Lösung 1.3:2a - Versionsgeschichte

Silke2 um 17:44, 9. Sep. 2009

2009-09-09T17:44:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 17:44, 9. Sep. 2009
Zeile 37:		Zeile 37:
	\|}		\|}

-	Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> ~~ein lokales Minimum~~.	+	Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> eine lokale Minimalstelle.

	Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.		Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

	[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]

Silke2 um 17:05, 7. Sep. 2009

2009-09-07T17:05:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 17:05, 7. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Lokale ~~Extrempunkte~~ einer Funktion sind entweder:	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre ~~Punkte~~ mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# singuläre ~~Punkte~~, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder	+	# singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# ~~Endpunkte~~.	+	# Randstellen.

	Wir untersuchen alle drei Fälle.		Wir untersuchen alle drei Fälle.
Zeile 14:		Zeile 14:
	<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>		<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>

-	<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine ~~Endpunkte~~.</li>	+	<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.</li>
	</ol>		</ol>

-	Also sind alle lokalen ~~Extrempunkte~~ auch stationäre ~~Punkte~~ und so ist <math>x=1\,</math> ~~der~~ einzige ~~Punkt~~, ~~der ein Extrempunkt~~ sein ~~könnte~~. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob ~~der Punkt ein Extrempunkt~~ ist.	+	Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist <math>x=1\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.

	{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"

Sekretariat1 um 12:41, 20. Aug. 2009

2009-08-20T12:41:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:41, 20. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~Singuläre~~ Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

Zeile 10:		Zeile 10:
	<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>		<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
-	ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>	+	ist null, wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>

	<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>		<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
Zeile 17:		Zeile 17:
	</ol>		</ol>

-	Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. ~~Wir~~ untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist~~, mit einer Vorzeichentabelle~~.	+	Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob der Punkt ein Extrempunkt ist.

	{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"

Bayerer um 15:24, 4. Aug. 2009

2009-08-04T15:24:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:24, 4. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:		Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder	+	# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.



	<ol>		<ol>
-	<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ~~ist~~	+	<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
-	~~und~~ ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also ~~wenn~~ <math>x=1\,</math>.</li>	+	ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>

-	<li>~~Nachdem~~ die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ~~ableitbar~~.</li>	+	<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>

-	<li>Die Funktion ist überall definiert, ~~und~~ also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>	+	<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
	</ol>		</ol>

-	Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und ~~also~~ ist <math>x=1\,</math> der ~~einziger~~ Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.	+	Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.

	{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"

	\|}		\|}

-	~~Nachdem~~ die Ableitung ~~lings~~ von <math>x=1</math> negativ ist, und rechts von <math>x=1</math> positiv ~~ist~~, ist <math>x=1</math> ein lokales ~~Minima~~.	+	Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum.

	Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.		Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

	[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]

Martin um 16:21, 26. Apr. 2009

2009-04-26T16:21:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 16:21, 26. Apr. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:

	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,		# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, ~~wodie~~ Funktion nicht ableitbar ist, oder	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
	# Endpunkte.		# Endpunkte.

Martin um 15:26, 26. Apr. 2009

2009-04-26T15:26:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:26, 26. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~A function has its local extreme points at the following types of points~~:	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

-	# ~~critical points~~, ~~i.e. where~~ <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# ~~points where the function is not differentiable~~, ~~and~~	+	# Singuläre Punkte, wodie Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# ~~endpoints of the interval of definition~~.	+	# Endpunkte.

-	~~We investigate these cases for our function:~~	+	Wir untersuchen alle drei Fälle.

	<ol>		<ol>
-	<li>~~The derivative of~~ <math>f(x)</math> ~~is given by~~	+	<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
-	~~and becomes zero when~~ <math>2x-2=0</math>, ~~i.e~~ <math>x=1\,</math>.</li>	+	und ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also wenn <math>x=1\,</math>.</li>

-	<li>~~Because the function is a polynomial~~, ~~it is differentiable everywhere~~.</li>	+	<li>Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.</li>

-	<li>~~The function is defined regardless of the value of ''x''~~, ~~which means that the interval of definition is the whole real axis, and there are therefore no endpoints~~.</li>	+	<li>Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
	</ol>		</ol>

-	~~The only point where the function could possibly have a local extreme point is thus~~ <math>x=1\,</math>. ~~In order to determine whether the point is a local extreme point~~, ~~we investigate the derivative using a sign table~~.	+	Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist <math>x=1\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
-		+

	{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 38:		Zeile 37:
	\|}		\|}

		+	Nachdem die Ableitung lings von <math>x=1</math> negativ ist, und rechts von <math>x=1</math> positiv ist, ist <math>x=1</math> ein lokales Minima.

