Lösung 1.3:5 - Versionsgeschichte

Silke2 um 18:03, 9. Sep. 2009

2009-09-09T18:03:15Z

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	[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]

-	Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie, die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.	+	Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.

	[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir ~~das Problem~~:	+	Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir die folgende Optimierungsaufgabe:

	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.		::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.

-	Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\ </math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum ~~für einen~~ stationären Punkt an.	+	Die Funktion A ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\ </math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum in einem stationären Punkt an.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0\,.</math> Das ergibt die Gleichung	+	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0\,</math>. Das ergibt die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0\,.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0\,.</math>}}
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-	Wir wissen von der ~~Figur~~ her, dass die Fläche lokale Minima in den ~~Punkten~~ <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat und ~~den kritischen Punkt~~ <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der ~~kritische Punkt~~ ein Maximum ~~sein~~, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung.	+	Wir wissen von der Zeichnung her, dass die Fläche lokale Minima an den Stellen <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat und die kritische Stelle <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss die Funktion an der kritischen Stelle ein Maximum haben, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Also ~~ist~~ <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maximum, da es das einzige lokale Maximum ist.	+	Also hat die Funktion an der Stelle <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maximum, da es das einzige lokale Maximum ist.

Moni um 19:27, 21. Aug. 2009

2009-08-21T19:27:56Z

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Zeile 18:		Zeile 18:
	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.		::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.

-	Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum für einen stationären Punkt an.	+	Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\ </math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum für einen stationären Punkt an.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist

Sekretariat1 um 14:18, 20. Aug. 2009

2009-08-20T14:18:17Z

Bayerer um 10:21, 5. Aug. 2009

2009-08-05T10:21:14Z

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	[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]

-	Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.	+	Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie, die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.

	[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Begrenzen wir den Winkel ~~sodass~~ er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir das Problem:	+	Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir das Problem:

	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn		::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn
	<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.		<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.

-	Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, ~~Und~~ also nimmt die Funktion ihr ~~Maxima~~ für einen stationären Punkt an.	+	Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum für einen stationären Punkt an.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 28:		Zeile 28:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0</math> ~~und~~ dies ergibt die Gleichung	+	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0</math> dies ergibt die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}
Zeile 39:		Zeile 39:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>, ~~und~~ durch quadratische Ergänzung erhalten wir	+	Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>, durch quadratische Ergänzung erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 46:		Zeile 46:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und~~ wir erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.	+	wir erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.

	Der Fall dass <math>\sin \alpha =-1</math> ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.		Der Fall dass <math>\sin \alpha =-1</math> ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.


-	Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat, und den kritischen Punkt <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der kritische Punkt ein ~~Maxima~~ sein, ~~aber~~ wir zeigen dies ~~auch~~ mit der zweiten Ableitung,	+	Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat, und den kritischen Punkt <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der kritische Punkt ein Maximum sein, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 65:		Zeile 65:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales ~~Maxima~~, nachdem es das einzige lokale ~~Maxima~~ ist.	+	Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maximum, nachdem es das einzige lokale Maximum ist.

Martin um 12:09, 27. Apr. 2009

2009-04-27T12:09:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:09, 27. Apr. 2009
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-	~~The channel holds most water when its cross-sectional area is greatest~~.	+	Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.

	[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]

-	~~By dividing up the channel's cross-section into a rectangle and two triangles we can~~, ~~with the help of a little trigonometry, determine the lengths of the rectangle's and triangles' sides, and thence the cross-sectional area~~.	+	Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.

	[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]

-	~~The area of the cross-section is~~	+	Die Fläche ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 14:		Zeile 14:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~If we limit the angle to lie between~~ <math>0</math> ~~and~~ <math>\pi/2</math>, ~~the problem can be formulated as~~:	+	Begrenzen wir den Winkel sodass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir das Problem:

-	::~~Maximise the function~~ <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> ~~when~~	+	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn
	<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.		<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.

