Lösung 3.3:2c - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 12:38, 14. Okt. 2011

2011-10-14T12:38:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:38, 14. Okt. 2011
Zeile 14:		Zeile 14:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl).}	+	5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ~~natürliche~~ Zahl).}	+	\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Ombtut5 um 17:16, 19. Jun. 2011

2011-06-19T17:16:08Z

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Zeile 23:		Zeile 23:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
-	r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]	+	r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
	\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}		\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

Ombtut3 um 10:15, 5. Sep. 2009

2009-09-05T10:15:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:15, 5. Sep. 2009
Zeile 42:		Zeile 42:
	[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]

-	Alernativer Lösungsweg: [[2.2:~~3b_alternativ_exp~~\|Exponentialdarstellung]]	+	Alernativer Lösungsweg: [[3.3:2c_alternativ_exp\|Exponentialdarstellung]]

Ombtut3 um 10:12, 5. Sep. 2009

2009-09-05T10:12:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:12, 5. Sep. 2009
Zeile 42:		Zeile 42:
	[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]

-	Alernativer Lösungsweg: [[2.2:~~3b_alternativ~~\|Exponentialdarstellung]]	+	Alernativer Lösungsweg: [[2.2:3b_alternativ_exp\|Exponentialdarstellung]]

Ombtut3 um 10:11, 5. Sep. 2009

2009-09-05T10:11:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:11, 5. Sep. 2009
Zeile 41:		Zeile 41:

	[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]
		+
		+	Alernativer Lösungsweg: [[2.2:3b_alternativ\|Exponentialdarstellung]]

Sekretariat1 um 12:23, 3. Sep. 2009

2009-09-03T12:23:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:23, 3. Sep. 2009
Zeile 18:		Zeile 18:


-	Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit ~~einen Multipel~~ von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.	+	Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einem Vielfachen von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

	Wir erhalten also		Wir erhalten also

Sekretariat1 um 11:00, 1. Sep. 2009

2009-09-01T11:00:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:00, 1. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> ~~auf~~ Polarform	+	Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> in Polarform.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]	+	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,\\[5pt]
-	-1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)~~\,\textrm{.}~~	+	-1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Zeile 18:		Zeile 18:


-	(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben ~~komplexe~~ Zahl entsprechen.)	+	Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

	Wir erhalten also		Wir erhalten also
Zeile 27:		Zeile 27:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt	+	Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math> nur 5 verschiedene Werte annimmt

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>,}}

-	~~Nachdem~~ sich die Winkel dann wiederholen.	+	da sich die Winkel dann wiederholen.

	Die Wurzeln sind also		Die Wurzeln sind also

Moni um 21:19, 22. Aug. 2009

2009-08-22T21:19:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:19, 22. Aug. 2009
Zeile 10:		Zeile 10:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten, und erhalten	+	Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]		r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-	5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~).}	+	5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}


-	(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden, und trotzdem ~~dieselbe~~ komplexe Zahl entsprechen.)	+	(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden und trotzdem derselben komplexe Zahl entsprechen.)

	Wir erhalten also		Wir erhalten also
Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
	r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]		r &= \sqrt[5]{2} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ~~is an arbitrary integer~~).}	+	\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	Wir sehen dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt	+	Wir sehen, dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> ~~and~~ <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> und <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}

-	Nachdem sich die ~~Winkeln~~ dann wiederholen.	+	Nachdem sich die Winkel dann wiederholen.

	Die Wurzeln sind also		Die Wurzeln sind also

Martin um 15:26, 18. Mai 2009

2009-05-18T15:26:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:26, 18. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~We write~~ <math>z</math> ~~and the right-hand side~~ <math>-1-i</math> ~~in polar form~~	+	Wir bringen <math>z</math> und <math>-1-i</math> auf Polarform

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 6:		Zeile 6:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Using de Moivre's formula, the equation can now be written as~~	+	Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^5(\cos 5\alpha + i\sin 5\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If we identify the magnitude and argument on both sides~~, ~~we get~~	+	Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten, und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 17:		Zeile 17:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	(The arguments <math>5\alpha</math> and <math>5\pi/4</math> can differ by a multiple of <math>2\pi</math> and still correspond to the same complex number.)

-	~~This gives that~~	+	(Die Argumente <math>5\alpha</math> und <math>5\pi/4</math> können sich mit einen Multipel von <math>2\pi</math> unterscheiden, und trotzdem dieselbe komplexe Zahl entsprechen.)
		+
		+	Wir erhalten also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 27:
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

-	~~If we investigate the argument~~ <math>\alpha</math> ~~more closely, we see that it assumes essentially only five different values,~~	+	Wir sehen dass das Argument <math>\alpha</math>nur 5 verschiedene Werte annimmt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> and <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{5}</math>, <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{6\pi}{5}\quad</math> and <math>\quad\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{5}</math>}}

-	~~since these angle values then repeat to within a multiple of <math>2\pi</math>~~.	+	Nachdem sich die Winkeln dann wiederholen.

-	~~In summary, the solutions are~~	+	Die Wurzeln sind also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 2^{1/10}\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr)\Bigr)\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z = 2^{1/10}\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{2n\pi}{5}\Bigr)\Bigr)\,,</math>}}

-	~~for~~ <math>n=0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math> ~~and~~	+	für <math>n=0</math>, <math>1</math>, <math>2</math>, <math>3</math> und
	<math>4</math>.		<math>4</math>.

	[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]		[[Image:3_3_2_c.gif\|center]]

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2009-03-11T10:44:55Z

Solution 3.3:2c moved to Lösung 3.3:2c: Robot: moved page

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Version vom 10:44, 11. Mär. 2009