Lösung 2.1:4a - Versionsgeschichte

Sekretariat1 um 10:47, 27. Aug. 2009

2009-08-27T10:47:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:47, 27. Aug. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	während die Fläche vom restierenden Gebiet		während die Fläche vom restierenden Gebiet

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\textrm{,}</math>}}

	ist (beachte das Minuszeichen).		ist (beachte das Minuszeichen).

Moni um 22:45, 21. Aug. 2009

2009-08-21T22:45:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 22:45, 21. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Zeichnen wir die Funktion <math>y=\sin x</math>, sehen wir dass die Funktion bis <math>x=\pi </math> oberhalb der ''x''-Achse liegt, und danach unterhalb.	+	Zeichnen wir die Funktion <math>y=\sin x</math>, sehen wir, dass die Funktion bis <math>x=\pi </math> oberhalb der ''x''-Achse liegt und danach unterhalb.

	[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]

Moni um 22:14, 21. Aug. 2009

2009-08-21T22:14:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 22:14, 21. Aug. 2009
Zeile 11:		Zeile 11:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}

-	ist (~~beachten Sie~~ das Minuszeichen).	+	ist (beachte das Minuszeichen).

	Die gesamte Fläche ist also		Die gesamte Fläche ist also
Zeile 24:		Zeile 24:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Hinweis: Die exakten Werte von <math>\cos 0</math>, <math>\cos \pi </math> und <math>\cos (5\pi/4)</math> können wir durch den Einheitskreis erhalten, indem wir die Winkeln <math>0</math>, <math>\pi</math> und <math>5\pi/4</math> einzeichnen, und deren ''x''-Koordinaten ablesen.	+	Hinweis: Die exakten Werte von <math>\cos 0</math>, <math>\cos \pi </math> und <math>\cos (5\pi/4)</math> können wir durch den Einheitskreis erhalten, indem wir die Winkeln <math>0</math>, <math>\pi</math> und <math>5\pi/4</math> einzeichnen und deren ''x''-Koordinaten ablesen.

	[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]

Martin um 17:02, 28. Apr. 2009

2009-04-28T17:02:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 17:02, 28. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we draw the curve~~ <math>y=\sin x</math>, ~~we see that the curve lies above the ''x''-axis as far as~~ <math>x=\pi </math> ~~and then lies under the~~ ''x''-~~axis~~.	+	Zeichnen wir die Funktion <math>y=\sin x</math>, sehen wir dass die Funktion bis <math>x=\pi </math> oberhalb der ''x''-Achse liegt, und danach unterhalb.

	[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]

-	~~The area of the region between~~ <math>x=0</math> ~~and~~ <math>x=\pi</math> ~~can therefore be written as~~	+	Die Fläche vom Gebiet zwischen <math>x=0</math> und <math>x=\pi</math> ist deshalb

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx</math>}}

-	~~whilst the area of the remaining region under the ''x''-axis is equal to~~	+	während die Fläche vom restierenden Gebiet

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}

-	(~~note the minus sign in front of the integral~~).	+	ist (beachten Sie das Minuszeichen).

-	~~The total area becomes~~	+	Die gesamte Fläche ist also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 24:		Zeile 24:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-		+	Hinweis: Die exakten Werte von <math>\cos 0</math>, <math>\cos \pi </math> und <math>\cos (5\pi/4)</math> können wir durch den Einheitskreis erhalten, indem wir die Winkeln <math>0</math>, <math>\pi</math> und <math>5\pi/4</math> einzeichnen, und deren ''x''-Koordinaten ablesen.
-	~~Note~~: ~~A simple way to obtain the values of~~ <math>\cos 0</math>, <math>\cos \pi </math> ~~and~~ <math>\cos (5\pi/4)</math> ~~is to draw the angles~~ <math>0</math>, <math>\pi</math> ~~and~~ <math>5\pi/4</math> ~~on a unit circle and to read off the cosine value as the~~ ''x''-~~coordinate for the corresponding point on the circle~~.	+

	[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]

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2009-03-11T10:17:55Z

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Version vom 10:17, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T12:59:24Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 12:59, 10. Mär. 2009
Zeile 5:		Zeile 5:
	The area of the region between <math>x=0</math> and <math>x=\pi</math> can therefore be written as		The area of the region between <math>x=0</math> and <math>x=\pi</math> can therefore be written as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx</math>}}

	whilst the area of the remaining region under the ''x''-axis is equal to		whilst the area of the remaining region under the ''x''-axis is equal to

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}

	(note the minus sign in front of the integral).		(note the minus sign in front of the integral).
Zeile 15:		Zeile 15:
	The total area becomes		The total area becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	& \int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\\[5pt]		& \int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\\[5pt]
	&\qquad\quad {}= \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_0^\pi - \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_\pi^{5\pi/4}\\[5pt]		&\qquad\quad {}= \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_0^\pi - \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_\pi^{5\pi/4}\\[5pt]

Tek um 13:36, 21. Okt. 2008

2008-10-21T13:36:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:36, 21. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we draw the curve	+	If we draw the curve <math>y=\sin x</math>, we see that the curve lies above the ''x''-axis as far as <math>x=\pi </math> and then lies under the ''x''-axis.
-	<math>y=\sin x</math>, we see that the curve lies above the	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	-axis as far as	+
-	<math>x=\pi </math>	+
-	and then lies under the	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	-axis.	+
-		+
-		+

	[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]