-	~~The area function is a differentiable function and the area is least when~~ <math>\alpha=0</math> or <math>\alpha=\pi/2\,</math>, ~~so the area must assume its maximum at a critical point of the area function~~.	+	Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, Und also nimmt die Funktion ihr Maxima für einen stationären Punkt an.

-	~~We differentiate the area function:~~	+	Die Ableitung ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 28:		Zeile 28:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~At a critical point~~ <math>A'(\alpha)=0</math> ~~and this gives us the equation~~	+	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0</math> und dies ergibt die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}

-	~~after eliminating the factor~~ -100. ~~We replace~~ <math>\cos^2\!\alpha</math> ~~with~~ <math>1-\sin^2\!\alpha</math> ~~(according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in~~ <math>\sin\alpha\,</math>,	+	Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben. Wir ersetzen <math>\cos^2\!\alpha</math> mit <math>1-\sin^2\!\alpha</math> und erhalten eine Gleichung mit nur <math>\sin\alpha\,</math>-Termen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 39:		Zeile 39:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~This is a second-degree equation in~~ <math>\sin\alpha</math> ~~and completing the square gives that~~	+	Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 46:		Zeile 46:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and we obtain~~ <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, ~~i.e.~~ <math>\sin \alpha = -1</math> or <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.	+	und wir erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.

-	~~The case~~ <math>\sin \alpha =-1</math> ~~is not satisfied for~~ <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> ~~and~~ <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> ~~gives~~ <math>\alpha = \pi/6</math>. ~~Thus~~ <math>\alpha = \pi/6\,</math> ~~is a critical point~~.	+	Der Fall dass <math>\sin \alpha =-1</math> ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.


-	~~If we summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at~~ <math>\alpha = 0</math> ~~and~~ <math>\alpha = \pi/2</math> ~~and that we have a critical point at~~ <math>\alpha = \pi/6\,</math>. ~~This critical point must be a maximum~~, ~~which we can also show using the second derivative~~,	+	Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat, und den kritischen Punkt <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der kritische Punkt ein Maxima sein, aber wir zeigen dies auch mit der zweiten Ableitung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 58:		Zeile 58:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~which is negative at~~ <math>\alpha = \pi/6</math>,	+	Dieser Ausdruck ist negativ für <math>\alpha = \pi/6</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 65:		Zeile 65:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~There are no local maximum points other than~~ <math>\alpha = \pi/6\,</math>, ~~which must therefore also be a global maximum~~.	+	Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maxima, nachdem es das einzige lokale Maxima ist.

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2009-03-11T10:12:55Z

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Version vom 10:12, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T12:56:54Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 10:30, 21. Okt. 2008

2008-10-21T10:30:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:30, 21. Okt. 2008
Zeile 9:		Zeile 9:
	The area of the cross-section is		The area of the cross-section is

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	A(\alpha) &= 10\cdot 10\cos\alpha + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 10\cos\alpha \cdot 10\sin\alpha\\[5pt]
		+	&= 100\cos \alpha (1+\sin\alpha)\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	<math>\~~begin{align}~~	+	If we limit the angle to lie between <math>0</math> and <math>\pi/2</math>, the problem can be formulated as:
-	~~& A\left( \alpha \right)=10\centerdot 10\cos \alpha +~~2~~\centerdot \frac{1}{2}\centerdot 10\cos \alpha \centerdot 10\sin \alpha \\~~	+
-	~~& =100\cos \alpha \left( 1+\sin \alpha \right) \\~~	+
-	~~\end{align}~~</math>	+

		+	::Maximise the function <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> when
		+	<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.