-	~~Because the derivative is negative to the left of <math>x=1</math> and positive to the right of <math>x=1</math>~~, ~~then <math>x=1</math> is a local minimum.~~	+	Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
-		+
-	~~The sign table also gives information about the graph's approximate appearance and by calculating the value of the function at a couple of points, we can make a sketch of the graph~~.	+

	[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]

Tekbot: Solution 1.3:2a moved to Lösung 1.3:2a: Robot: moved page

2009-03-11T10:09:35Z

Solution 1.3:2a moved to Lösung 1.3:2a: Robot: moved page

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Version vom 10:09, 11. Mär. 2009

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2009-03-10T12:55:14Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 12:55, 10. Mär. 2009
Zeile 9:		Zeile 9:
	<ol>		<ol>
	<li>The derivative of <math>f(x)</math> is given by		<li>The derivative of <math>f(x)</math> is given by
-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
	and becomes zero when <math>2x-2=0</math>, i.e <math>x=1\,</math>.</li>		and becomes zero when <math>2x-2=0</math>, i.e <math>x=1\,</math>.</li>

Tek um 12:32, 17. Okt. 2008

2008-10-17T12:32:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:32, 17. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	A function has its local extreme points at the following types of points:		A function has its local extreme points at the following types of points:

-	1. critical points, i.e. where	+	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	<math>{~~f}'~~\~~left~~( x ~~\right~~)=0</math>;	+	# points where the function is not differentiable, and
-		+	# endpoints of the interval of definition.
-	2. points where the function is not differentiable;	+
-		+
-	3. endpoints of the interval of definition.	+

	We investigate these cases for our function:		We investigate these cases for our function:

-	1. The derivative of	+	<ol>
-	<math>f~~\left~~( x ~~\right~~)</math>	+	<li>The derivative of <math>f(x)</math> is given by
-	is given by	+	{{Displayed math\|\|<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
-		+	and becomes zero when <math>2x-2=0</math>, i.e <math>x=1\,</math>.</li>
-	<math>{f}'\~~left~~( x ~~\right~~)=2x-2</math>	+

-	~~and becomes zero when~~	+	<li>Because the function is a polynomial, it is differentiable everywhere.</li>
-	<~~math>2x-2=0</math~~>, i.e	+
-	~~<math>x=1~~</~~math~~>.	+

-	~~2. Because the~~ function is ~~a polynomial~~, it is ~~differentiable everywhere~~.	+	<li>The function is defined regardless of the value of ''x'', which means that the interval of definition is the whole real axis, and there are therefore no endpoints.</li>
		+	</ol>

-	3. The function is ~~defined regardless of the value of~~	+	The only point where the function could possibly have a local extreme point is thus <math>x=1\,</math>. In order to determine whether the point is a local extreme point, we investigate the derivative using a sign table.
-	<math>x</math>~~, which means that~~ the ~~interval of definition~~ is ~~the whole real axis~~, ~~and there are therefore no endpoints~~.	+

-	The only point where the function could possibly have a local extreme point is thus x=1. In order to determine whether the point is a local extreme point, we investigate the derivative using a sign table.

-	~~TABELL1~~	+	{\| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
		+	\|-
		+	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>x</math>
		+	\|style="background:#efefef;"\|
		+	\|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"\| <math>1</math>
		+	\|style="background:#efefef;"\|
		+	\|-
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>-</math>
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>0</math>
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>+</math>
		+	\|-
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>f(x)</math>
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>\searrow</math>
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>0</math>
		+	\|width="50px" align="center"\| <math>\nearrow</math>
		+	\|}

-	Because the derivative is negative to the left of	+
-	<math>x=1</math>	+	Because the derivative is negative to the left of <math>x=1</math> and positive to the right of <math>x=1</math>, then <math>x=1</math> is a local minimum.
-	and positive to the right of	+
-	<math>x=1</math>, then	+
-	<math>x=1</math>	+
-	is a local minimum.	+

	The sign table also gives information about the graph's approximate appearance and by calculating the value of the function at a couple of points, we can make a sketch of the graph.		The sign table also gives information about the graph's approximate appearance and by calculating the value of the function at a couple of points, we can make a sketch of the graph.
-
-	PICTURE TABELL2
-
-

	[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]

Ian um 10:07, 15. Okt. 2008

2008-10-15T10:07:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:07, 15. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{~~{NAVCONTENT_START~~}}	+	A function has its local extreme points at the following types of points:
-	<~~center~~> ~~[[Image~~:~~1_3_2a-~~1(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	1. critical points, i.e. where
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_2a~~-2~~(3)~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	2. points where the function is not differentiable;
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_3_2a-3(3)~~.~~gif]]~~ </~~center~~>	+	3. endpoints of the interval of definition.
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+
		+	We investigate these cases for our function:
		+
		+	1. The derivative of
		+	<math>f\left( x \right)</math>
		+	is given by
		+
		+	<math>{f}'\left( x \right)=2x-2</math>
		+
		+	and becomes zero when
		+	<math>2x-2=0</math>, i.e
		+	<math>x=1</math>.
		+
		+	2. Because the function is a polynomial, it is differentiable everywhere.
		+
		+	3. The function is defined regardless of the value of
		+	<math>x</math>, which means that the interval of definition is the whole real axis, and there are therefore no endpoints.
		+
		+	The only point where the function could possibly have a local extreme point is thus x=1. In order to determine whether the point is a local extreme point, we investigate the derivative using a sign table.
		+
		+	TABELL1
		+
		+	Because the derivative is negative to the left of
		+	<math>x=1</math>
		+	and positive to the right of
		+	<math>x=1</math>, then
		+	<math>x=1</math>
		+	is a local minimum.
		+
		+	The sign table also gives information about the graph's approximate appearance and by calculating the value of the function at a couple of points, we can make a sketch of the graph.
		+
		+	PICTURE TABELL2
		+
		+

	[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_3_2a-3(3).gif\|center]]