	wobei <math>z=c</math> die dreifache ~~Wurzel~~ ist und	+	wobei <math>z=c</math> die dreifache Nullstelle ist und
-	<math>z=d</math> die vierte ~~Wurzel~~ ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 ~~Wurzeln~~ hat.	+	<math>z=d</math> die vierte Nullstelle ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Nullstellen hat.

	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.		Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.

-	~~Erweiten~~ wir die rechte Seite, erhalten wir	+	Multiplizieren wir die rechte Seite aus, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Nachdem~~ zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen	+	Weil zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 33:		Zeile 33:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Von~~ der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>	+	Aus der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 45:		Zeile 45:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt]	+	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = -10\,,\\[5pt]
	b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]		b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
	c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]		c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
Zeile 53:		Zeile 53:
	Daher gibt es zwei mögliche Antworten,		Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

-	:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache ~~Wurzel~~ in <math>z=1</math> und eine einfache ~~Wurzel~~ in <math>z=-3</math>,	+	:*<math>a=-10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=-3</math>,

-	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache ~~Wurzel~~ in <math>z=-1</math> und eine einfache ~~Wurzel~~ in <math>z=3</math>.	+	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Nullstelle in <math>z=-1</math> und eine einfache Nullstelle in <math>z=3</math>.

Sekretariat1 um 12:00, 4. Sep. 2009

2009-09-04T12:00:04Z

Moni um 09:03, 25. Aug. 2009

2009-08-25T09:03:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 09:03, 25. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.		Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.

-	In unseren Fall bedeutet dies dass	+	In unseren Fall bedeutet dies, dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}

	wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und		wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und
-	<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, ~~nachdem~~ ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.	+	<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.		Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.
Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}

-	Nachdem zwei Polynome ~~gleich sind~~ nur dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen	+	Nachdem zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}

Martin um 14:17, 21. Mai 2009

2009-05-21T14:17:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:17, 21. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~A polynomial is said to have a triple root~~ <math>z=c</math> ~~if the equation contains the factor~~ <math>(z-c)^3</math>.	+	Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.

-	~~For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as~~	+	In unseren Fall bedeutet dies dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}

-	~~according to the factor theorem, where~~ <math>z=c</math> ~~is the triple root and~~	+	wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und
-	<math>z=d</math> ~~is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots~~, ~~taking into account multiplicity)~~.	+	<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, nachdem ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

-	~~We will now try to determine~~ <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> ~~and~~ <math>d</math> ~~so that both sides in the factorization above agree~~.	+	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.

-	~~If we expand the right-hand side above~~, ~~we get~~	+	Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 20:		Zeile 20:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and this means that we must have~~	+	und daher muss

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal~~, ~~this gives~~	+	Nachdem zwei Polynome gleich sind nur dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, erhalten wir die Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 33:		Zeile 33:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~From the first equation, we obtain~~ <math>d=-3c</math> ~~and substituting this into the second equation gives us an equation for~~ <math>c</math>,	+	Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 40:		Zeile 40:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~i.e.~~ <math>c=-1</math> or <math>c=1</math>. ~~The relation~~ <math>d=-3c</math> ~~gives that the corresponding values for <math>d</math> are~~ <math>d=3</math> ~~and~~ <math>d=-3</math>. ~~The two last equations give us the corresponding values for~~	+	also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Nachdem <math>d=-3c</math> ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
-	<math>a</math> ~~and~~ <math>b</math>,	+	<math>a</math> und <math>b</math>,


Zeile 51:		Zeile 51:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

		+	Daher gibt es zwei mögliche Antworten,

-	~~Therefore, there are two different answers~~,	+	:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,

-	~~:*<math>a=8</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=1</math> and the single root <math>z=-3</math>,~~	+	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>,
-		+
-	:*<math>a=10</math> ~~and~~ <math>b=-3</math> ~~give the triple root~~ <math>z=-1</math> ~~and the single root~~ <math>z=3</math>.	+

Tekbot: Solution 3.4:5 moved to Lösung 3.4:5: Robot: moved page

2009-03-11T10:52:55Z

Solution 3.4:5 moved to Lösung 3.4:5: Robot: moved page

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Version vom 10:52, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:15:54Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:15, 10. Mär. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as		For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}

	according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and		according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and
Zeile 12:		Zeile 12:
	If we expand the right-hand side above, we get		If we expand the right-hand side above, we get

