Lösung 1.3:3d - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 07:06, 11. Mai 2011

2011-05-11T07:06:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 07:06, 11. Mai 2011
Zeile 5:		Zeile 5:
	# Randstellen.		# Randstellen.

-	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur ~~undefiniert~~, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.	+	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Ombtut4 um 11:34, 9. Sep. 2009

2009-09-09T11:34:03Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	Lokale ~~Extrempunkte~~ einer Funktion sind entweder:	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre ~~Punkte~~ mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# singuläre ~~Punkte~~, in denen die Funktion nicht ~~differenzierbar~~ ist, oder	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
-	# ~~Endpunkte~~.	+	# Randstellen.

-	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären ~~Punkte~~ zu finden.	+	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 37:		Zeile 37:
	Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.		Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.

-	Die Funktion hat also drei stationäre ~~Punkte~~, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,	+	Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
	<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.		<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.

Zeile 130:		Zeile 130:
	\|}		\|}

-	Die Funktion hat also ein lokales Maximum ~~im Punkt~~ <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum ~~im Punkt~~ <math>x=0</math>.	+	Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=0</math>.

Moni um 19:13, 21. Aug. 2009

2009-08-21T19:13:22Z

Sekretariat1 um 13:52, 20. Aug. 2009

2009-08-20T13:52:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:52, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~Singuläre~~ Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. ~~Nachdem~~ der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,	+	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 12:		Zeile 12:
	&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]		&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
	&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]		&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
-	&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{.}	+	&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist~~, wir~~ erhalten die Gleichung	+	Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder	+	Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 30:		Zeile 30:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt]	+	t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt]
-	(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt]	+	(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt]
-	(t+1)^2 &= 2\,,	+	(t+1)^2 &= 2\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~die~~ Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur ~~einer~~ dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.	+	Die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.

-	Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,	+	Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
	<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.		<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.

-	Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass	+	Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}

-	und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir,	+	und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]		1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
	&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]		&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
-	&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2	+	&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

	Die Ableitung ist also		Die Ableitung ist also

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>.}}
-	Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren	+	Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.


Zeile 97:		Zeile 97:
	\|}		\|}

-	Durch Ausmultiplizieren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.	+	Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

Bayerer um 10:08, 5. Aug. 2009

2009-08-05T10:08:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:08, 5. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ~~ableitbar~~ ist, oder	+	# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	Wir untersuchen zuerst die ~~Bedienungen~~ 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ~~wird~~ er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,	+	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 15:		Zeile 15:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, ~~und~~ wir erhalten die Gleichung	+	Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 23:		Zeile 23:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,	+	Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 35:		Zeile 35:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~und~~ die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur einer dieser Lösungen ist positiv, und kann ~~also~~ <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.	+	die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur einer dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.

	Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,		Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
	<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.		<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.

-	Wir bestimmen deren Charakter indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass	+	Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}

-	und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> in ~~Bezug auf~~ <math>x^{2}</math> erhalten wir,	+	und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 55:		Zeile 55:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
-	~~Faktoren~~	+	Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren
-	~~wo wir einfach~~ die Vorzeichen der einzelnen ~~erhalten.~~	+


Zeile 98:		Zeile 97:
	\|}		\|}

-	~~Multiplizieren wir die einzelnen Faktoren~~, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.	+	Durch Ausmultiplizieren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.


Zeile 131:		Zeile 130:
	\|}		\|}

-	Die Funktion hat also ein lokales ~~Maxima~~ im Punkt <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales ~~Minima~~ im Punkt <math>x=0</math>.	+	Die Funktion hat also ein lokales Maximum im Punkt <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum im Punkt <math>x=0</math>.

Martin um 19:46, 26. Apr. 2009

2009-04-26T19:46:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 19:46, 26. Apr. 2009
Zeile 5:		Zeile 5:
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, wird er immer positiv.	+	Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, wird er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab um die stationären Punkte zu finden,
-	~~<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule~~,	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 16:		Zeile 15:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~The derivative is zero when the numerator is zero and this gives us the equation~~	+	Der Ausdruck ist null wenn der Zähler null ist, und wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The left-hand side is zero when one of the factors,~~ <math>x</math> or <math>1-2x^2-x^4</math> ~~is zero, i.e~~. ~~either~~ <math>x=0</math> or	+	Die linke Seite ist null wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The last equation is a second-degree equation in <math>x^2</math>, which is perhaps simpler to see if we substitute~~ <math>t=x^{2}</math>,	+	Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The solutions are obtained by completing the square,~~	+	Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 36:		Zeile 35:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and are~~ <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. ~~It is only one of these solutions~~,	+	und die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur einer dieser Lösungen ist positiv, und kann also <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
-	<math>~~t=-1+\sqrt~~{2}</math>~~,that is positive and can be equal to~~ <math>x^2\,</math>.	+

-	~~The function has therefore three critical points~~, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,	+	Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,
-	<math>x=0</math> ~~and~~ <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.	+	<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.

