Lösung 3.4:1b - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 11:26, 4. Sep. 2009

2009-09-04T11:26:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:26, 4. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Der Trick ist, dass man den Zähler so verändert, dass der Term mit dem höchsten Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner teilbar ist. ~~Dies~~ gelingt ~~einen~~, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.	+	Der Trick ist, dass man den Zähler so verändert, dass der Term mit dem höchsten Grad zusammen mit anderen Termen durch den Nenner teilbar ist. Das gelingt, indem man Terme addiert und subtrahiert bis die Division möglich ist.

	In unserem Fall schreiben wir		In unserem Fall schreiben wir
Zeile 5:		Zeile 5:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir haben hier <math>x</math> addiert und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden,	+	Wir haben hier <math>x</math> addiert und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 16:		Zeile 16:
	Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.		Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.

-	~~Mir den~~ zweiten Term, <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> vom Zähler, sodass wir <math>x+1</math> erhalten,	+	Mit dem zweiten Term <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> zum/vom Zähler, sodass wir <math>x+1</math> erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Moni um 18:59, 23. Aug. 2009

2009-08-23T18:59:06Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Der Trick ist dass man den Zähler ~~manipuliert~~, ~~sodass~~ der Term mit ~~den Höchsten~~ Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner ~~Teilbar werden~~. Dies gelingt einen, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.	+	Der Trick ist, dass man den Zähler so verändert, dass der Term mit dem höchsten Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner teilbar ist. Dies gelingt einen, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.

	In unserem Fall schreiben wir		In unserem Fall schreiben wir
Zeile 5:		Zeile 5:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir haben hier <math>x</math> ~~addier,~~ und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden,	+	Wir haben hier <math>x</math> addiert und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 16:		Zeile 16:
	Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.		Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.

-	Mir den zweiten Term, <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> vom ~~Zählern~~ sodass wir <math>x+1</math> erhalten,	+	Mir den zweiten Term, <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> vom Zähler, sodass wir <math>x+1</math> erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 23:		Zeile 23:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner, und damit sind wir mit der Division fertig.	+	Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner und damit sind wir mit der Division fertig.

Martin um 13:00, 21. Mai 2009

2009-05-21T13:00:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:00, 21. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The trick is to complement the numerator with terms that are missing so that the division of the leading term (the term of highest degree) becomes possible~~, ~~and then successively work down in degree until the numerator has lower degree than the denominator~~.	+	Der Trick ist dass man den Zähler manipuliert, sodass der Term mit den Höchsten Grad zusammen mit anderen Termen, durch den Nenner Teilbar werden. Dies gelingt einen, indem man Terme addiert und subtrahiert, bis die Division möglich ist.

-	In ~~our example, we write first~~	+	In unserem Fall schreiben wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Note that we have added~~ <math>x</math> ~~and then taken away the same <math>x</math> in the numerator~~. ~~The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in~~ <math>x^2</math>,	+	Wir haben hier <math>x</math> addier, und dann subtrahiert. Jetzt können wir den <math>x^2</math>-Term los werden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 14:		Zeile 14:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Thus, we added~~ <math>x</math> ~~which is precisely what is necessary in order that the numerator~~ <math>x^2</math> ~~should contain a sub expression which has~~ <math>x+1</math> ~~as a factor~~.	+	Wir haben also <math>x</math> addiert, sodass der Term <math>x^2+x</math> durch <math>x+1</math> teilbar wird.

-	~~We can treat the second term~~ <math>x/(x+1)</math> ~~in a similar way~~. ~~Add and take away~~ <math>1</math> ~~in order to get~~ <math>x+1</math>~~, which can then be divided away~~,	+	Mir den zweiten Term, <math>x/(x+1)</math> machen wir es ähnlich. Wir addieren und subtrahieren <math>1</math> vom Zählern sodass wir <math>x+1</math> erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 23:		Zeile 23:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~In the remaining polynomial fraction~~, ~~the numerator is of lower degree than the denominator and we cannot go any further with the division~~.	+	Der Rest hat jetzt einen niedrigeren Grad als der Nenner, und damit sind wir mit der Division fertig.

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2009-03-11T10:50:35Z

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Version vom 10:50, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:14:44Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:14, 10. Mär. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	In our example, we write first		In our example, we write first

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}

	Note that we have added <math>x</math> and then taken away the same <math>x</math> in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in <math>x^2</math>,		Note that we have added <math>x</math> and then taken away the same <math>x</math> in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in <math>x^2</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\frac{x^2+x-x}{x+1}		\frac{x^2+x-x}{x+1}
	&= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1}		&= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1}
Zeile 18:		Zeile 18:
	We can treat the second term <math>x/(x+1)</math> in a similar way. Add and take away <math>1</math> in order to get <math>x+1</math>, which can then be divided away,		We can treat the second term <math>x/(x+1)</math> in a similar way. Add and take away <math>1</math> in order to get <math>x+1</math>, which can then be divided away,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}		x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}
	= x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.}		= x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.}

Tek um 11:51, 31. Okt. 2008

2008-10-31T11:51:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:51, 31. Okt. 2008
Zeile 3:		Zeile 3:
	In our example, we write first		In our example, we write first

