Lösung 2.3:1a - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 13:54, 27. Aug. 2009

2009-08-27T13:54:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:54, 27. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}

-	wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.	+	wobei <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.

-	Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.	+	Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.

	Im Integral		Im Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx~~\,,~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx</math>}}

-	ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, ~~nachdem~~ dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können.	+	ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, da dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 19:		Zeile 19:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen,	+	Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 25:		Zeile 25:
	&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]		&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]
	&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt]		&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt]
-	&= -2(x+1)e^{-x} + C~~\,\textrm{.}~~	+	&= -2(x+1)e^{-x} + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Moni um 10:58, 22. Aug. 2009

2009-08-22T10:58:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:58, 22. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}

-	wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.	+	wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.

-	Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir dass ~~der~~ Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.	+	Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.

	Im Integral		Im Integral

Martin um 15:45, 5. Mai 2009

2009-05-05T15:45:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:45, 5. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The formula for integration by parts reads~~	+	Die Formel für partielle Integration lautet

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}

-	~~where~~ <math>F(x)</math> ~~is a primitive function of~~ <math>f(x)</math> ~~and~~ <math>g'(x)</math> ~~is a derivative of~~ <math>g(x)</math>.	+	wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.

-	~~If we are to use integration by parts~~, ~~the integrand has to be divided up into two factors, a factor~~ <math>f(x)</math> ~~which we integrate and a factor~~ <math>g(x)</math> ~~which we differentiate~~. ~~It is only when the product~~ <math>F(x)g'(x)</math>	+	Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir dass der Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
-	~~becomes simpler than~~ <math>f(x)g(x)</math> ~~that there is any point in integrating by parts~~.	+

-	~~In the integral~~	+	Im Integral

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx\,,</math>}}

-	~~it can seem appropriate to choose~~ <math>f(x)=e^{-x}</math> ~~and~~ <math>g(x) = 2x</math>, ~~because then~~ <math>g'(x) = 2</math> ~~and we have only~~ <math>F(x) = -e^{-x}</math> ~~left~~,	+	ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, nachdem dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 20:		Zeile 19:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~It remains only to integrate~~ <math>e^{-x}</math> ~~and we are finished~~,	+	Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Tekbot: Solution 2.3:1a moved to Lösung 2.3:1a: Robot: moved page

2009-03-11T10:25:55Z

Solution 2.3:1a moved to Lösung 2.3:1a: Robot: moved page

← Nächstältere Version

Version vom 10:25, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T13:03:24Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 13:03, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	The formula for integration by parts reads		The formula for integration by parts reads

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}

	where <math>F(x)</math> is a primitive function of <math>f(x)</math> and <math>g'(x)</math> is a derivative of <math>g(x)</math>.		where <math>F(x)</math> is a primitive function of <math>f(x)</math> and <math>g'(x)</math> is a derivative of <math>g(x)</math>.
Zeile 10:		Zeile 10:
	In the integral		In the integral

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx\,,</math>}}

	it can seem appropriate to choose <math>f(x)=e^{-x}</math> and <math>g(x) = 2x</math>, because then <math>g'(x) = 2</math> and we have only <math>F(x) = -e^{-x}</math> left,		it can seem appropriate to choose <math>f(x)=e^{-x}</math> and <math>g(x) = 2x</math>, because then <math>g'(x) = 2</math> and we have only <math>F(x) = -e^{-x}</math> left,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\int 2x\cdot e^{-x}\,dx		\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
	&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt]		&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt]
Zeile 22:		Zeile 22:
	It remains only to integrate <math>e^{-x}</math> and we are finished,		It remains only to integrate <math>e^{-x}</math> and we are finished,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}		\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
	&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]		&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]

Tek um 08:08, 29. Okt. 2008

2008-10-29T08:08:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:08, 29. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	The formula for ~~partial~~ integration reads	+	The formula for integration by parts reads

		+	{{Displayed math\|\|<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}

-	<math>~~\int{f\left~~( x ~~\right~~)~~}g\left~~( x ~~\right)\,dx=F\left( x \right~~)g~~\left~~( x ~~\right~~)~~-\int{F\left( x \right){~~g~~}'\left~~( x ~~\right~~)~~\,dx}~~</math>,	+	where <math>F(x)</math> is a primitive function of <math>f(x)</math> and <math>g'(x)</math> is a derivative of <math>g(x)</math>.

-	~~where~~	+	If we are to use integration by parts, the integrand has to be divided up into two factors, a factor <math>f(x)</math> which we integrate and a factor <math>g(x)</math> which we differentiate. It is only when the product <math>F(x)g'(x)</math>
-	~~<math>F\left( x \right)</math>~~	+	becomes simpler than <math>f(x)g(x)</math> that there is any point in integrating by parts.
-	~~is a primitive function of~~	+
-	~~<math>f\left( x \right)</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>{g}'\left( x \right)</math>~~	+
-	~~is a derivative of~~	+
-	~~<math>g\left( x \right)</math>.~~	+
-		+
-	If we are to use ~~partial~~ integration, the integrand has to be divided up into two factors, a factor	+
-	<math>f~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+
-	which we integrate and a factor	+
-	<math>g~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+
-	which we differentiate. It is only when the product	+
-	<math>F~~\left~~( x ~~\right~~){g}'~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+
-	becomes simpler than	+
-	<math>f~~\left~~( x ~~\right~~)g~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+
-	that there is any point in ~~partially~~ integrating.	+