-	~~If we limit the angle to lie between~~	+	The area function is a differentiable function and the area is least when <math>\alpha=0</math> or <math>\alpha=\pi/2\,</math>, so the area must assume its maximum at a critical point of the area function.
-	~~<math>0</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>{\pi }/{2}\;</math>, the problem can be formulated as :~~	+
-		+
-	~~Maximise the function~~	+
-	~~<math>A\left( \alpha \right)=100\cos \alpha \left( 1+\sin \alpha \right)</math>~~	+
-	~~when~~	+
-	~~<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\;</math>~~	+
-	.	+
-	The area function is a differentiable function and the area is least when	+
-	<math>\alpha =0</math>	+
-	or	+
-	<math>\alpha ={\pi }/{2}\;</math>, so the area must assume its maximum at a critical point of the area function.	+

	We differentiate the area function:		We differentiate the area function:

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	A'(\alpha) &= 100\cdot (-\sin\alpha)\cdot (1+\sin\alpha) + 100\cdot\cos\alpha \cdot \cos\alpha\\[5pt]
		+	&= -100\sin\alpha - 100\sin^2\!\alpha + 100\cos^2\!\alpha\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

-	~~<math>\begin{align}~~	+	At a critical point <math>A'(\alpha)=0</math> and this gives us the equation
-	~~& {A}'\left( \alpha \right)=100\centerdot \left( -\sin \alpha \right)\centerdot \left( 1+\sin \alpha \right)+100\centerdot \cos \alpha \centerdot \cos \alpha \\~~	+
-	~~& =-100\sin \alpha -100\sin ^{2}\alpha +100\cos ^{2}\alpha \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+
-		+
-		+
-	At a critical point	+
-	<math>{A}'~~\left~~( \alpha ~~\right~~)=0</math>	+
-	and this gives us the equation	+
-		+
-	~~<math>\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha =0</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~after eliminating the factor~~	+
-	~~<math>-100</math>. We replace~~	+
-	~~<math>\cos ^{2}\alpha </math>~~	+
-	~~with~~	+
-	~~<math>1-\sin ^{2}\alpha </math>~~	+
-	~~(according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in~~	+
-	~~<math>\sin \alpha </math>,~~	+
-		+
-	~~<math>\begin{align}~~	+
-	~~& \sin \alpha +\sin ^{2}\alpha -\left( 1-\sin ^{2}\alpha \right)=0 \\~~	+
-	~~& 2\sin ^{2}\alpha +\sin \alpha -1=0 \\~~	+
-	~~\end{align}</math>~~	+

-	~~This is a second-degree equation in~~ sin alpha ~~and completing the square gives that~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}

-	<math>\~~begin{align}~~	+	after eliminating the factor -100. We replace <math>\cos^2\!\alpha</math> with <math>1-\sin^2\!\alpha</math> (according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in <math>\sin\alpha\,</math>,
-	& 2\~~left( \sin~~ \alpha ~~+\frac{~~1~~}{4} \right)^{2}~~-2\~~left( \frac{1}{4} \right)~~^{2~~}-1=0~~ \\	+
-	~~& \left~~( \sin \alpha ~~+\frac{1}{4} \right)^{2}=\frac{9}{16} \\~~	+
-	\~~end{align}~~</math>,	+

-	~~and we obtain~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\sin \alpha =-\~~frac{1}{4}~~\pm \~~frac{3}{4}</math>~~	+	\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt]
-	~~i.e.~~	+	2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{.}
-	~~<math>~~\sin \alpha =~~-1</math>~~	+	\end{align}</math>}}
-	or	+
-	~~<math>~~\sin \alpha =\~~frac~~{1}{2}</math>	+

-	~~The case~~	+	This is a second-degree equation in <math>\sin\alpha</math> and completing the square gives that
-	<math>\sin \alpha ~~=-1~~</math>	+
-	~~is not satisfied for~~	+
-	~~<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\;</math>~~	+
-	and	+
-	~~<math>\sin \alpha =\frac{1}{2}</math>~~	+
-	gives	+
-	~~<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>. Thus~~	+
-	~~<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>~~	+

-	~~is a critical point.~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt]
		+	\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16}
		+	\end{align}</math>}}

-	If we ~~summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at~~	+	and we obtain <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, i.e. <math>\sin \alpha = -1</math> or <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.
-	<math>\alpha =0</math>	+
-	~~and~~	+
-	<math>\alpha =~~{\pi }/{2}\;~~</math>	+
-	~~and that we have a critical point at .~~	+
-	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>	+
-	~~This critical point must be a maximum, which we can also show using the second derivative,~~	+

		+	The case <math>\sin \alpha =-1</math> is not satisfied for <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> and <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gives <math>\alpha = \pi/6</math>. Thus <math>\alpha = \pi/6\,</math> is a critical point.

