Lösung 3.4:1c - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 11:32, 4. Sep. 2009

2009-09-04T11:32:22Z

Martin um 13:09, 21. Mai 2009

2009-05-21T13:09:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:09, 21. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we focus on the leading term~~ <math>x^3</math>~~, we need to complement it with~~ <math>ax^2</math> ~~in order to get a sub expression that is divisible by the denominator~~,	+	Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~With this form on the right-hand side~~, ~~we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with <math>-ax^2+a^3</math> in the numerator~~,	+	Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wo wir den einen kürzen können,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 12:		Zeile 12:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~When we treat the new quotient, we add and take away~~ <math>-a^2x</math> to/~~from~~ <math>-ax^2</math> ~~in order to get something divisible by~~ <math>x+a</math>,	+	Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas teilbar durch <math>x+a</math> erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 22:		Zeile 22:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~In the last quotient, the numerator has~~ <math>x+a</math> ~~as a factor~~, ~~and we obtain a perfect division~~,	+	Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler, und wir erhalten daher,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If we have calculated correctly, we should have~~	+	Also erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}

-	~~and one way to check the answer is to multiply both sides by~~ <math>x+a</math>,	+	Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Then~~, ~~expand the right-hand side and we should get what is on the left-hand side~~,	+	Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{~~RHS~~}	+	\text{Rechte Seite}
	&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]		&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
	&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]		&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
	&= x^3+a^3\\[5pt]		&= x^3+a^3\\[5pt]
-	&= \text{~~LHS~~.}	+	&= \text{Linke Seite.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Tekbot: Solution 3.4:1c moved to Lösung 3.4:1c: Robot: moved page

2009-03-11T10:50:55Z

Solution 3.4:1c moved to Lösung 3.4:1c: Robot: moved page

← Nächstältere Version

Version vom 10:50, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:14:54Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:14, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	If we focus on the leading term <math>x^3</math>, we need to complement it with <math>ax^2</math> in order to get a sub expression that is divisible by the denominator,		If we focus on the leading term <math>x^3</math>, we need to complement it with <math>ax^2</math> in order to get a sub expression that is divisible by the denominator,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}

	With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with <math>-ax^2+a^3</math> in the numerator,		With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with <math>-ax^2+a^3</math> in the numerator,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}		\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
	&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]		&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
Zeile 14:		Zeile 14:
	When we treat the new quotient, we add and take away <math>-a^2x</math> to/from <math>-ax^2</math> in order to get something divisible by <math>x+a</math>,		When we treat the new quotient, we add and take away <math>-a^2x</math> to/from <math>-ax^2</math> in order to get something divisible by <math>x+a</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}		x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
	&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]		&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
Zeile 24:		Zeile 24:
	In the last quotient, the numerator has <math>x+a</math> as a factor, and we obtain a perfect division,		In the last quotient, the numerator has <math>x+a</math> as a factor, and we obtain a perfect division,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}

	If we have calculated correctly, we should have		If we have calculated correctly, we should have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}

	and one way to check the answer is to multiply both sides by <math>x+a</math>,		and one way to check the answer is to multiply both sides by <math>x+a</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}

	Then, expand the right-hand side and we should get what is on the left-hand side,		Then, expand the right-hand side and we should get what is on the left-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{RHS}		\text{RHS}
	&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]		&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]

Tek um 12:11, 31. Okt. 2008

2008-10-31T12:11:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:11, 31. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we focus on the leading term	+	If we focus on the leading term <math>x^3</math>, we need to complement it with <math>ax^2</math> in order to get a sub expression that is divisible by the denominator,
-	<math>x^{3}</math>, we need to complement it with in order to get an expression that is divisible by the denominator ,	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}

-	<math>~~\frac{x^{3}+a^{3}}{x+a}=\frac{x^{3}+ax^{2}~~-ax^{2}+a^{3~~}}{x+a}~~</math>	+	With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with <math>-ax^2+a^3</math> in the numerator,

