Lösung 3.4:2 - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 10:26, 4. Sep. 2009

2009-09-04T10:26:07Z

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Zeile 23:		Zeile 23:

	Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von		Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-	<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.	+	<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.

	Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung		Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

Sekretariat1 um 10:25, 4. Sep. 2009

2009-09-04T10:25:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:25, 4. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, ~~und~~ daher ist	+	Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, daher ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math> ,}}

-	~~für welche konstanten~~ <math>A</math> und <math>B</math>. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,	+	wobei <math>A</math> und <math>B</math> Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 23:		Zeile 23:

	Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von		Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-	<math>z^2-2z+2</math> sein. ~~Dies nachdem~~ die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.	+	<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.

	Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung		Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0</math>}}

-	durch quadratische Ergänzung lösen,	+	durch quadratische Ergänzung lösen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]		(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
-	(z-1)^2 &= -1~~\,,~~	+	(z-1)^2 &= -1
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Zeile 42:		Zeile 42:


-	Wir kontrollieren ~~schnell~~ ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind,	+	Wir kontrollieren, ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Moni um 08:46, 25. Aug. 2009

2009-08-25T08:46:58Z

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Zeile 23:		Zeile 23:

	Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von		Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-	<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.	+	<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.

	Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung		Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

Martin um 14:18, 21. Mai 2009

2009-05-21T14:18:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:18, 21. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Nachdem das Polynom die Nullstelle <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, und daher ist	+	Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, und daher ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}
Zeile 25:		Zeile 25:
	<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.		<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.

-	Wir bestimmen die restlichen ~~Nullstellen~~ indem wir die Gleichung	+	Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 39:		Zeile 39:
	<math>z=1+i\,</math>.		<math>z=1+i\,</math>.

-	Die anderen ~~Nullstellen~~ sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.	+	Die anderen Wurzeln sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.


-	Wir kontrollieren schnell ob <math>z = 1 \pm i</math> ~~Nullstellen~~ der Gleichung sind,	+	Wir kontrollieren schnell ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind,

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Martin um 13:59, 21. Mai 2009

2009-05-21T13:59:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:59, 21. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If the equation has the root~~ <math>z=1</math>, ~~this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor~~ <math>z-1</math>, ~~i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as~~	+	Nachdem das Polynom die Nullstelle <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, und daher ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}

-	~~for some constants~~ <math>A</math> ~~and~~ <math>B</math>. ~~We can determine the second unknown factor using polynomial division~~,	+	für welche konstanten <math>A</math> und <math>B</math>. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 18:		Zeile 18:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Thus, the equation can be written as~~	+	Daher ist unsere Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor~~	+	Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-	<math>z^2-2z+2</math>. ~~This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors~~ <math>z-1</math> or <math>z^2-2z+2</math> ~~is zero, and we see directly that~~ <math>z-1</math> ~~is zero only when~~ <math>z=1\,</math>.	+	<math>z^2-2z+2</math> sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt dass <math>z-1</math> nur null ist wenn <math>z=1\,</math>.

-	~~Hence, we determine the roots by solving the equation~~	+	Wir bestimmen die restlichen Nullstellen indem wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Completing the square gives~~	+	durch quadratische Ergänzung lösen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 36:		Zeile 36:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and taking the root gives that~~ <math>z-1=\pm i</math>, ~~i.e.~~ <math>z=1-i</math> ~~and~~	+	und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
	<math>z=1+i\,</math>.		<math>z=1+i\,</math>.

-	~~The equation's other roots are~~ <math>z=1-i</math> ~~and~~ <math>z=1+i\,</math>.	+	Die anderen Nullstellen sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.


-	~~As an extra check, we investigate whether~~ <math>z = 1 \pm i</math> ~~really are roots of the equation.~~	+	Wir kontrollieren schnell ob <math>z = 1 \pm i</math> Nullstellen der Gleichung sind,

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 64:		Zeile 64:
	&= 0\,\textrm{.}		&= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
-
-
-	Note: Writing
-
-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}
-
-	is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.

Tekbot: Solution 3.4:2 moved to Lösung 3.4:2: Robot: moved page

2009-03-11T10:51:55Z

Solution 3.4:2 moved to Lösung 3.4:2: Robot: moved page

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Version vom 10:51, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:15:24Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:15, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as		If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}

	for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,		for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z^2+Az+B		z^2+Az+B
	&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]		&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
Zeile 20:		Zeile 20:
	Thus, the equation can be written as		Thus, the equation can be written as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}

	The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor		The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor
Zeile 27:		Zeile 27:
	Hence, we determine the roots by solving the equation		Hence, we determine the roots by solving the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}

	Completing the square gives		Completing the square gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]		(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
	(z-1)^2 &= -1\,,		(z-1)^2 &= -1\,,
Zeile 68:		Zeile 68:
	Note: Writing		Note: Writing

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}

	is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.		is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.