-	<math>\begin{align}
-	& {A}''\left( \alpha \right)=-100\cos \alpha -100\centerdot 2\sin \alpha \centerdot \cos \alpha +100\centerdot 2\cos \alpha \centerdot \left( -\sin \alpha \right) \\
-	& =-100\cos \alpha \left( 1+4\sin \alpha \right) \\
-	\end{align}</math>

		+	If we summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at <math>\alpha = 0</math> and <math>\alpha = \pi/2</math> and that we have a critical point at <math>\alpha = \pi/6\,</math>. This critical point must be a maximum, which we can also show using the second derivative,

-	~~which is negative at~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\alpha ={\~~pi }/~~{6}\;</math>,	+	A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt]
		+	&= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,,
		+	\end{align}</math>}}

		+	which is negative at <math>\alpha = \pi/6</math>,

-	<math>\begin{align}	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	~~& {~~A}''~~\left~~( ~~\frac{~~\pi }{6~~} \right~~)=-100\cos \frac{\pi }{6}\~~centerdot~~ \~~left~~( 1+4\sin \frac{\pi }{6} \~~right~~) \\	+	A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt]
-	& =-100\~~centerdot~~ \frac{\sqrt{3}}{2}\~~centerdot~~ \~~left~~( 1+4\~~centerdot~~ \frac{1}{2} \~~right~~)<0 \\	+	&= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{.}
-	\end{align}</math>	+	\end{align}</math>}}

-	There are no local maximum points other than	+	There are no local maximum points other than <math>\alpha = \pi/6\,</math>, which must therefore also be a global maximum.
-	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>, which must therefore also be a global maximum.	+

Ian um 10:31, 16. Okt. 2008

2008-10-16T10:31:51Z

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-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	The channel holds most water when its cross-sectional area is greatest.
-	~~<center> [[Image:1_3_5~~-~~1(4)~~.~~gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	~~<center> [[Image:1_3_5-2(4).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	~~<center> [[Image:1_3_5-3(4).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	~~<center> [[Image:1_3_5-4(4).gif]] </center>~~	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+

	[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_1.gif\|center]]
		+
		+	By dividing up the channel's cross-section into a rectangle and two triangles we can, with the help of a little trigonometry, determine the lengths of the rectangle's and triangles' sides, and thence the cross-sectional area.

