Lösung 3.3:6 - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 12:52, 3. Sep. 2009

2009-09-03T12:52:38Z

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	'''Polarform'''		'''Polarform'''

-	Wir ~~lösen~~ die Gleichung zuerst in Polarform,	+	Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-	1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,,	+	1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Zeile 12:		Zeile 12:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math> unterscheiden,	+	Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad	+	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Dies~~ ergibt	+	Das ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad	+	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Dies~~ entspricht zwei Lösungen, ~~nachdem~~ alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math>.	+	Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math> und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math>.

	In Polarform lauten die Lösungen also		In Polarform lauten die Lösungen also
Zeile 36:		Zeile 36:


-	Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.	+	Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math>, liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math>, liegt im dritten Quadrant.

	[[Image:3_3_6.gif\|center]]		[[Image:3_3_6.gif\|center]]


-	''' ~~Auf~~ der Form ''a'' + ''bi'' '''	+	''' In der Form ''a'' + ''bi'' '''

	Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.		Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.

-	Mit <math>z=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung	+	Mit <math>z=x+iy</math> erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 52:		Zeile 52:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Nachdem~~ der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir	+	Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 59:		Zeile 59:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten,	+	Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~und wir~~ erhalten insgesamt ~~dre Gleihungen,~~	+	Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 97:		Zeile 97:
	\|}		\|}

-	und wir erhalten,	+	und wir erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}

-	Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten erhalten wir,	+	Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 127:		Zeile 127:
	\|}		\|}

-	und ~~wir erhalten,~~	+	und das ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}

-	Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen	+	Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 153:		Zeile 153:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll~~, und wir~~ behalten daher nur die Gleichungen	+	Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 165:		Zeile 165:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen ~~dies~~ unsere Lösungen sein:	+	Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}
Zeile 176:		Zeile 176:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}

-	und ~~daher ist~~	+	und daraus folgt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 183:		Zeile 183:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und wir~~ erhalten auch	+	Wir erhalten auch

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit ~~den konjugieren~~ Nenner erweitern,	+	Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Moni um 10:14, 23. Aug. 2009

2009-08-23T10:14:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:14, 23. Aug. 2009
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-	'''~~Polar form~~'''	+	'''Polarform'''

	Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,		Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,
Zeile 12:		Zeile 12:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	Damit die beiden Seiten gleich ~~sein sollen.~~ müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur ~~mit einen~~ Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,	+	Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 26:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen ~~das~~ Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ~~einen~~ Multipel von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen ~~das~~ Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ~~einen~~ Multipel von <math>2\pi</math>.	+	Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein Multipel von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein Multipel von <math>2\pi</math>.

	In Polarform lauten die Lösungen also		In Polarform lauten die Lösungen also
Zeile 36:		Zeile 36:


-	Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant, und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.	+	Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.

	[[Image:3_3_6.gif\|center]]		[[Image:3_3_6.gif\|center]]
Zeile 97:		Zeile 97:
	\|}		\|}

-	und wir erhalten;	+	und wir erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 127:		Zeile 127:
	\|}		\|}

-	und wir erhalten;	+	und wir erhalten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 153:		Zeile 153:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	Die zweite Gleichung sagt dass <math>xy</math> positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen	+	Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 165:		Zeile 165:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Nachdem wir wissen dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:	+	Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}
Zeile 185:		Zeile 185:
	und wir erhalten auch		und wir erhalten auch

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}

	Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,		Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,
Zeile 191:		Zeile 191:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\tan\frac{\pi}{8}		\tan\frac{\pi}{8}
-	&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}	+	&= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
-	= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]	+	= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
	&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}		&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
	= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}		= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
	= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}		= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Martin um 18:01, 18. Mai 2009

2009-05-18T18:01:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 18:01, 18. Mai 2009
Zeile 159:		Zeile 159:
	y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}		y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
	\end{align}\right.		\end{align}\right.
-	\qquad\text{~~and~~}\qquad	+	\qquad\text{und}\qquad
	\left\{\begin{align}		\left\{\begin{align}
	x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]		x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]