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	(z-c)^3(z-d)		(z-c)^3(z-d)
	&= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt]		&= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt]
Zeile 22:		Zeile 22:
	and this means that we must have		and this means that we must have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}

	Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives		Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	3c+d &= 0\,,\\[5pt]		3c+d &= 0\,,\\[5pt]
	3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]		3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
Zeile 35:		Zeile 35:
	From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,		From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt]		3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt]
	-6c^2 &= -6\,,		-6c^2 &= -6\,,

Tek um 14:07, 31. Okt. 2008

2008-10-31T14:07:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:07, 31. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	A polynomial is said to have a triple root	+	A polynomial is said to have a triple root <math>z=c</math> if the equation contains the factor <math>(z-c)^3</math>.
-	<math>z=c</math>	+
-	if the equation contains the factor	+
-	<math>~~\left~~( z-c ~~\right~~)^{3}</math>	+
-		+

	For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as		For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as

		+	{{Displayed math\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}

-	<math>z~~^{4}-6z^{2}+az+b~~=~~\left( z-~~c ~~\right)^{3}\left(~~ z-d ~~\right)~~</math>	+	according to the factor theorem, where <math>z=c</math> is the triple root and
		+	<math>z=d</math> is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).

-		+	We will now try to determine <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> and <math>d</math> so that both sides in the factorization above agree.
-	~~according to the factor theorem, where~~	+
-	~~<math>z=c</math>~~	+
-	~~is the triple root and~~	+
-	~~<math>z=d\text{ }</math>~~	+
-	~~is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).~~	+
-		+
-	We will now try to determine	+
-	<math>a</math>,	+
-	<math>b</math>,	+
-	<math>c</math>	+
-	and	+
-	<math>d</math>	+
-	so that both sides in the factorization above agree.	+

	If we expand the right-hand side above, we get		If we expand the right-hand side above, we get

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\begin{align}	+	(z-c)^3(z-d)
-	~~& \left~~( z-c ~~\right~~)^{3~~}\left~~( z-d ~~\right~~)=~~\left~~( z-c ~~\right~~)^{2~~}\left~~( z-c ~~\right~~)~~\left~~( z-d ~~\right~~) \\	+	&= (z-c)^2(z-c)(z-d)\\[5pt]
-	& =~~\left~~( z^{2}-2cz+c^{2~~} \right~~)~~\left~~( z-c ~~\right~~)~~\left~~( z-d ~~\right~~) \\	+	&= (z^2-2cz+c^2)(z-c)(z-d)\\[5pt]
-	& =~~\left~~( z^{3}-3cz^{2}+3c^~~{2}z~~-c^{3~~} \right~~)~~\left~~( z-d ~~\right~~) \\	+	&= (z^3-3cz^2+3c^2z-c^3)(z-d)\\[5pt]
-	& =z^{4}-~~\left~~( 3c+d ~~\right~~)z^{3}+3c~~\left~~( c+d ~~\right~~)z^{2}-c^{2~~}\left~~( c-3d ~~\right~~)z+c^~~{3}d \\~~	+	&= z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d
-	\end{align}</math>	+	\end{align}</math>}}
-		+

	and this means that we must have		and this means that we must have

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = z^4-(3c+d)z^3+3c(c+d)z^2-c^2(c-3d)z+c^3d\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>z^{4}-6z^{2}+az+b=z^{4}-~~\left~~( 3c+d ~~\right~~)z^{3}+3c~~\left~~( c+d ~~\right~~)z^{2}-c^{2~~}\left~~( c-3d ~~\right~~)z+c^{~~3}d~~.</math>	+
-		+

	Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives		Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives

		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
		+	3c+d &= 0\,,\\[5pt]
		+	3c(c+d) &= -6\,,\\[5pt]
		+	-c^2(c-3d) &= a\,,\\[5pt]
		+	c^3d &= b\,\textrm{.}
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	<math>~~\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	From the first equation, we obtain <math>d=-3c</math> and substituting this into the second equation gives us an equation for <math>c</math>,
-	~~3c+~~d=~~0 \\~~	+
-	3c~~\left(~~ c~~+d \right)=-6 \\~~	+
-	~~-c^{2}\left( c-3d \right)=a \\~~	+
-	~~c^{3}d=b \\~~	+
-	~~\end{array} \right.~~</math>	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	3c(c-3c) &= -6\,,\\[5pt]
		+	-6c^2 &= -6\,,
		+	\end{align}</math>}}