Tek um 13:14, 31. Okt. 2008

2008-10-31T13:14:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:14, 31. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If the equation has the root	+	If the equation has the root <math>z=1</math>, this means, according to the factor rule, that the equation must contain the factor <math>z-1</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as
-	<math>z=~~\text{~~1}</math>, this means, according to the factor rule, that the equation ~~mustcontain~~ the	+
-	<math>z~~=\text{~~1}</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math>}}

-	~~<math>z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z-1 \right)</math>~~	+	for some constants <math>A</math> and <math>B</math>. We can determine the second unknown factor using polynomial division,
-		+
-		+
-	for some constants	+
-	<math>A</math>	+
-	and	+
-	<math>B</math>. We can determine the ~~other~~ unknown factor using polynomial division:	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z-1 \right) \\~~	+
-	~~& z^{2}+Az+B=\frac{z^{3}-3z^{2}+4z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =\frac{z^{3}-z^{2}+z^{2}-3z^{2}+4z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =\frac{z^{2}\left( z-1 \right)-2z^{2}+4z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+\frac{-2z^{2}+4z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+\frac{-2z^{2}+2z-2z+4z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =z^{2}+\frac{-2z\left( z-1 \right)+2z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =z^{2}-2z+\frac{2z-2}{z-1} \\~~	+
-	~~& =z^{2}-2z+\frac{2\left( z-1 \right)}{z-1} \\~~	+
-	~~& =z^{2}-2z+2 \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	z^2+Az+B
		+	&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt]
		+	&= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt]
		+	&= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

	Thus, the equation can be written as		Thus, the equation can be written as

-		+	{{Displayed math\|\|<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>~~\left~~( z-1 ~~\right~~)~~\left~~( z^{2}-2z+2 ~~\right~~)=0</math>	+
-		+

	The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor		The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor
-	<math>z^{2}-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors	+	<math>z^2-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors <math>z-1</math> or <math>z^2-2z+2</math> is zero, and we see directly that <math>z-1</math> is zero only when <math>z=1\,</math>.
-	<math>z-~~\text{~~1}</math>	+
-	or	+
-	<math>z^{2}-2z+2</math>	+
-	is zero, and we see directly that	+
-	<math>z-~~\text{~~1}</math>	+
-	is zero only when	+
-	<math>z=~~\text{~~1}</math>.	+

	Hence, we determine the roots by solving the equation		Hence, we determine the roots by solving the equation

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>z^{2}-2z+2=0</math>	+
-		+

	Completing the square gives		Completing the square gives

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
		+	(z-1)^2 &= -1\,,
		+	\end{align}</math>}}

-	<math>~~\begin{align}~~	+	and taking the root gives that <math>z-1=\pm i</math>, i.e. <math>z=1-i</math> and
-	~~& \left(~~ z-~~\text{~~1~~} \right)^{2}-1^{2}+2~~=0 \\	+	<math>z=1+i\,</math>.
-	~~& \left(~~ z~~-\text{1} \right)^{2}~~=-1 \\	+
-	\~~end{align}~~</math>	+

		+	The equation's other roots are <math>z=1-i</math> and <math>z=1+i\,</math>.

-	and taking the root gives that
-	<math>z-\text{1}=\pm i</math>
-	i.e.
-	<math>z=1-i</math>
-	and
-	<math>z=1+i</math>.
-
-	The equation's other roots are
-	<math>z=1-i</math>
-	and
-	<math>z=1+i</math>.
-
-	As an extra check, we investigate whether
-	<math>z-\text{1}=\pm i</math>
-	really are roots of the equation.

		+	As an extra check, we investigate whether <math>z = 1 \pm i</math> really are roots of the equation.

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
-	& z=1+i:\quad z^{3}-3z^{2}+4z-2=\~~left~~( ~~\left~~( z-3 ~~\right~~)z+4 \~~right~~)z-2 \\	+	z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2
-	& =\~~left~~( ~~\left~~( 1+i-3 ~~\right~~)~~\left~~( 1+i ~~\right~~)+4 \~~right~~)~~\left~~( 1+i ~~\right~~)-2 \\	+	&= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt]
-	& =\~~left~~( ~~\left~~( -2+i ~~\right~~)~~\left~~( 1+i ~~\right~~)+4 \~~right~~)~~\left~~( 1+i ~~\right~~)-2 \\	+	&= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt]
-	& =~~\left~~( -2+i-2i-1+4 ~~\right~~)\~~left~~( 1+i \~~right~~)-2 \\	+	&= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt]
-	& =\~~left~~( 1-i \~~right~~)\~~left~~( 1+i \~~right~~)-2 \\	+	&= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt]
-	& =1^{2}-i^{2}-2=1+1-2=0 \\	+	&= (1-i)(1+i)-2\\[5pt]
		+	&= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt]
		+	&= 1+1-2\\[5pt]
		+	&= 0\,,\\[10pt]
		+	z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2
		+	&= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt]
		+	&= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt]
		+	&= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt]
		+	&= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt]
		+	&= (1+i)(1-i)-2\\[5pt]
		+	&= 1^2-i^2-2\\[5pt]
		+	&= 1+1-2\\[5pt]
		+	&= 0\,\textrm{.}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