Martin um 18:00, 18. Mai 2009

2009-05-18T18:00:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 18:00, 18. Mai 2009
Zeile 16:		Zeile 16:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad~~\text{(n is an arbitrary integer).}~~	+	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad~~\text{(n is an arbitrary integer),}~~	+	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Martin um 18:00, 18. Mai 2009

2009-05-18T18:00:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 18:00, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	We take up the exercise's challenge and solve the equation both in polar form and in the form <math>a+ib</math>.
-
-
	'''Polar form'''		'''Polar form'''

-	~~In polar form~~,	+	Wir lösen die Gleichung zuerst in Polarform,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 11:		Zeile 8:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and, using de Moivre's formula, the equation becomes~~	+	und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If both sides are to be equal, their magnitudes must be equal and their arguments must be equal, other than for multiples of~~ <math>2\pi</math>,	+	Damit die beiden Seiten gleich sein sollen. müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 22:		Zeile 19:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~This gives~~	+	Dies ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 29:		Zeile 26:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~which corresponds two solutions~~, ~~because all even values of <math>n</math> give the argument~~ <math>\pi/8</math>, ~~to within multiples of~~ <math>2\pi</math>, ~~and all odd values of <math>n</math> give the argument~~ <math>9\pi/8</math>, ~~to within a multiple of~~ <math>2\pi</math>.	+	Dies entspricht zwei Lösungen, nachdem alle geraden Zahlen das Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus einen Multipel von <math>2\pi</math>, und alle ungerade Zahlen das Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus einen Multipel von <math>2\pi</math>.

-	~~Thus, in polar form, we have the solutions,~~	+	In Polarform lauten die Lösungen also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}
Zeile 38:		Zeile 35:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~One solution~~ <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> ~~lies in the first quadrant and the second solution~~ <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> ~~lies in the third quadrant~~.	+
		+	Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math> liegt im ersten Quadrant, und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math> liegt im dritten Quadrant.

	[[Image:3_3_6.gif\|center]]		[[Image:3_3_6.gif\|center]]


-	'''~~Rectangular form~~'''	+	''' Auf der Form ''a'' + ''bi'' '''

-	~~The alternative way to solve the equation is to put~~ <math>z=x+iy</math> ~~and to try to solve the equation for~~ <math>x</math> ~~and~~ <math>y</math>.	+	Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.

-	If <math>z=x+iy</math>, ~~the equation becomes~~	+	Mit <math>z=x+iy</math>, erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 54:		Zeile 52:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Because both sides' real and imaginary parts must equal each other we have that~~	+	Nachdem der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 61:		Zeile 59:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~All the information we need for determining~~ <math>x</math> ~~and~~ <math>y</math> ~~is in these two equations~~, ~~but it will make things easier if we include an extra relation: the magnitude of both sides should be equal~~,	+	Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Therefore, we have in total three equations~~,	+	und wir erhalten insgesamt dre Gleihungen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 73:		Zeile 71:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~If we add the first and the third equations,~~	+	Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 99:		Zeile 97:
	\|}		\|}

-	~~we get that <math>x</math> must be equal to~~	+	und wir erhalten;

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If we subtract the first equation from the third equation~~,	+	Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten erhalten wir,
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 129:		Zeile 127:
	\|}		\|}

-	~~we obtain that <math>y</math> must be equal to~~	+	und wir erhalten;

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~All in all, this gives us four possible solutions~~	+	Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 155:		Zeile 153:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	~~although we have only taken account of the first and third equations.~~	+	Die zweite Gleichung sagt dass <math>xy</math> positiv sein soll, und wir behalten daher nur die Gleichungen
-		+
-	~~The second equation says that the product~~ <math>xy</math> ~~should be positive and then we can directly get rid of solutions in which <math>x</math> and <math>y</math>~~	+
-	~~have different signs. Thus~~, ~~all that is left is~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 170:		Zeile 165:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~Now~~, ~~we know already that the equation has two solutions, so we can draw the conclusion that these are~~	+	Nachdem wir wissen dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen dies unsere Lösungen sein:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}
Zeile 177:		Zeile 172:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~If we compare the solution~~ in ~~the first quadrant when it is expressed in polar and rectangular forms~~, ~~we have~~	+	Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}

