Lösung 1.3:3b - Versionsgeschichte

Silke2 um 17:52, 9. Sep. 2009

2009-09-09T17:52:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 17:52, 9. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung	+	Da die Funktion für alle ''x'' definiert und differenzierbar ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
Zeile 11:		Zeile 11:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	Also hat die ~~Gleichung einen stationären Stellen~~ in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>	+	Also hat die GFunktion eine stationäre Stelle in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>

	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.		Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
Zeile 24:		Zeile 24:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
-	also ~~ist~~ <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.	+	also hat die Funktion an der Stelle <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.

Ombtut4 um 11:30, 9. Sep. 2009

2009-09-09T11:30:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:30, 9. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können ~~Extrempunkte~~ nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung	+	Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
Zeile 11:		Zeile 11:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	Also hat die Gleichung einen stationären ~~Punkt~~ in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>	+	Also hat die Gleichung einen stationären Stellen in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>

-	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter ~~des~~ stationären ~~Punktes~~ zu bestimmen.	+	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.

	Die zweite Ableitung ist		Die zweite Ableitung ist

Sekretariat1 um 13:36, 20. Aug. 2009

2009-08-20T13:36:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:36, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Nachdem~~ die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung	+	Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
Zeile 11:		Zeile 11:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~also~~ hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>	+	Also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>

	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.		Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
Zeile 19:		Zeile 19:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}

-	und ist immer positiv, ~~nachdem~~ die Exponentialfunktion immer positiv ist.	+	und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

	Insbesondere gilt		Insbesondere gilt

Bayerer um 10:00, 5. Aug. 2009

2009-08-05T10:00:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:00, 5. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}

-	und wir erhalten ~~also~~ die Gleichung	+	und wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}

-	für die ~~Wurzeln~~. Diese Gleichung hat die Lösung	+	für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~und~~ also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>	+	also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>

	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.		Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
Zeile 21:		Zeile 21:
	und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.		und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.

-	~~Besonders ist~~	+	Insbesondere gilt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
-		+	also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.
-	~~und~~ also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales ~~Minima~~.	+

Martin um 17:06, 26. Apr. 2009

2009-04-26T17:06:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 17:06, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Because the function is defined and differentiable for all~~ ''x'', ~~the function can only have local extreme points at the critical points, i~~.~~e. where the derivative is zero.~~	+	Nachdem die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
-		+
-	~~For this function, the derivative is given by~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}

-	~~and if we set it to zero, we will obtain~~	+	und wir erhalten also die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}

-	~~which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution~~	+	für die Wurzeln. Diese Gleichung hat die Lösung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The function therefore has a critical point~~ <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>	+	und also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>

-	~~Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative~~.	+	Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.

-	~~The second derivative is equal to~~	+	Die zweite Ableitung ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}

-	~~and is positive for all values of ''x''~~, ~~since the exponential function is always positive~~.	+	und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.

-	~~In particular, this means that~~	+	Besonders ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}

-	~~which means that~~ <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ~~is a local minimum~~.	+	und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minima.

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2009-03-11T10:11:15Z

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Version vom 10:11, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T12:56:04Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 14:37, 17. Okt. 2008

2008-10-17T14:37:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:37, 17. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Because the function is defined and differentiable for all	+	Because the function is defined and differentiable for all ''x'', the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.
-	~~<math>~~x~~</math>~~, the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.	+

	For this function, the derivative is given by		For this function, the derivative is given by

-		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
-	<math>{f}'\~~left~~( x ~~\right~~)=-3e^{-3x}+5</math>	+
-		+

	and if we set it to zero, we will obtain		and if we set it to zero, we will obtain

		+	{{Displayed math\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}

-	<math>3e^{-3x}=5</math>	+	which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution

		+	{{Displayed math\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~which is~~ a ~~first-degree equation in~~	+	The function therefore has a critical point <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
-	<math>~~e^{~~-3x}</math>	+
-	~~and has the solution~~	+

-		+	Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative.
-	~~<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~The function therefore has a critical point~~	+
-	~~<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>~~	+
-		+
-	Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative	+

	The second derivative is equal to		The second derivative is equal to

		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}

-	~~<math>{f}''\left( x \right)=-3\centerdot \left( -3 \right)e^{-3x}=9e^{-3x}</math>~~	+	and is positive for all values of ''x'', since the exponential function is always positive.
-		+
-		+
-	and is positive for all values of	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~, since the exponential function is always positive.	+

	In particular, this means that		In particular, this means that

		+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}

-	~~<math>{f}''\left( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \right)>0</math>~~	+	which means that <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> is a local minimum.
-		+
-		+
-	which means that	+
-	<math>x=-\~~frac~~{1}{3}\ln \~~frac~~{5}{3}</math>	+
-	is a local minimum.	+

Ian um 11:40, 15. Okt. 2008

2008-10-15T11:40:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:40, 15. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	Because the function is defined and differentiable for all
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_3b~~-~~1(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>x</math>, the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	For this function, the derivative is given by
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_3b~~-2(2).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
		+	<math>{f}'\left( x \right)=-3e^{-3x}+5</math>
		+
		+
		+	and if we set it to zero, we will obtain
		+
		+
		+	<math>3e^{-3x}=5</math>
		+
		+
		+	which is a first-degree equation in
		+	<math>e^{-3x}</math>
		+	and has the solution
		+
		+
		+	<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>
		+
		+
		+	The function therefore has a critical point
		+	<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>
		+
		+	Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative
		+
		+	The second derivative is equal to
		+
		+
		+	<math>{f}''\left( x \right)=-3\centerdot \left( -3 \right)e^{-3x}=9e^{-3x}</math>
		+
		+
		+	and is positive for all values of
		+	<math>x</math>, since the exponential function is always positive.
		+
		+	In particular, this means that
		+
		+
		+	<math>{f}''\left( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \right)>0</math>
		+
		+
		+	which means that
		+	<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}</math>
		+	is a local minimum.

Tekbot: Lösning 1.3:3b moved to Solution 1.3:3b: Robot: moved page

2008-09-16T14:31:41Z

Lösning 1.3:3b moved to Solution 1.3:3b: Robot: moved page

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Version vom 14:31, 16. Sep. 2008

← Nächstältere Version		Version vom 12:56, 10. Mär. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	For this function, the derivative is given by		For this function, the derivative is given by

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}

	and if we set it to zero, we will obtain		and if we set it to zero, we will obtain

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>3e^{-3x} = 5</math>}}

	which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution		which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}

	The function therefore has a critical point <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>		The function therefore has a critical point <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
Zeile 19:		Zeile 19:
	The second derivative is equal to		The second derivative is equal to

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}

	and is positive for all values of ''x'', since the exponential function is always positive.		and is positive for all values of ''x'', since the exponential function is always positive.
Zeile 25:		Zeile 25:
	In particular, this means that		In particular, this means that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}

	which means that <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> is a local minimum.		which means that <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> is a local minimum.