-	~~From the first equation, we obtain~~	+	i.e. <math>c=-1</math> or <math>c=1</math>. The relation <math>d=-3c</math> gives that the corresponding values for <math>d</math> are <math>d=3</math> and <math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for
-	<math>d=-~~\text{~~3~~}c\text{ }~~</math>	+	<math>a</math> and <math>b</math>,
-	and ~~substituting this into the second equation gives~~ us ~~an equation~~ for	+
-	<math>c</math>,	+


	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	& 3c\~~left~~( c-3c \~~right~~)=-6 \\	+	c=1,\ d=-3:\quad a &= -1^2\cdot (1-3\cdot (-3)) = 8\,,\\[5pt]
-	& -6c^{2}=-6 \\	+	b &= 1^3\cdot (-3) = -3\,,\\[10pt]
		+	c=-1,\ d=3:\quad a &= -(-1)^2\cdot (-1-3\cdot 3) = 10\,,\\[5pt]
		+	b &= (-1)^3\cdot 3 = -3\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


-	~~i.e.~~	+	Therefore, there are two different answers,
-	~~<math>c=-\text{1 }</math>~~	+
-	or	+
-	~~<math>c=\text{1}</math>. The relation~~	+
-	~~<math>d=-\text{3}c\text{ }</math>~~	+
-	~~gives that the corresponding values for~~	+
-	~~<math>d</math>~~	+
-	~~are~~	+
-	~~<math>d=3</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for~~	+
-	~~<math>a</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>b</math>,~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& c=1,\ d=-3:\quad a=-1^{2}\centerdot \left( 1-3\centerdot \left( -3 \right) \right)=8 \\~~	+
-	~~& b=1^{3}\centerdot \left( -3 \right)=-3 \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& c=-1,\ d=3:\quad a=-\left( -1 \right)^{2}\centerdot \left( -1-3\centerdot 3 \right)=10 \\~~	+
-	~~& b=\left( -1 \right)^{3}\centerdot 3=-3 \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-	Therefore, there are two different answers:	+
-		+

-	<math>~~\bullet \quad~~ a=~~\text{~~8 }</math>	+	:*<math>a=8</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=1</math> and the single root <math>z=-3</math>,
-	and	+
-	<math>b=-~~\text{~~3}</math>	+
-	give the triple root	+
-	<math>z=~~\text{~~1}</math>	+
-	and the single root	+
-	<math>z=-~~\text{~~3}</math>;	+

-	<math>~~\bullet \quad~~ a=10</math>	+	:*<math>a=10</math> and <math>b=-3</math> give the triple root <math>z=-1</math> and the single root <math>z=3</math>.
-	and	+
-	<math>b=-~~\text{~~3 }</math>give the triple root	+
-	<math>z=-~~\text{~~1 }</math>	+
-	and the single root	+
-	<math>z=~~\text{~~3}</math>.	+