-	~~and therefore we must have that~~	+	und daher ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 188:		Zeile 183:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Thus, we have~~	+	und wir erhalten auch

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We can simplify the expression under the square root sign by multiplying top and bottom by the conjugate of the denominator~~,	+	Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit den konjugieren Nenner erweitern,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

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2009-03-11T10:49:55Z

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Version vom 10:49, 11. Mär. 2009

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2009-03-10T13:14:24Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

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Zeile 6:		Zeile 6:
	In polar form,		In polar form,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
	1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,,		1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,,
Zeile 13:		Zeile 13:
	and, using de Moivre's formula, the equation becomes		and, using de Moivre's formula, the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

	If both sides are to be equal, their magnitudes must be equal and their arguments must be equal, other than for multiples of <math>2\pi</math>,		If both sides are to be equal, their magnitudes must be equal and their arguments must be equal, other than for multiples of <math>2\pi</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
	2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}		2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
Zeile 24:		Zeile 24:
	This gives		This gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
	\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}		\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
Zeile 33:		Zeile 33:
	Thus, in polar form, we have the solutions,		Thus, in polar form, we have the solutions,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z = \left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}
	&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt]		&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt]
	&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.}		&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.}
Zeile 49:		Zeile 49:
	If <math>z=x+iy</math>, the equation becomes		If <math>z=x+iy</math>, the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt]		(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt]
	x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.}		x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.}
Zeile 56:		Zeile 56:
	Because both sides' real and imaginary parts must equal each other we have that		Because both sides' real and imaginary parts must equal each other we have that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt]		x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt]
	2xy &= 1\,\textrm{.}		2xy &= 1\,\textrm{.}
Zeile 63:		Zeile 63:
	All the information we need for determining <math>x</math> and <math>y</math> is in these two equations, but it will make things easier if we include an extra relation: the magnitude of both sides should be equal,		All the information we need for determining <math>x</math> and <math>y</math> is in these two equations, but it will make things easier if we include an extra relation: the magnitude of both sides should be equal,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}

	Therefore, we have in total three equations,		Therefore, we have in total three equations,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt]		x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt]
	2xy &= 1\,,\\[5pt]		2xy &= 1\,,\\[5pt]
Zeile 101:		Zeile 101:
	we get that <math>x</math> must be equal to		we get that <math>x</math> must be equal to

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}

	If we subtract the first equation from the third equation,		If we subtract the first equation from the third equation,
Zeile 131:		Zeile 131:
	we obtain that <math>y</math> must be equal to		we obtain that <math>y</math> must be equal to

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}

	All in all, this gives us four possible solutions		All in all, this gives us four possible solutions

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]		x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
	y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}		y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
Zeile 160:		Zeile 160:
	have different signs. Thus, all that is left is		have different signs. Thus, all that is left is

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]		x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
	y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}		y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
Zeile 172:		Zeile 172:
	Now, we know already that the equation has two solutions, so we can draw the conclusion that these are		Now, we know already that the equation has two solutions, so we can draw the conclusion that these are

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z = \left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \left\{\begin{align}
	\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt]		\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt]
	-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}		-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}
Zeile 179:		Zeile 179:
	If we compare the solution in the first quadrant when it is expressed in polar and rectangular forms, we have		If we compare the solution in the first quadrant when it is expressed in polar and rectangular forms, we have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}

	and therefore we must have that		and therefore we must have that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt]		\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt]
	\sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}		\sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}
Zeile 190:		Zeile 190:
	Thus, we have		Thus, we have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}

	We can simplify the expression under the square root sign by multiplying top and bottom by the conjugate of the denominator,		We can simplify the expression under the square root sign by multiplying top and bottom by the conjugate of the denominator,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\tan\frac{\pi}{8}		\tan\frac{\pi}{8}
	&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}		&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}

Tek um 08:53, 3. Nov. 2008

2008-11-03T08:53:56Z

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Ian um 12:02, 2. Nov. 2008

2008-11-02T12:02:40Z

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