	[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]		[[Image:1_3_5_1_2.gif\|center]]
		+
		+	The area of the cross-section is
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& A\left( \alpha \right)=10\centerdot 10\cos \alpha +2\centerdot \frac{1}{2}\centerdot 10\cos \alpha \centerdot 10\sin \alpha \\
		+	& =100\cos \alpha \left( 1+\sin \alpha \right) \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	If we limit the angle to lie between
		+	<math>0</math>
		+	and
		+	<math>{\pi }/{2}\;</math>, the problem can be formulated as :
		+
		+	Maximise the function
		+	<math>A\left( \alpha \right)=100\cos \alpha \left( 1+\sin \alpha \right)</math>
		+	when
		+	<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\;</math>
		+	.
		+	The area function is a differentiable function and the area is least when
		+	<math>\alpha =0</math>
		+	or
		+	<math>\alpha ={\pi }/{2}\;</math>, so the area must assume its maximum at a critical point of the area function.
		+
		+	We differentiate the area function:
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& {A}'\left( \alpha \right)=100\centerdot \left( -\sin \alpha \right)\centerdot \left( 1+\sin \alpha \right)+100\centerdot \cos \alpha \centerdot \cos \alpha \\
		+	& =-100\sin \alpha -100\sin ^{2}\alpha +100\cos ^{2}\alpha \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	At a critical point
		+	<math>{A}'\left( \alpha \right)=0</math>
		+	and this gives us the equation
		+
		+	<math>\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha =0</math>
		+
		+
		+	after eliminating the factor
		+	<math>-100</math>. We replace
		+	<math>\cos ^{2}\alpha </math>
		+	with
		+	<math>1-\sin ^{2}\alpha </math>
		+	(according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in
		+	<math>\sin \alpha </math>,
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& \sin \alpha +\sin ^{2}\alpha -\left( 1-\sin ^{2}\alpha \right)=0 \\
		+	& 2\sin ^{2}\alpha +\sin \alpha -1=0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	This is a second-degree equation in sin alpha and completing the square gives that
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& 2\left( \sin \alpha +\frac{1}{4} \right)^{2}-2\left( \frac{1}{4} \right)^{2}-1=0 \\
		+	& \left( \sin \alpha +\frac{1}{4} \right)^{2}=\frac{9}{16} \\
		+	\end{align}</math>,
		+
		+	and we obtain
		+	<math>\sin \alpha =-\frac{1}{4}\pm \frac{3}{4}</math>
		+	i.e.
		+	<math>\sin \alpha =-1</math>
		+	or
		+	<math>\sin \alpha =\frac{1}{2}</math>
		+
		+	The case
		+	<math>\sin \alpha =-1</math>
		+	is not satisfied for
		+	<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\;</math>
		+	and
		+	<math>\sin \alpha =\frac{1}{2}</math>
		+	gives
		+	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>. Thus
		+	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>
		+
		+	is a critical point.
		+
		+	If we summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at
		+	<math>\alpha =0</math>
		+	and
		+	<math>\alpha ={\pi }/{2}\;</math>
		+	and that we have a critical point at .
		+	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>
		+	This critical point must be a maximum, which we can also show using the second derivative,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& {A}''\left( \alpha \right)=-100\cos \alpha -100\centerdot 2\sin \alpha \centerdot \cos \alpha +100\centerdot 2\cos \alpha \centerdot \left( -\sin \alpha \right) \\
		+	& =-100\cos \alpha \left( 1+4\sin \alpha \right) \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	which is negative at
		+	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& {A}''\left( \frac{\pi }{6} \right)=-100\cos \frac{\pi }{6}\centerdot \left( 1+4\sin \frac{\pi }{6} \right) \\
		+	& =-100\centerdot \frac{\sqrt{3}}{2}\centerdot \left( 1+4\centerdot \frac{1}{2} \right)<0 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	There are no local maximum points other than
		+	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>, which must therefore also be a global maximum.

Tekbot: Lösning 1.3:5 moved to Solution 1.3:5: Robot: moved page

2008-09-16T14:33:21Z

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Version vom 14:33, 16. Sep. 2008

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Zeile 16:		Zeile 16:
	Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir das Problem:		Begrenzen wir den Winkel so, dass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir das Problem:

-	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn	+	::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn <math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.
-	<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.	+

-	Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum für einen stationären Punkt an.	+	Die Funktion ist überall differenzierbar und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, also nimmt die Funktion ihr Maximum für einen stationären Punkt an.

	Die Ableitung ist		Die Ableitung ist
Zeile 28:		Zeile 27:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0</math> ~~dies~~ ergibt die Gleichung	+	Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0\,.</math> Das ergibt die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0\,.</math>}}

-	Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben~~. Wir~~ ersetzen <math>\cos^2\!\alpha</math> mit <math>1-\sin^2\!\alpha</math> und erhalten eine Gleichung mit nur <math>\sin\alpha\,</math>-Termen,	+	Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben, ersetzen wir <math>\cos^2\!\alpha</math> mit <math>1-\sin^2\!\alpha</math> und erhalten eine Gleichung mit nur <math>\sin\alpha\,</math>-Termen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt]		\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt]
-	2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{.}	+	2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~Dies~~ ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>~~, durch~~ quadratische Ergänzung erhalten wir	+	Das ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt]		2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt]
	\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16}		\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16}
-	\end{align}</math>}}	+	\end{align}</math>.}}

-	~~wir~~ erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.	+	Wir erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.