Ian um 11:09, 28. Okt. 2008

2008-10-28T11:09:43Z

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-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	A polynomial is said to have a triple root
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_4_5~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>z=c</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	if the equation contains the factor
		+	<math>\left( z-c \right)^{3}</math>
		+
		+
		+	For our equation, this means that the left-hand side can be factorized as
		+
		+
		+	<math>z^{4}-6z^{2}+az+b=\left( z-c \right)^{3}\left( z-d \right)</math>
		+
		+
		+	according to the factor theorem, where
		+	<math>z=c</math>
		+	is the triple root and
		+	<math>z=d\text{ }</math>
		+	is the equation's fourth root (according to the fundamental theorem of algebra, a fourth-order equation always has four roots, taking into account multiplicity).
		+
		+	We will now try to determine
		+	<math>a</math>,
		+	<math>b</math>,
		+	<math>c</math>
		+	and
		+	<math>d</math>
		+	so that both sides in the factorization above agree.
		+
		+	If we expand the right-hand side above, we get
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \left( z-c \right)^{3}\left( z-d \right)=\left( z-c \right)^{2}\left( z-c \right)\left( z-d \right) \\
		+	& =\left( z^{2}-2cz+c^{2} \right)\left( z-c \right)\left( z-d \right) \\
		+	& =\left( z^{3}-3cz^{2}+3c^{2}z-c^{3} \right)\left( z-d \right) \\
		+	& =z^{4}-\left( 3c+d \right)z^{3}+3c\left( c+d \right)z^{2}-c^{2}\left( c-3d \right)z+c^{3}d \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	and this means that we must have
		+
		+
		+	<math>z^{4}-6z^{2}+az+b=z^{4}-\left( 3c+d \right)z^{3}+3c\left( c+d \right)z^{2}-c^{2}\left( c-3d \right)z+c^{3}d.</math>
		+
		+
		+	Because two polynomials are equal if an only if their coefficients are equal, this gives
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	3c+d=0 \\
		+	3c\left( c+d \right)=-6 \\
		+	-c^{2}\left( c-3d \right)=a \\
		+	c^{3}d=b \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	From the first equation, we obtain
		+	<math>d=-\text{3}c\text{ }</math>
		+	and substituting this into the second equation gives us an equation for
		+	<math>c</math>,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& 3c\left( c-3c \right)=-6 \\
		+	& -6c^{2}=-6 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	i.e.
		+	<math>c=-\text{1 }</math>
		+	or
		+	<math>c=\text{1}</math>. The relation
		+	<math>d=-\text{3}c\text{ }</math>
		+	gives that the corresponding values for
		+	<math>d</math>
		+	are
		+	<math>d=3</math>
		+	and
		+	<math>d=-3</math>. The two last equations give us the corresponding values for
		+	<math>a</math>
		+	and
		+	<math>b</math>,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& c=1,\ d=-3:\quad a=-1^{2}\centerdot \left( 1-3\centerdot \left( -3 \right) \right)=8 \\
		+	& b=1^{3}\centerdot \left( -3 \right)=-3 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& c=-1,\ d=3:\quad a=-\left( -1 \right)^{2}\centerdot \left( -1-3\centerdot 3 \right)=10 \\
		+	& b=\left( -1 \right)^{3}\centerdot 3=-3 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	Therefore, there are two different answers:
		+
		+
		+	<math>\bullet \quad a=\text{8 }</math>
		+	and
		+	<math>b=-\text{3}</math>
		+	give the triple root
		+	<math>z=\text{1}</math>
		+	and the single root
		+	<math>z=-\text{3}</math>;
		+
		+	<math>\bullet \quad a=10</math>
		+	and
		+	<math>b=-\text{3 }</math>give the triple root
		+	<math>z=-\text{1 }</math>
		+	and the single root
		+	<math>z=\text{3}</math>.

← Nächstältere Version		Version vom 12:00, 4. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math> wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.	+	Ein Polynom hat die dreifache Wurzel <math>z=c</math>, wenn das Polynom den Faktor <math>(z-c)^3</math> enthält.

	In unseren Fall bedeutet dies, dass		In unseren Fall bedeutet dies, dass

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^4-6z^2+az+b = (z-c)^3(z-d)</math> ,}}

-	wo <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist, und	+	wobei <math>z=c</math> die dreifache Wurzel ist und
	<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.		<math>z=d</math> die vierte Wurzel ist, da ein Polynom mit dem Grad 4 immer 4 Wurzeln hat.

-	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> sodass die obere Gleichung stimmt.	+	Wir bestimmen jetzt <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math>, sodass die obere Gleichung stimmt.

	Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir		Erweiten wir die rechte Seite, erhalten wir
Zeile 33:		Zeile 33:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>,	+	Von der ersten Gleichung erhalten wir <math>d=-3c</math> und mit der zweiten Gleichung erhalten wir eine Gleichung für <math>c</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 40:		Zeile 40:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. ~~Nachdem~~ <math>d=-3c</math> ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir	+	also <math>c=-1</math> oder <math>c=1</math>. Da <math>d=-3c</math>, ist <math>d=3</math> oder <math>d=-3</math>. Durch die zwei übrigen Gleichungen erhalten wir
-	<math>a</math> und <math>b</math>,	+	<math>a</math> und <math>b</math>


Zeile 55:		Zeile 55:
	:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,		:*<math>a=8</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=-3</math>,

-	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>,	+	:*<math>a=10</math> und <math>b=-3</math> ergibt eine dreifache Wurzel in <math>z=-1</math> und eine einfache Wurzel in <math>z=3</math>.