	In the integral		In the integral

		+	{{Displayed math\|\|<math>\int 2xe^{-x}\,dx\,,</math>}}

-	~~<math>\int{2xe^{-x}}\,dx</math>,~~	+	it can seem appropriate to choose <math>f(x)=e^{-x}</math> and <math>g(x) = 2x</math>, because then <math>g'(x) = 2</math> and we have only <math>F(x) = -e^{-x}</math> left,
-		+
-	it can seem appropriate to choose	+
-	<math>f~~\left~~( x ~~\right~~)=e^{-x}</math>	+
-	and	+
-	<math>g~~\left~~( x ~~\right~~)=2x</math>, because then	+
-	<math>{g}'~~\left~~( x ~~\right~~)=2</math>	+
-	and we have only	+
-	<math>F~~\left~~( x ~~\right~~)=-e^{-x}</math>	+
-	left,	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& \int{2xe^{-x}}\,dx=2x\centerdot \left( -e^{-x} \right)-\int{2\centerdot }\left( -e^{-x} \right)\,dx \\~~	+
-	~~& =-2xe^{-x}+2\int{e^{-x}\,dx} \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+

-	~~It remains only to integrate~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>e^{-x}</math>	+	\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
-	~~and we are finished:~~	+	&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt]
		+	&= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

		+	It remains only to integrate <math>e^{-x}</math> and we are finished,

-	<math>\begin{align}	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	& =-2xe^{-x}+2\~~left~~( -e^{-x} \~~right~~)+C \\	+	\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
-	& =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C \\	+	&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]
-	& =-2~~\left~~( x+1 ~~\right~~)e^{-x}+C \\	+	&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt]
-	\end{align}</math>	+	&= -2(x+1)e^{-x} + C\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

Ian um 13:24, 21. Okt. 2008

2008-10-21T13:24:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:24, 21. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	The formula for partial integration reads
-	<~~center~~> ~~[[Image:2_3_1a-1~~(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>\int{f\left( x \right)}g\left( x \right)\,dx=F\left( x \right)g\left( x \right)-\int{F\left( x \right){g}'\left( x \right)\,dx}</math>,
-	<~~center~~> ~~[[Image:2_3_1a~~-2(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	where
		+	<math>F\left( x \right)</math>
		+	is a primitive function of
		+	<math>f\left( x \right)</math>
		+	and
		+	<math>{g}'\left( x \right)</math>
		+	is a derivative of
		+	<math>g\left( x \right)</math>.
		+
		+	If we are to use partial integration, the integrand has to be divided up into two factors, a factor
		+	<math>f\left( x \right)</math>
		+	which we integrate and a factor
		+	<math>g\left( x \right)</math>
		+	which we differentiate. It is only when the product
		+	<math>F\left( x \right){g}'\left( x \right)</math>
		+	becomes simpler than
		+	<math>f\left( x \right)g\left( x \right)</math>
		+	that there is any point in partially integrating.
		+
		+	In the integral
		+
		+
		+	<math>\int{2xe^{-x}}\,dx</math>,
		+
		+	it can seem appropriate to choose
		+	<math>f\left( x \right)=e^{-x}</math>
		+	and
		+	<math>g\left( x \right)=2x</math>, because then
		+	<math>{g}'\left( x \right)=2</math>
		+	and we have only
		+	<math>F\left( x \right)=-e^{-x}</math>
		+	left,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \int{2xe^{-x}}\,dx=2x\centerdot \left( -e^{-x} \right)-\int{2\centerdot }\left( -e^{-x} \right)\,dx \\
		+	& =-2xe^{-x}+2\int{e^{-x}\,dx} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	It remains only to integrate
		+	<math>e^{-x}</math>
		+	and we are finished:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& =-2xe^{-x}+2\left( -e^{-x} \right)+C \\
		+	& =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C \\
		+	& =-2\left( x+1 \right)e^{-x}+C \\
		+	\end{align}</math>

Tekbot: Lösning 2.3:1a moved to Solution 2.3:1a: Robot: moved page

2008-09-16T14:46:21Z

Lösning 2.3:1a moved to Solution 2.3:1a: Robot: moved page

← Nächstältere Version

Version vom 14:46, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T08:02:54Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 08:02, 21. Aug. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:2_3_1a-1(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:2_3_1a-1(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:2_3_1a-2(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:2_3_1a-2(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:2_3_1a-1(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} Bild:2_3_1a-2(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}}

2008-04-07T10:00:26Z

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:2_3_1a-1(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:2_3_1a-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

Neue Seite

{{NAVCONTENT_START}}
<center> [[Bild:2_3_1a-1(2).gif]] </center>
{{NAVCONTENT_STOP}}
{{NAVCONTENT_START}}
<center> [[Bild:2_3_1a-2(2).gif]] </center>
{{NAVCONTENT_STOP}}