Lösung 3.3:2e - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 12:31, 3. Sep. 2009

2009-09-03T12:31:41Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir ~~die Gleichung~~	+	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{,}</math>}}

-	~~dessen~~ Wurzeln wir ~~seit vorher~~ schon kennen,	+	deren Wurzeln wir schon kennen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
Zeile 12:		Zeile 12:
	also muss <math>z</math> die Gleichung		also muss <math>z</math> die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i</math>}}

-	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle ~~je für sich~~.	+	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.


Zeile 21:		Zeile 21:
	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,		:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=-i(z-i)~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=-i(z-i)</math>}}

-	:und ziehen ~~Alle~~ <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}

-	:~~Dies~~ ergibt	+	:Das ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 36:		Zeile 36:
	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,		:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=i(z-i)~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=i(z-i)</math>}}

-	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}

Moni um 21:24, 22. Aug. 2009

2009-08-22T21:24:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:24, 22. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}

-	~~wessen~~ Wurzeln wir seit vorher schon kennen,	+	dessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
Zeile 12:		Zeile 12:
	also muss <math>z</math> die Gleichung		also muss <math>z</math> die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}

	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.		erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.

Martin um 15:36, 18. Mai 2009

2009-05-18T15:36:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:36, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we treat the expression~~ <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> ~~as an unknown~~, ~~we have the equation~~	+	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We know already that this equation has roots~~	+	wessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
Zeile 10:		Zeile 10:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	so <math>z</math> ~~should satisfy one of the equation's~~	+	also muss <math>z</math> die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We solve these equations one by one~~.	+	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.


	*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:		*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:

-	:~~Multiply both sides by~~ <math>z-i</math>,	+	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}

-	:~~Move all the~~ <math>z</math>-~~terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side~~,	+	:und ziehen Alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}

-	:~~This gives~~	+	:Dies ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 34:		Zeile 34:
	*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:		*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:

-	:~~Multiply both sides by~~ <math>z-i</math>,	+	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}

-	:~~Move all the~~ <math>z</math>-~~terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side~~,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}

-	:~~This gives~~	+	:Dies ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}


-	~~The solutions are therefore~~ <math>z=-1</math> ~~and~~ <math>z=1\,</math>.	+	Die Wurzeln sind daher <math>z=-1</math> und <math>z=1\,</math>.

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2009-03-11T10:45:35Z

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Version vom 10:45, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:12:14Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:12, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	If we treat the expression <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> as an unknown, we have the equation		If we treat the expression <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> as an unknown, we have the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}

	We know already that this equation has roots		We know already that this equation has roots

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>w=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
	-i\,,&\\[5pt]		-i\,,&\\[5pt]
	i\,,&		i\,,&
Zeile 12:		Zeile 12:
	so <math>z</math> should satisfy one of the equation's		so <math>z</math> should satisfy one of the equation's

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}

	We solve these equations one by one.		We solve these equations one by one.
Zeile 21:		Zeile 21:
	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,		:Multiply both sides by <math>z-i</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}

	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,		:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}

	:This gives		:This gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}


Zeile 36:		Zeile 36:
	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,		:Multiply both sides by <math>z-i</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}

	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,		:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}

	:This gives		:This gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}


	The solutions are therefore <math>z=-1</math> and <math>z=1\,</math>.		The solutions are therefore <math>z=-1</math> and <math>z=1\,</math>.

Tek um 13:21, 30. Okt. 2008

2008-10-30T13:21:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:21, 30. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we treat the expression	+	If we treat the expression <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> as an unknown, we have the equation
-	<math>w=\frac{z+i}{z-i}</math>	+
-	as an unknown, we have the equation	+
-		+
-		+
-	~~<math>w^{2}=-1</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}

	We know already that this equation has roots		We know already that this equation has roots

		+	{{Displayed math\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
		+	-i\,,&\\[5pt]
		+	i\,,&
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	~~<math>w=\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	so <math>z</math> should satisfy one of the equation's
-	~~-i \\~~	+
-	~~i \\~~	+
-	~~\end{array} \right.</math>~~	+
-		+
-		+
-	so	+
-	<math>z~~\text{ }~~</math>	+
-	should satisfy one of the equation's	+
-		+
-		+
-	~~<math>\frac{z+i}{z-i}=-i</math>~~	+
-	or	+
-	~~<math>\frac{z+i}{z-i}=i</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}

	We solve these equations one by one.		We solve these equations one by one.