		+	Note: Writing

-	~~<math>\begin~~{~~align}~~	+	{{Displayed math\|\|<math>z^3-3z^2+4z-2 = \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2</math>}}
-	~~& z=1-i:\quad z^~~{~~3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2 \\~~	+
-	~~& =\left( \left( 1-i-3 \right)\left( 1-i \right)+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\~~	+
-	~~& =\left( \left( -2-i \right)\left( 1-i \right)+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\~~	+
-	~~& =\left( -2-i+2i-1+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\~~	+
-	~~& =\left( 1+i \right)\left( 1-i \right)-2 \\~~	+
-	~~& =1^{2}-i^{2}-2=1+1-2=0 \\~~	+
-	~~\end{align}</~~math>	+
-		+
-		+
-	~~NOTE: Writing~~	+
-		+
-		+
-	<math>z^{3}-3z^{2}+4z-2=\~~left~~( ~~\left~~( z-3 ~~\right~~)z+4 \~~right~~)z-2</math>	+
-		+

	is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.		is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.

Ian um 09:25, 28. Okt. 2008

2008-10-28T09:25:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 09:25, 28. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If the equation has the root
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~3_4_2~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>z=\text{1}</math>, this means, according to the factor rule, that the equation mustcontain the
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	<math>z=\text{1}</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as
		+
		+
		+	<math>z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z-1 \right)</math>
		+
		+
		+	for some constants
		+	<math>A</math>
		+	and
		+	<math>B</math>. We can determine the other unknown factor using polynomial division:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z-1 \right) \\
		+	& z^{2}+Az+B=\frac{z^{3}-3z^{2}+4z-2}{z-1} \\
		+	& =\frac{z^{3}-z^{2}+z^{2}-3z^{2}+4z-2}{z-1} \\
		+	& =\frac{z^{2}\left( z-1 \right)-2z^{2}+4z-2}{z-1} \\
		+	& =z^{2}+\frac{-2z^{2}+4z-2}{z-1} \\
		+	& =z^{2}+\frac{-2z^{2}+2z-2z+4z-2}{z-1} \\
		+	& =z^{2}+\frac{-2z\left( z-1 \right)+2z-2}{z-1} \\
		+	& =z^{2}-2z+\frac{2z-2}{z-1} \\
		+	& =z^{2}-2z+\frac{2\left( z-1 \right)}{z-1} \\
		+	& =z^{2}-2z+2 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	Thus, the equation can be written as
		+
		+
		+	<math>\left( z-1 \right)\left( z^{2}-2z+2 \right)=0</math>
		+
		+
		+	The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor
		+	<math>z^{2}-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors
		+	<math>z-\text{1}</math>
		+	or
		+	<math>z^{2}-2z+2</math>
		+	is zero, and we see directly that
		+	<math>z-\text{1}</math>
		+	is zero only when
		+	<math>z=\text{1}</math>.
		+
		+	Hence, we determine the roots by solving the equation
		+
		+
		+	<math>z^{2}-2z+2=0</math>
		+
		+
		+	Completing the square gives
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \left( z-\text{1} \right)^{2}-1^{2}+2=0 \\
		+	& \left( z-\text{1} \right)^{2}=-1 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	and taking the root gives that
		+	<math>z-\text{1}=\pm i</math>
		+	i.e.
		+	<math>z=1-i</math>
		+	and
		+	<math>z=1+i</math>.
		+
		+	The equation's other roots are
		+	<math>z=1-i</math>
		+	and
		+	<math>z=1+i</math>.
		+
		+	As an extra check, we investigate whether
		+	<math>z-\text{1}=\pm i</math>
		+	really are roots of the equation.
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=1+i:\quad z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2 \\
		+	& =\left( \left( 1+i-3 \right)\left( 1+i \right)+4 \right)\left( 1+i \right)-2 \\
		+	& =\left( \left( -2+i \right)\left( 1+i \right)+4 \right)\left( 1+i \right)-2 \\
		+	& =\left( -2+i-2i-1+4 \right)\left( 1+i \right)-2 \\
		+	& =\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)-2 \\
		+	& =1^{2}-i^{2}-2=1+1-2=0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& z=1-i:\quad z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2 \\
		+	& =\left( \left( 1-i-3 \right)\left( 1-i \right)+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\
		+	& =\left( \left( -2-i \right)\left( 1-i \right)+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\
		+	& =\left( -2-i+2i-1+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\
		+	& =\left( 1+i \right)\left( 1-i \right)-2 \\
		+	& =1^{2}-i^{2}-2=1+1-2=0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	NOTE: Writing
		+
		+
		+	<math>z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2</math>
		+
		+
		+	is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.

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2008-09-16T15:12:21Z

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