Lösung 2.2:3d - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 12:42, 27. Aug. 2009

2009-08-27T12:42:14Z

Moni um 09:58, 22. Aug. 2009

2009-08-22T09:58:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 09:58, 22. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir sehen dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist,	+	Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}

-	sehen wir dass <math>x^2+2x+2</math> immer ~~grösser~~ als 1 ist, ~~und~~ daher können wir das ~~betragszeichen auslassen~~,	+	sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist, daher können wir das Betragszeichen weglassen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 13:26, 5. Mai 2009

2009-05-05T13:26:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:26, 5. Mai 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator~~,	+	Wir sehen dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}

-	~~so we can rewrite the integral as~~	+	Also ist das Integral

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The substitution~~ <math>u=x^2+2x+2</math> ~~will therefore simplify the integral considerably~~,	+	Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 20:		Zeile 20:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-		+	Hinweis: Durch quadratische Ergänzung
-	~~Note~~: ~~By completing the square~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}

-	~~we see that~~ <math>x^2+2x+2</math> ~~is always greater than or equal to~~ 1, ~~so we can take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math> and answer with~~	+	sehen wir dass <math>x^2+2x+2</math> immer grösser als 1 ist, und daher können wir das betragszeichen auslassen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}

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2009-03-11T10:23:35Z

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Version vom 10:23, 11. Mär. 2009

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2009-03-10T13:02:14Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 14:34, 28. Okt. 2008

2008-10-28T14:34:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:34, 28. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,		Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,

-		+	{{Displayed math\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}
-	<math>~~\left~~( x^{2}+2x+2 ~~\right~~)~~^{\prime }~~=2x+2=2~~\left~~( x+1 ~~\right~~)</math>	+
-		+

	so we can rewrite the integral as		so we can rewrite the integral as

		+	{{Displayed math\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>\int{\frac{\frac{1}{2}}{x^{2}+2x+2}}\centerdot \left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx</math>~~	+	The substitution <math>u=x^2+2x+2</math> will therefore simplify the integral considerably,
-		+
-		+
-	The substitution	+
-	<math>u=x^{2}+2x+2</math>	+
-	will therefore simplify the integral considerably:	+
-		+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& \int{\frac{x+1}{x^{2}+2x+2}}\~~,~~dx=\left\{ \begin{matrix}~~	+
-	~~u=x^{2}+2x+2 \\~~	+
-	~~du=\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx=2\left( x+1 \right)\,dx \\~~	+
-	~~\end{matrix} \right\} \\~~	+
-	~~& =\frac{1}{2}\int{\frac{\,du}{u}}=\frac{1}{2}\ln \left\| u \right\|+C \\~~	+
-	~~& =\frac{1}{2}\ln \left\| x^{2}+2x+2 \right\|+C \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-	~~NOTE: By completing the square~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx
		+	&= \left\{\begin{align}
		+	u &= x^2+2x+2\\[5pt]
		+	du &= (x^2+2x+2)'\,dx = 2(x+1)\,dx
		+	\end{align}\right\}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\ln \|u\| + C\\[5pt]
		+	&= \frac{1}{2}\ln \|x^2+2x+2\| + C\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	<math>x^{2}+2x+2=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}+2=\left( x+1 \right)^{2}+1</math>

		+	Note: By completing the square

-	~~we see that~~	+	{{Displayed math\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}
-	<math>x^{2}+2x+2~~</math>~~	+
-	~~is always greater than or equal to~~	+
-	~~<math>\text{~~1}</math>~~, so we can take away the absolute sign around the argument in~~	+
-	~~<math>\text{ln~~}~~</math>~~	+
-	~~and answer with~~	+

		+	we see that <math>x^2+2x+2</math> is always greater than or equal to 1, so we can take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math> and answer with

-	<math>\frac{1}{2}\ln ~~\left~~( x^{2}+2x+2 ~~\right~~)+C</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}