-	Der Fall dass <math>\sin \alpha =-1</math> ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.	+	Der Fall, dass <math>\sin \alpha =-1</math>, ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.


-	Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat, und den kritischen Punkt <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der kritische Punkt ein Maximum sein, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung,	+	Wir wissen von der Figur her, dass die Fläche lokale Minima in den Punkten <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat und den kritischen Punkt <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der kritische Punkt ein Maximum sein, wir zeigen dies mit der zweiten Ableitung.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt]		A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt]
-	&= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,,	+	&= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Dieser Ausdruck ist negativ für <math>\alpha = \pi/6</math>,	+	Dieser Ausdruck ist negativ für <math>\alpha = \pi/6</math>.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt]		A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt]
-	&= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{.}	+	&= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maximum, ~~nachdem~~ es das einzige lokale Maximum ist.	+	Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maximum, da es das einzige lokale Maximum ist.

← Nächstältere Version		Version vom 12:56, 10. Mär. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	The area of the cross-section is		The area of the cross-section is

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	A(\alpha) &= 10\cdot 10\cos\alpha + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 10\cos\alpha \cdot 10\sin\alpha\\[5pt]		A(\alpha) &= 10\cdot 10\cos\alpha + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 10\cos\alpha \cdot 10\sin\alpha\\[5pt]
	&= 100\cos \alpha (1+\sin\alpha)\,\textrm{.}		&= 100\cos \alpha (1+\sin\alpha)\,\textrm{.}
Zeile 23:		Zeile 23:
	We differentiate the area function:		We differentiate the area function:

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	A'(\alpha) &= 100\cdot (-\sin\alpha)\cdot (1+\sin\alpha) + 100\cdot\cos\alpha \cdot \cos\alpha\\[5pt]		A'(\alpha) &= 100\cdot (-\sin\alpha)\cdot (1+\sin\alpha) + 100\cdot\cos\alpha \cdot \cos\alpha\\[5pt]
	&= -100\sin\alpha - 100\sin^2\!\alpha + 100\cos^2\!\alpha\,\textrm{.}		&= -100\sin\alpha - 100\sin^2\!\alpha + 100\cos^2\!\alpha\,\textrm{.}
Zeile 30:		Zeile 30:
	At a critical point <math>A'(\alpha)=0</math> and this gives us the equation		At a critical point <math>A'(\alpha)=0</math> and this gives us the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}

	after eliminating the factor -100. We replace <math>\cos^2\!\alpha</math> with <math>1-\sin^2\!\alpha</math> (according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in <math>\sin\alpha\,</math>,		after eliminating the factor -100. We replace <math>\cos^2\!\alpha</math> with <math>1-\sin^2\!\alpha</math> (according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in <math>\sin\alpha\,</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt]		\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt]
	2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{.}		2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{.}
Zeile 41:		Zeile 41:
	This is a second-degree equation in <math>\sin\alpha</math> and completing the square gives that		This is a second-degree equation in <math>\sin\alpha</math> and completing the square gives that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt]		2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt]
	\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16}		\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16}
Zeile 53:		Zeile 53:
	If we summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at <math>\alpha = 0</math> and <math>\alpha = \pi/2</math> and that we have a critical point at <math>\alpha = \pi/6\,</math>. This critical point must be a maximum, which we can also show using the second derivative,		If we summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at <math>\alpha = 0</math> and <math>\alpha = \pi/2</math> and that we have a critical point at <math>\alpha = \pi/6\,</math>. This critical point must be a maximum, which we can also show using the second derivative,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt]		A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt]
	&= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,,		&= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,,
Zeile 60:		Zeile 60:
	which is negative at <math>\alpha = \pi/6</math>,		which is negative at <math>\alpha = \pi/6</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt]		A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt]
	&= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{.}		&= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{.}