Lösung 3.3:2d - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 12:39, 14. Okt. 2011

2011-10-14T12:39:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:39, 14. Okt. 2011
Zeile 18:		Zeile 18:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^4 &= 4\,,\\[5pt]		r^4 &= 4\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl)}	+	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

Zeile 25:		Zeile 25:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Sekretariat1 um 11:58, 3. Sep. 2009

2009-09-03T11:58:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:58, 3. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.		Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4</math>}}

-	Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das ~~Moivreschen~~ Gesetz ~~benutzen~~.	+	Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-	-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)~~\,,~~	+	-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	und erhalten die Gleichung	+	und wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,	+	Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^4 &= 4\,,\\[5pt]		r^4 &= 4\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}	+	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl)}
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

Zeile 28:		Zeile 28:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an	+	Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}

	Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen		Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
Zeile 45:		Zeile 45:
	-1+i\,,&\\[5pt]		-1+i\,,&\\[5pt]
	-1-i\,,&\\[5pt]		-1-i\,,&\\[5pt]
-	1-i\,\textrm{,}	+	1-i\,\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~und die~~ Lösungen für z sind	+	Die Lösungen für z sind

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}

Moni um 21:22, 22. Aug. 2009

2009-08-22T21:22:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:22, 22. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}

-	Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und ~~den~~ Moivreschen Gesetz benutzen.	+	Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivreschen Gesetz benutzen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 18:		Zeile 18:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^4 &= 4\,,\\[5pt]		r^4 &= 4\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~),}	+	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),}
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

Zeile 25:		Zeile 25:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~).}	+	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

	Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an		Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>~~and~~<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}

-	Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur ~~mit einen Faktor~~ von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen	+	Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}

Martin um 15:31, 18. Mai 2009

2009-05-18T15:31:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:31, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we use~~ <math>w=z-1</math> ~~as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,~~	+	Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula~~. ~~We have~~	+	Diese Gleichung lösen wir indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen, und den Moivreschen Gesetz benutzen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 10:		Zeile 10:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and the equation becomes~~	+	und erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>~~,	+	Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 21:		Zeile 21:
	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}

-	~~which gives us that~~	+	und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 28:		Zeile 28:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~For~~ <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> ~~and~~ <math>3</math>, ~~the argument~~ <math>\alpha</math> ~~assumes the four different values~~	+	Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math>, nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}

-	~~and for other values of~~ <math>n</math> ~~we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above~~, ~~apart from multiples of~~ <math>2\pi</math>. ~~Thus, we have four solutions,~~	+	Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur mit einen Faktor von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
Zeile 48:		Zeile 48:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~and the original variable~~ z is	+	und die Lösungen für z sind

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}

Tekbot: Solution 3.3:2d moved to Lösung 3.3:2d: Robot: moved page

2009-03-11T10:45:15Z

Solution 3.3:2d moved to Lösung 3.3:2d: Robot: moved page

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Version vom 10:45, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:12:04Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:12, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,		If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}

	We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have		We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
	-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,,		-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
Zeile 12:		Zeile 12:
	and the equation becomes		and the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

	The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,		The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^4 &= 4\,,\\[5pt]		r^4 &= 4\,,\\[5pt]
	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}		4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
Zeile 23:		Zeile 23:
	which gives us that		which gives us that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}		\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
Zeile 30:		Zeile 30:
	For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values		For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}

	and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,		and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>w=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
	&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]		&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
	&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]		&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
Zeile 50:		Zeile 50:
	and the original variable z is		and the original variable z is

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
	&2+i\,,\\[5pt]		&2+i\,,\\[5pt]
	&i\,,\\[5pt]		&i\,,\\[5pt]

Tek um 12:58, 30. Okt. 2008

2008-10-30T12:58:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:58, 30. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we use	+	If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,
-	<math>w=z-~~\text{~~1}</math>	+
-	as a new unknown and move the term	+
-	<math>~~\text{~~4}</math>	+
-	over to the right-hand side, we have a binomial equation,	+
-		+
-		+
-	~~<math>w^{4}=-4</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}

	We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have		We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\begin{align}	+	w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-	& w=r~~\left~~( \cos \alpha +i\sin \alpha ~~\right~~) \\	+	-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
-	& -4=4~~\left~~( \cos \pi +i\sin \pi ~~\right~~) \\	+	\end{align}</math>}}
-	\end{align}</math>	+
-		+

	and the equation becomes		and the equation becomes

		+	{{Displayed math\|\|<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>r^{4}\left( \cos 4\alpha +i\sin 4\alpha \right)=4\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)</math>~~	+	The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,
-		+
-		+
-	The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of	+
-	<math>2\pi </math>,	+
-		+
-		+
-	~~<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+
-	~~r^{4}=4 \\~~	+
-	~~4\alpha =\pi +2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\~~	+
-	~~\end{array} \right.</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
		+	r^4 &= 4\,,\\[5pt]
		+	4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
		+	\end{align} \right.</math>}}

	which gives us that		which gives us that

		+	{{Displayed math\|\|<math>\left\{\begin{align}
		+	r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
		+	\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
		+	\end{align}\right.</math>}}