-	<math>~~\underline{\underline{\frac{~~z+i~~}{z-i}=-i}}<~~/~~math>~~	+	*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:
-		+
-		+
-	~~Multiply both sides by~~	+
-	~~<math>z-i</math>:~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>z+i=-i\left~~( z-i ~~\right~~)~~</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~Move all the~~	+
-	~~<math>z</math>~~	+
-	~~-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>z+iz~~=-1-i</math>	+
-		+
-		+
-	~~This gives~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>z=\frac{-1-i}{1+i}=\frac{-\left( 1+i \right)}{1+i}=-1</math>~~	+
-		+

		+	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>~~\underline{\underline{\frac{~~z+i}{z-i~~}=i}~~}</math>	+

		+	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,

-	~~Multiply both sides by~~	+	{{Displayed math\|\|<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>z-i</math>:	+

		+	:This gives

-	<math>z+i=i\~~left( z~~-i ~~\right~~)</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}


-	~~Move all the~~ z-~~terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,~~	+	*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:

		+	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,

-	<math>z~~-iz~~=1-i</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}

		+	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,

-	~~This gives~~	+	{{Displayed math\|\|<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}

		+	:This gives

-	<math>z=\frac{1-i}{1-i}=1</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}


-	The solutions are therefore	+	The solutions are therefore <math>z=-1</math> and <math>z=1\,</math>.
-	<math>z=-~~\text{~~1}</math>	+
-	and	+
-	<math>z=\~~text{1}~~</math>.	+

Ian um 11:09, 24. Okt. 2008

2008-10-24T11:09:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:09, 24. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If we treat the expression
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~3_3_2e~~-1(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>w=\frac{z+i}{z-i}</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	as an unknown, we have the equation
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_2e~~-2(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	<math>w^{2}=-1</math>
		+
		+
		+	We know already that this equation has roots
		+
		+
		+	<math>w=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	-i \\
		+	i \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	so
		+	<math>z\text{ }</math>
		+	should satisfy one of the equation's
		+
		+
		+	<math>\frac{z+i}{z-i}=-i</math>
		+	or
		+	<math>\frac{z+i}{z-i}=i</math>
		+
		+
		+	We solve these equations one by one.
		+
		+
		+	<math>\underline{\underline{\frac{z+i}{z-i}=-i}}</math>
		+
		+
		+	Multiply both sides by
		+	<math>z-i</math>:
		+
		+
		+	<math>z+i=-i\left( z-i \right)</math>
		+
		+
		+	Move all the
		+	<math>z</math>
		+	-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,
		+
		+
		+	<math>z+iz=-1-i</math>
		+
		+
		+	This gives
		+
		+
		+	<math>z=\frac{-1-i}{1+i}=\frac{-\left( 1+i \right)}{1+i}=-1</math>
		+
		+
		+
		+
		+	<math>\underline{\underline{\frac{z+i}{z-i}=i}}</math>
		+
		+
		+	Multiply both sides by
		+	<math>z-i</math>:
		+
		+
		+	<math>z+i=i\left( z-i \right)</math>
		+
		+
		+	Move all the z-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,
		+
		+
		+	<math>z-iz=1-i</math>
		+
		+
		+	This gives
		+
		+
		+	<math>z=\frac{1-i}{1-i}=1</math>
		+
		+
		+	The solutions are therefore
		+	<math>z=-\text{1}</math>
		+	and
		+	<math>z=\text{1}</math>.

Tekbot: Lösning 3.3:2e moved to Solution 3.3:2e: Robot: moved page

2008-09-16T15:06:01Z

Lösning 3.3:2e moved to Solution 3.3:2e: Robot: moved page

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Version vom 15:06, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T08:12:44Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_3_2e-1(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_3_2e-1(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
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-	<center> [[~~Bild~~:3_3_2e-2(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_3_2e-2(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_3_2e-1(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_3_2e-2(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}}

2008-04-07T13:35:58Z

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_2e-1(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_3_2e-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

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<center> [[Bild:3_3_2e-1(2).gif]] </center>
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