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	\frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}
		+	&= \frac{x^3+ax^2}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
		+	&= \frac{x^2(x+a)}{x+a} + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\\[5pt]
		+	&= x^2 + \frac{-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	~~With this form on~~ the ~~right-hand side~~, we ~~can separate away the first two terms in the numerator~~ and ~~have left~~ a ~~polynomial quotient with~~	+	When we treat the new quotient, we add and take away <math>-a^2x</math> to/from <math>-ax^2</math> in order to get something divisible by <math>x+a</math>,
-	<math>-ax^{2}+a~~^{3}~~</math>	+
-	~~in the numerator:~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	x^2+\frac{-ax^2+a^3}{x+a}
		+	&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x+a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
		+	&= x^2 + \frac{-ax^2-a^2x}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
		+	&= x^2 + \frac{-ax(x+a)}{x+a} + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\\[5pt]
		+	&= x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a}\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	~~<math>\begin{align}~~	+	In the last quotient, the numerator has <math>x+a</math> as a factor, and we obtain a perfect division,
-	~~& \frac{x^{3}+ax^{2}-ax^{2}+a^{3}}{x+a}=\frac{x^{3}+ax^{2}}{x+a}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~& =\frac{x^{2}\left( x+a \right)}{x+a}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~& =x^{2}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~When we treat the new quotient, we add and take away~~	+
-	~~<math>-a^{2}x</math>~~	+
-	~~to/from~~	+
-	~~<math>-ax^{2}</math>~~	+
-	~~in order to get something divisible by~~	+
-	~~<math>x+a</math>~~	+
-		+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& x^{2}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a}=x^{2}+\frac{-ax^{2}-a^{2}x+a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~& =x^{2}+\frac{-ax^{2}-a^{2}x}{x+a}+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~& =x^{2}+\frac{-ax\left( x+a \right)}{x+a}+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~& =x^{2}-ax+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-	In the last quotient, the numerator has	+
-	<math>x+a</math>	+
-	as a factor, and we obtain a perfect division:	+
-		+
-		+
-	~~<math>x^{2}-ax+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a}=x^{2}-ax+\frac{a^{2}\left( x+a \right)}{x+a}=x^{2}-ax+a^{2}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}

	If we have calculated correctly, we should have		If we have calculated correctly, we should have

		+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}

-	~~<math>\frac{x^{3}+a^{3}}{x+a}=x^{2}-ax+a^{2}</math>~~	+	and one way to check the answer is to multiply both sides by <math>x+a</math>,
-		+
-		+
-	and one way to check the answer is to multiply both sides by	+
-	<math>x+a</math>,	+
-		+
-		+
-	~~<math>x^{3}+a^{3}=\left( x^{2}-ax+a^{2} \right)\left( x+a \right)</math>~~	+
-		+

-	~~Then~~, ~~expand the right-hand side and then we should get what is on the left-hand side:~~	+	{{Displayed math\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}

		+	Then, expand the right-hand side and we should get what is on the left-hand side,

-	<math>\begin{align}	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	& \text{RHS}=~~\left~~( x^{2}-ax+a^{2~~} \right~~)~~\left~~( x+a \~~right)~~=x^{3}+ax^{2}-ax^{2}-a^~~{2}x~~+a^~~{2}x~~+a^{3} \\	+	\text{RHS}
-	& =x^{3}+a^{3}=~~\text{LHS} \\	+	&= (x^2-ax+a^2)(x+a)\\[5pt]
-	\end{align}</math>	+	&= x^3+ax^2-ax^2-a^2x+a^2x+a^3\\[5pt]
		+	&= x^3+a^3\\[5pt]
		+	&= \text{LHS.}
		+	\end{align}</math>}}