-	<math>~~\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+	For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values
-	r=~~\sqrt[4]{~~2~~}=\sqrt{2}~~ \\	+
-	\alpha ~~=\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}\quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\~~	+
-	~~\end{array} \right.~~</math>	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}

-	~~for~~	+	and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,
-	~~<math>n=0,\ 1,\ 2</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>3</math>, the argument~~	+
-	~~<math>\alpha </math>~~	+
-	~~assumes the four different values~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>\frac{\pi }{4},\ \frac{3\pi }{4},\ \frac{5\pi }{4}</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>\frac{7\pi }{4}</math>~~	+
-		+
-		+
-	and for ~~different~~ values of	+
-	<math>n</math>	+
-	we obtain values of	+
-	<math>\alpha </math>	+
-	which are equal to those above, apart from multiples of	+
-	<math>2\pi </math>. Thus, we have four solutions,	+
-		+
-		+
-	~~<math>w=\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+
-	~~\sqrt{2}\left( \cos {\pi }/{4}\;+i\sin {\pi }/{4}\; \right) \\~~	+
-	~~\sqrt{2}\left( \cos {3\pi }/{4}\;+i\sin 3{\pi }/{4}\; \right) \\~~	+
-	~~\sqrt{2}\left( \cos {5\pi }/{4}\;+i\sin 5{\pi }/{4}\; \right) \\~~	+
-	~~\sqrt{2}\left( \cos 7{\pi }/{4}\;+i\sin 7{\pi }/{4}\; \right) \\~~	+
-	~~\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}~~	+
-	~~1+i \\~~	+
-	~~-1+i \\~~	+
-	~~-1-i \\~~	+
-	~~1-i \\~~	+
-	~~\end{array} \right.</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>w=\left\{\begin{align}
		+	&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
		+	&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
		+	&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt]
		+	&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)
		+	\end{align}\right.
		+	=
		+	\left\{\begin{align}
		+	1+i\,,&\\[5pt]
		+	-1+i\,,&\\[5pt]
		+	-1-i\,,&\\[5pt]
		+	1-i\,\textrm{,}
		+	\end{align}\right.</math>}}

	and the original variable z is		and the original variable z is

-		+	{{Displayed math\|\|<math>z=\left\{\begin{align}
-	<math>z=\left\{ \begin{~~array}{*{35}l~~}	+	&2+i\,,\\[5pt]
-	2+i \\	+	&i\,,\\[5pt]
-	i \\	+	&-i\,,\\[5pt]
-	-i \\	+	&2-i\,\textrm{.}
-	2-i \\	+	\end{align}\right.</math>}}
-	\end{~~array~~} \right.</math>	+

Ian um 10:54, 24. Okt. 2008

2008-10-24T10:54:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:54, 24. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If we use
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_2d~~-1(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>w=z-\text{1}</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	as a new unknown and move the term
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>\text{4}</math>
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_3_2d-~~2(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+	over to the right-hand side, we have a binomial equation,
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
		+
		+	<math>w^{4}=-4</math>
		+
		+
		+	We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& w=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
		+	& -4=4\left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	and the equation becomes
		+
		+
		+	<math>r^{4}\left( \cos 4\alpha +i\sin 4\alpha \right)=4\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)</math>
		+
		+
		+	The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of
		+	<math>2\pi </math>,
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	r^{4}=4 \\
		+	4\alpha =\pi +2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	which gives us that
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	r=\sqrt[4]{2}=\sqrt{2} \\
		+	\alpha =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}\quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	for
		+	<math>n=0,\ 1,\ 2</math>
		+	and
		+	<math>3</math>, the argument
		+	<math>\alpha </math>
		+	assumes the four different values
		+
		+
		+	<math>\frac{\pi }{4},\ \frac{3\pi }{4},\ \frac{5\pi }{4}</math>
		+	and
		+	<math>\frac{7\pi }{4}</math>
		+
		+
		+	and for different values of
		+	<math>n</math>
		+	we obtain values of
		+	<math>\alpha </math>
		+	which are equal to those above, apart from multiples of
		+	<math>2\pi </math>. Thus, we have four solutions,
		+
		+
		+	<math>w=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	\sqrt{2}\left( \cos {\pi }/{4}\;+i\sin {\pi }/{4}\; \right) \\
		+	\sqrt{2}\left( \cos {3\pi }/{4}\;+i\sin 3{\pi }/{4}\; \right) \\
		+	\sqrt{2}\left( \cos {5\pi }/{4}\;+i\sin 5{\pi }/{4}\; \right) \\
		+	\sqrt{2}\left( \cos 7{\pi }/{4}\;+i\sin 7{\pi }/{4}\; \right) \\
		+	\end{array} \right.=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	1+i \\
		+	-1+i \\
		+	-1-i \\
		+	1-i \\
		+	\end{array} \right.</math>
		+
		+
		+	and the original variable z is
		+
		+
		+	<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
		+	2+i \\
		+	i \\
		+	-i \\
		+	2-i \\
		+	\end{array} \right.</math>

Tekbot: Lösning 3.3:2d moved to Solution 3.3:2d: Robot: moved page

2008-09-16T15:05:41Z

Lösning 3.3:2d moved to Solution 3.3:2d: Robot: moved page

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Version vom 15:05, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T08:12:34Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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