Ian um 10:51, 21. Okt. 2008

2008-10-21T10:51:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:51, 21. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~2_2_3d.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
		+	<math>\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }=2x+2=2\left( x+1 \right)</math>
		+
		+
		+	so we can rewrite the integral as
		+
		+
		+	<math>\int{\frac{\frac{1}{2}}{x^{2}+2x+2}}\centerdot \left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx</math>
		+
		+
		+	The substitution
		+	<math>u=x^{2}+2x+2</math>
		+	will therefore simplify the integral considerably:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \int{\frac{x+1}{x^{2}+2x+2}}\,dx=\left\{ \begin{matrix}
		+	u=x^{2}+2x+2 \\
		+	du=\left( x^{2}+2x+2 \right)^{\prime }\,dx=2\left( x+1 \right)\,dx \\
		+	\end{matrix} \right\} \\
		+	& =\frac{1}{2}\int{\frac{\,du}{u}}=\frac{1}{2}\ln \left\| u \right\|+C \\
		+	& =\frac{1}{2}\ln \left\| x^{2}+2x+2 \right\|+C \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	NOTE: By completing the square
		+
		+
		+	<math>x^{2}+2x+2=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}+2=\left( x+1 \right)^{2}+1</math>
		+
		+
		+	we see that
		+	<math>x^{2}+2x+2</math>
		+	is always greater than or equal to
		+	<math>\text{1}</math>, so we can take away the absolute sign around the argument in
		+	<math>\text{ln}</math>
		+	and answer with
		+
		+
		+	<math>\frac{1}{2}\ln \left( x^{2}+2x+2 \right)+C</math>

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2008-09-16T14:44:01Z

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Version vom 14:44, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T08:01:44Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 08:01, 21. Aug. 2008
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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:2_2_3d.gif]] </center>	+	<center> [[Image:2_2_3d.gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:2_2_3d.gif {{NAVCONTENT_STOP}}

2008-04-07T09:30:11Z

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:2_2_3d.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

Neue Seite

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<center> [[Bild:2_2_3d.gif]] </center>
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← Nächstältere Version		Version vom 12:42, 27. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist		Wir sehen, dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>.}}

	Also ist das Integral		Also ist das Integral
Zeile 7:		Zeile 7:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}

-	Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral,	+	Durch die Substitution <math>u=x^2+2x+2</math> erhalten wir ein einfacheres Integral.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 17:		Zeile 17:
	&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]		&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}\\[5pt]
	&= \frac{1}{2}\ln \|u\| + C\\[5pt]		&= \frac{1}{2}\ln \|u\| + C\\[5pt]
-	&= \frac{1}{2}\ln \|x^2+2x+2\| + C~~\,\textrm{.}~~	+	&= \frac{1}{2}\ln \|x^2+2x+2\| + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Hinweis: Durch quadratische Ergänzung	+	Hinweis: Durch die quadratische Ergänzung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}

-	sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist~~, daher~~ können wir das Betragszeichen weglassen,	+	sehen wir, dass <math>x^2+2x+2</math> immer größer als 1 ist. Daher können wir das Betragszeichen weglassen.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C~~\,\textrm{.}~~</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C</math>}}

← Nächstältere Version		Version vom 13:02, 10. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,		Observe that the derivative of the denominator is, for the most part, equal to the numerator,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x^2+2x+2)' = 2x+2 = 2(x+1)</math>}}

	so we can rewrite the integral as		so we can rewrite the integral as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \frac{\tfrac{1}{2}}{x^2+2x+2}\cdot (x^2+2x+2)'\,dx\,\textrm{.}</math>}}

	The substitution <math>u=x^2+2x+2</math> will therefore simplify the integral considerably,		The substitution <math>u=x^2+2x+2</math> will therefore simplify the integral considerably,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx		\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}\,dx
	&= \left\{\begin{align}		&= \left\{\begin{align}
Zeile 23:		Zeile 23:
	Note: By completing the square		Note: By completing the square

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x+2 = (x+1)^2-1^2+2 = (x+1)^2+1</math>}}

	we see that <math>x^2+2x+2</math> is always greater than or equal to 1, so we can take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math> and answer with		we see that <math>x^2+2x+2</math> is always greater than or equal to 1, so we can take away the absolute sign around the argument in <math>\ln</math> and answer with

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{2}\ln (x^2+2x+2) + C\,\textrm{.}</math>}}