-	~~We can determine the character of the critical points by writing down the sign of its derivative~~. ~~It is useful to write down the derivative in an appropriately factorized form first. We know already that~~	+	Wir bestimmen deren Charakter indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. Wir wissen schon dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}

-	~~and by completing the square of the expression~~ <math>1-2x^2-x^4</math> ~~with respect to~~ <math>x^{2}</math>,	+	und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> in Bezug auf <math>x^{2}</math> erhalten wir,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 54:		Zeile 52:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~we can write the derivative in the form~~	+	Die Ableitung ist also

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
-		+	Faktoren
-	~~where it is rather simple to determine the sign of the individual factors~~.	+	wo wir einfach die Vorzeichen der einzelnen erhalten.


Zeile 100:		Zeile 98:
	\|}		\|}

-		+	Multiplizieren wir die einzelnen Faktoren, erhalten das Vorzeichen der Ableitung.
-	~~If we multiply these factors together~~, ~~we get an outline of the derivative's sign and can draw conclusions about whether the critical points are local maximum points, minimum points or neither~~.	+


Zeile 134:		Zeile 131:
	\|}		\|}

-		+	Die Funktion hat also ein lokales Maxima im Punkt <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minima im Punkt <math>x=0</math>.
-	~~The function has local maximum points at~~ <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ~~and a local minimum at~~ <math>x=0</math>.	+

Martin um 19:23, 26. Apr. 2009

2009-04-26T19:23:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 19:23, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The local extreme points of the function are one of the following,~~	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# ~~critical points~~, ~~i.e. where~~ <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~points where the function is not differentiable~~, ~~and~~	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# ~~endpoints of the interval of definition~~.	+	# Endpunkte.

-	~~We start with items~~ 2 ~~and~~ 3. ~~The function consists of a quotient of two polynomials, so the only possibility that the function is not defined or differentiable is if the denominator is zero somewhere~~. ~~The denominator~~ <math>1+x^{4}</math> is, however, a sum of the number <math>1</math> and <math>x^{4}</math> which is always positive (<math>x^{4}</math> is the square of <math>x^{2}</math>), and hence the denominator is always greater than or equal to	+	Wir untersuchen zuerst die Bedienungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert wenn der Nenner null ist. Nachdem der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, wird er immer positiv.
	<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule,		<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule,

Tekbot: Solution 1.3:3d moved to Lösung 1.3:3d: Robot: moved page

2009-03-11T10:11:55Z

Solution 1.3:3d moved to Lösung 1.3:3d: Robot: moved page

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Version vom 10:11, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T12:56:24Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 08:06, 20. Okt. 2008

2008-10-20T08:06:58Z

(Unterschied zwischen Versionen)

← Nächstältere Version		Version vom 19:13, 21. Aug. 2009
Zeile 5:		Zeile 5:
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

-	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.	+	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur undefiniert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Punkte zu finden.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 35:		Zeile 35:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Die Lösungen sind <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.	+	Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.

-	Die Funktion hat also drei stationäre Punkte; <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,	+	Die Funktion hat also drei stationäre Punkte, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
-	<math>x=0</math> und <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.	+	<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.

-	Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der ~~zweiten~~ Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass	+	Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
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	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>x</math>		\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>x</math>
	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\|		\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\|
-	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>-\sqrt{ \sqrt{2} - 1}</math>	+	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>-\sqrt{ \sqrt{2}-1}</math>
	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\|		\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\|
	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>0</math>		\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>0</math>

← Nächstältere Version		Version vom 12:56, 10. Mär. 2009
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	<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule,		<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	f^{\,\prime}(x)		f^{\,\prime}(x)
	&= \frac{\bigl(1+x^2\bigr)^{\prime}\cdot\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)\cdot \bigl(1+x^4\bigr)^{\prime}}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]		&= \frac{\bigl(1+x^2\bigr)^{\prime}\cdot\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)\cdot \bigl(1+x^4\bigr)^{\prime}}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
Zeile 18:		Zeile 18:
	The derivative is zero when the numerator is zero and this gives us the equation		The derivative is zero when the numerator is zero and this gives us the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}

	The left-hand side is zero when one of the factors, <math>x</math> or <math>1-2x^2-x^4</math> is zero, i.e. either <math>x=0</math> or		The left-hand side is zero when one of the factors, <math>x</math> or <math>1-2x^2-x^4</math> is zero, i.e. either <math>x=0</math> or

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}

	The last equation is a second-degree equation in <math>x^2</math>, which is perhaps simpler to see if we substitute <math>t=x^{2}</math>,		The last equation is a second-degree equation in <math>x^2</math>, which is perhaps simpler to see if we substitute <math>t=x^{2}</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}

	The solutions are obtained by completing the square,		The solutions are obtained by completing the square,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt]		t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt]
	(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt]		(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt]
Zeile 44:		Zeile 44:
	We can determine the character of the critical points by writing down the sign of its derivative. It is useful to write down the derivative in an appropriately factorized form first. We know already that		We can determine the character of the critical points by writing down the sign of its derivative. It is useful to write down the derivative in an appropriately factorized form first. We know already that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}

	and by completing the square of the expression <math>1-2x^2-x^4</math> with respect to <math>x^{2}</math>,		and by completing the square of the expression <math>1-2x^2-x^4</math> with respect to <math>x^{2}</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]		1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
	&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]		&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
Zeile 56:		Zeile 56:
	we can write the derivative in the form		we can write the derivative in the form

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}

	where it is rather simple to determine the sign of the individual factors.		where it is rather simple to determine the sign of the individual factors.