-	The area of the region between	+	The area of the region between <math>x=0</math> and <math>x=\pi</math> can therefore be written as
-	<math>x=0</math>	+
-	and	+
-	<math>x=\pi </math>	+
-	can therefore be written as	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx</math>}}

-	~~<math>\int\limits_{0}^{\pi }{\sin x}\,dx</math>~~	+	whilst the area of the remaining region under the ''x''-axis is equal to
-		+
-	whilst the area of the remaining region under the	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	-axis is equal to	+
-		+
-		+
-	~~<math>-\int\limits_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;}{\sin x}\,dx</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx</math>}}

	(note the minus sign in front of the integral).		(note the minus sign in front of the integral).
Zeile 33:		Zeile 15:
	The total area becomes		The total area becomes

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	& \int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\\[5pt]
		+	&\qquad\quad {}= \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_0^\pi - \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_\pi^{5\pi/4}\\[5pt]
		+	&\qquad\quad {}= \Bigl( -\cos\pi - (-\cos 0)\Bigr) - \Bigl( -\cos\frac{5\pi}{4} - (-\cos\pi) \Bigr)\\[5pt]
		+	&\qquad\quad {}= \Bigl( -(-1)-(-1) \Bigr) - \Bigl( -\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \Bigr) - \bigl(-(-1)\bigr)\Bigr)\\[5pt]
		+	&\qquad\quad {}= 1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+1\\[5pt]
		+	&\qquad\quad {}= 3-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	<math>\begin{align}
-	& \int\limits_{0}^{\pi }{\sin x}\,dx-\int\limits_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;}{\sin x}\,dx \\
-	& =\left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi }-\left[ -\cos x \right]_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;} \\
-	& =\left( -\cos \pi -\left( -\cos 0 \right) \right)-\left( -\cos \frac{5\pi }{4}-\left( -\cos \pi \right) \right) \\
-	& =\left( -\left( -1 \right)-\left( -1 \right) \right)-\left( -\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)-\left( -\left( -1 \right) \right) \right) \\
-	& =1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+1=3-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
-	\end{align}</math>
-
-
-	NOTE: a simple way to obtain the values of
-	<math>\cos 0</math>,
-	<math>\cos \pi </math>
-	and
-	<math>\cos \frac{5\pi }{4}</math>
-	is to draw the angles
-	<math>0</math>,
-	<math>\pi </math>
-	and
-	<math>\frac{5\pi }{4}</math>
-	on a unit circle and to read off the cosine value as the
-	<math>x</math>
-	-coordinate for the corresponding point on the circle.

		+	Note: A simple way to obtain the values of <math>\cos 0</math>, <math>\cos \pi </math> and <math>\cos (5\pi/4)</math> is to draw the angles <math>0</math>, <math>\pi</math> and <math>5\pi/4</math> on a unit circle and to read off the cosine value as the ''x''-coordinate for the corresponding point on the circle.

	[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]

Ian um 10:02, 18. Okt. 2008

2008-10-18T10:02:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:02, 18. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	If we draw the curve
-	<~~center~~> ~~[[Image:2_1_4a-1(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>y=\sin x</math>, we see that the curve lies above the
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	<math>x</math>
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	-axis as far as
-	<~~center~~> ~~[[Image:2_1_4a-2(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>x=\pi </math>
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	and then lies under the
		+	<math>x</math>
		+	-axis.
		+


	[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]
		+
		+	The area of the region between
		+	<math>x=0</math>
		+	and
		+	<math>x=\pi </math>
		+	can therefore be written as
		+
		+
		+	<math>\int\limits_{0}^{\pi }{\sin x}\,dx</math>
		+
		+	whilst the area of the remaining region under the
		+	<math>x</math>
		+	-axis is equal to
		+
		+
		+	<math>-\int\limits_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;}{\sin x}\,dx</math>
		+
		+
		+	(note the minus sign in front of the integral).
		+
		+	The total area becomes
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \int\limits_{0}^{\pi }{\sin x}\,dx-\int\limits_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;}{\sin x}\,dx \\
		+	& =\left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi }-\left[ -\cos x \right]_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;} \\
		+	& =\left( -\cos \pi -\left( -\cos 0 \right) \right)-\left( -\cos \frac{5\pi }{4}-\left( -\cos \pi \right) \right) \\
		+	& =\left( -\left( -1 \right)-\left( -1 \right) \right)-\left( -\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)-\left( -\left( -1 \right) \right) \right) \\
		+	& =1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+1=3-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	NOTE: a simple way to obtain the values of
		+	<math>\cos 0</math>,
		+	<math>\cos \pi </math>
		+	and
		+	<math>\cos \frac{5\pi }{4}</math>
		+	is to draw the angles
		+	<math>0</math>,
		+	<math>\pi </math>
		+	and
		+	<math>\frac{5\pi }{4}</math>
		+	on a unit circle and to read off the cosine value as the
		+	<math>x</math>
		+	-coordinate for the corresponding point on the circle.
		+
		+
	[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]		[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]

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2008-09-16T14:38:21Z

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Version vom 14:38, 16. Sep. 2008

Madde um 12:01, 21. Aug. 2008

2008-08-21T12:01:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:01, 21. Aug. 2008
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	<center> [[Image:2_1_4a-2(2).gif]] </center>		<center> [[Image:2_1_4a-2(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
		+
		+
		+	[[Image:2_1_4_a1.gif\|center]]
		+	[[Image:2_1_4_a2.gif\|center]]