		+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-x}{x+1}\,\textrm{.}</math>}}

-	<math>~~\frac{~~x~~^{2}}{~~x~~+1}=\frac{~~x^{2~~}+x-x}{x+1}~~</math>	+	Note that we have added <math>x</math> and then taken away the same <math>x</math> in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in <math>x^2</math>,

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	\frac{x^2+x-x}{x+1}
		+	&= \frac{x^2+x}{x+1}-\frac{x}{x+1}
		+	= \frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{x}{x+1}
		+	= x-\frac{x}{x+1}\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	~~Note that~~ we ~~have~~ added	+	Thus, we added <math>x</math> which is precisely what is necessary in order that the numerator <math>x^2</math> should contain a sub expression which has <math>x+1</math> as a factor.
-	<math>x</math>	+
-	~~and then taken away~~ the ~~same~~	+
-	<math>x</math>	+
-	~~in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in~~	+
-	<math>x~~^{2}~~</math>:	+

		+	We can treat the second term <math>x/(x+1)</math> in a similar way. Add and take away <math>1</math> in order to get <math>x+1</math>, which can then be divided away,

-	<math>\begin{align}	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	& \frac{~~x^{2}+x-~~x}{x+1}=\frac~~{x^{2}+x}~~{x+1}-~~\frac{x~~}{x+1}=\frac{~~x\left(~~ x+1 ~~\right)~~}{x+1}-\frac{x}{x+1} \\	+	x-\frac{x}{x+1} = x-\frac{x+1-1}{x+1} = x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}
-	& =x-\frac{x}{x+1} \\	+	= x-1+\frac{1}{x+1}\,\textrm{.}
-	\end{align}</math>	+	\end{align}</math>}}

-		+	In the remaining polynomial fraction, the numerator is of lower degree than the denominator and we cannot go any further with the division.
-	~~Thus, we added <math>x</math>~~	+
-	~~which is precisely what is necessary in order that the numerator~~	+
-	~~<math>x^{2}+x</math>~~	+
-	~~should contain a sub expression which has~~	+
-	~~<math>x+1</math>~~	+
-	~~as a factor.~~	+
-		+
-	~~We can treat the second term~~	+
-	~~<math>{x}/{\left( x+1 \right)}\;</math> in a similar way. Add and take away~~	+
-	~~<math>\text{1}</math>~~	+
-	~~in order to get~~	+
-	~~<math>x+\text{1}</math>, which can then be divided away:~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& x-\frac{x}{x+1}=x-\frac{x+1-1}{x+1}=x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} \\~~	+
-	~~& =x-1+\frac{1}{x+1} \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-	In the remaining polynomial fraction, the numerator is of ~~higher~~ degree than the denominator and we cannot go any further with the division.	+

Ian um 09:32, 28. Okt. 2008

2008-10-28T09:32:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 09:32, 28. Okt. 2008
Zeile 22:		Zeile 22:

	Thus, we added <math>x</math>		Thus, we added <math>x</math>
-	which is precisely what is necessary in order that	+	which is precisely what is necessary in order that the numerator
	<math>x^{2}+x</math>		<math>x^{2}+x</math>
-	should ~~have~~	+	should contain a sub expression which has
	<math>x+1</math>		<math>x+1</math>
	as a factor.		as a factor.

Ian um 12:44, 26. Okt. 2008

2008-10-26T12:44:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:44, 26. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	The trick is to complement the numerator with terms that are missing so that the division of the leading term (the term of highest degree) becomes possible, and then successively work down in degree until the numerator has lower degree than the denominator.
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~3_4_1b~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	In our example, we write first
		+
		+
		+	<math>\frac{x^{2}}{x+1}=\frac{x^{2}+x-x}{x+1}</math>
		+
		+
		+	Note that we have added
		+	<math>x</math>
		+	and then taken away the same
		+	<math>x</math>
		+	in the numerator. The reason why we do it in this way is that we can now eliminate terms in
		+	<math>x^{2}</math>:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \frac{x^{2}+x-x}{x+1}=\frac{x^{2}+x}{x+1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x\left( x+1 \right)}{x+1}-\frac{x}{x+1} \\
		+	& =x-\frac{x}{x+1} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	Thus, we added <math>x</math>
		+	which is precisely what is necessary in order that
		+	<math>x^{2}+x</math>
		+	should have
		+	<math>x+1</math>
		+	as a factor.
		+
		+	We can treat the second term
		+	<math>{x}/{\left( x+1 \right)}\;</math> in a similar way. Add and take away
		+	<math>\text{1}</math>
		+	in order to get
		+	<math>x+\text{1}</math>, which can then be divided away:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& x-\frac{x}{x+1}=x-\frac{x+1-1}{x+1}=x-\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1} \\
		+	& =x-1+\frac{1}{x+1} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	In the remaining polynomial fraction, the numerator is of higher degree than the denominator and we cannot go any further with the division.

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2008-09-16T15:11:01Z

Lösning 3.4:1b moved to Solution 3.4:1b: Robot: moved page

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Version vom 15:11, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T08:15:14Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_4_1b.gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_4_1b.gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}