Ian um 13:04, 26. Okt. 2008

2008-10-26T13:04:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:04, 26. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If we focus on the leading term
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~3_4_1c.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>x^{3}</math>, we need to complement it with in order to get an expression that is divisible by the denominator ,
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
		+
		+	<math>\frac{x^{3}+a^{3}}{x+a}=\frac{x^{3}+ax^{2}-ax^{2}+a^{3}}{x+a}</math>
		+
		+
		+	With this form on the right-hand side, we can separate away the first two terms in the numerator and have left a polynomial quotient with
		+	<math>-ax^{2}+a^{3}</math>
		+	in the numerator:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \frac{x^{3}+ax^{2}-ax^{2}+a^{3}}{x+a}=\frac{x^{3}+ax^{2}}{x+a}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\
		+	& =\frac{x^{2}\left( x+a \right)}{x+a}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\
		+	& =x^{2}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	When we treat the new quotient, we add and take away
		+	<math>-a^{2}x</math>
		+	to/from
		+	<math>-ax^{2}</math>
		+	in order to get something divisible by
		+	<math>x+a</math>
		+
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& x^{2}+\frac{-ax^{2}+a^{3}}{x+a}=x^{2}+\frac{-ax^{2}-a^{2}x+a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
		+	& =x^{2}+\frac{-ax^{2}-a^{2}x}{x+a}+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
		+	& =x^{2}+\frac{-ax\left( x+a \right)}{x+a}+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
		+	& =x^{2}-ax+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	In the last quotient, the numerator has
		+	<math>x+a</math>
		+	as a factor, and we obtain a perfect division:
		+
		+
		+	<math>x^{2}-ax+\frac{a^{2}x+a^{3}}{x+a}=x^{2}-ax+\frac{a^{2}\left( x+a \right)}{x+a}=x^{2}-ax+a^{2}</math>
		+
		+
		+	If we have calculated correctly, we should have
		+
		+
		+	<math>\frac{x^{3}+a^{3}}{x+a}=x^{2}-ax+a^{2}</math>
		+
		+
		+	and one way to check the answer is to multiply both sides by
		+	<math>x+a</math>,
		+
		+
		+	<math>x^{3}+a^{3}=\left( x^{2}-ax+a^{2} \right)\left( x+a \right)</math>
		+
		+
		+	Then, expand the right-hand side and then we should get what is on the left-hand side:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \text{RHS}=\left( x^{2}-ax+a^{2} \right)\left( x+a \right)=x^{3}+ax^{2}-ax^{2}-a^{2}x+a^{2}x+a^{3} \\
		+	& =x^{3}+a^{3}=~~\text{LHS} \\
		+	\end{align}</math>

Tekbot: Lösning 3.4:1c moved to Solution 3.4:1c: Robot: moved page

2008-09-16T15:11:21Z

Lösning 3.4:1c moved to Solution 3.4:1c: Robot: moved page

← Nächstältere Version

Version vom 15:11, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T08:15:24Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 08:15, 21. Aug. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_4_1c.gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_4_1c.gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_4_1c.gif {{NAVCONTENT_STOP}}

2008-04-07T15:05:21Z

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_4_1c.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

Neue Seite

{{NAVCONTENT_START}}
<center> [[Bild:3_4_1c.gif]] </center>
{{NAVCONTENT_STOP}}

← Nächstältere Version		Version vom 11:32, 4. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>,	+	Wir addieren einen Term, sodass wir <math>x^3</math> los werden. Wir addieren und subtrahieren daher <math>ax^2</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = \frac{x^3+ax^2-ax^2+a^3}{x+a}\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wo wir ~~den~~ einen kürzen können,	+	Wir können jetzt den Bruch in zwei Brüche aufteilen, wonach wir einen Bruch dann kürzen können

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 12:		Zeile 12:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas ~~teilbar~~ durch <math>x+a</math> erhalten,	+	Jetzt addieren und subtrahieren wir <math>-a^2x</math> zu/von <math>-ax^2</math> damit wir etwas durch <math>x+a</math> Teilbares erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 22:		Zeile 22:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler~~, und wir~~ erhalten daher,	+	Im letzten Bruch haben wir <math>x+a</math> als Faktor im Zähler. Wir erhalten daher

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - ax + \frac{a^2x+a^3}{x+a} = x^2 - ax + \frac{a^2(x+a)}{x+a} = x^2-ax+a^2\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 30:		Zeile 30:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3+a^3}{x+a} = x^2-ax+a^2</math>}}

-	Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren,	+	Um zu testen ob wir richtig gerechnet haben, können wir beide Seiten mit <math>x+a</math> multiplizieren

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3+a^3 = (x^2-ax+a^2)(x+a)\,\textrm{.}</math>}}

-	Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten,	+	Erweitern wir die rechte Seite, sollten wir die linke Seite erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}