Lösung 1.1:4 - Versionsgeschichte

Moni um 13:08, 21. Aug. 2009

2009-08-21T13:08:01Z

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	[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]		[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]

-	Die Normale ~~zur~~ <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.	+	Die Normale zu <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.

	Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung		Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung
Zeile 27:		Zeile 27:
	Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.		Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot 1 + n</math>}}

	Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.		Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.

	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]

Sekretariat1 um 13:48, 19. Aug. 2009

2009-08-19T13:48:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:48, 19. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Wir schreiben die Tangente als		Wir schreiben die Tangente als

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>.}}

-	Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>,	+	Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{}</math>}}

	Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.		Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.
Zeile 23:		Zeile 23:
	Und daher ist die Normale		Und daher ist die Normale

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>.}}

-	Um ''n'' zu bestimmen verwenden wir die ~~Bedienung~~, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht,	+	Um ''n'' zu bestimmen, verwenden wir die Bedingung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}

-	~~und wir~~ erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.	+	Wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.

	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]

Bayerer um 12:05, 7. Aug. 2009

2009-08-07T12:05:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:05, 7. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir schreiben die Tangente ~~wie~~	+	Wir schreiben die Tangente als

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>}}

-	Wir wissen dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, ~~und nachdem~~ <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>,	+	Wir wissen, dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, da <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die ~~Bedienung~~ dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.	+	Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
Zeile 15:		Zeile 15:
	[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]		[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]

-	~~Der Normal~~ zur <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) ~~ist winkelrecht zur Tangent~~ im selben Punkt.	+	Die Normale zur <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt.

-	Nachdem ~~Zwei winkelrechte~~ Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat ~~der Normal~~ die Steigung	+	Nachdem zwei senkrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat die Normale die Steigung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	Und daher ist ~~der Normal~~	+	Und daher ist die Normale

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}

-	Um ''n'' zu bestimmen verwenden wir die Bedienung dass ~~der Normal~~ durch den Punkt (1,1) geht,	+	Um ''n'' zu bestimmen verwenden wir die Bedienung, dass die Normale durch den Punkt (1,1) geht,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}

Martin um 10:38, 9. Apr. 2009

2009-04-09T10:38:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:38, 9. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we write the equation of the tangent as~~	+	Wir schreiben die Tangente wie

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>}}

-	~~we know that the tangent's slope~~ ''k'' ~~is equal to the derivative of~~ <math>y = x^2</math> ~~at the point~~ <math>x=1\,</math>, ~~and since~~ <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>, so	+	Wir wissen dass die Steigung ''k'' der Tangente die Ableitung von <math>y = x^2</math> im Punkt <math>x=1\,</math> ist, und nachdem <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We can determine the constant~~ ''m'' ~~with the condition that the tangent should go through the grazing point~~ (1,1)~~, i~~.~~e. the point (1,1) should satisfy the equation of the tangent~~	+	Wir bestimmen die Konstante ''m'' durch die Bedienung dass die Tangente durch den Punkt (1,1) geht.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}

-	~~which gives that~~ <math>m=-1</math>.	+	Also ist <math>m=-1</math>.

	[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]		[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]

-	~~The normal to the curve~~ <math>y=x^2</math> ~~at the point~~ (1,1) ~~is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point~~.	+	Der Normal zur <math>y=x^2</math> im Punkt (1,1) ist winkelrecht zur Tangent im selben Punkt.

-	~~Because two straight lines which are perpendicular to each other have slopes which satisfy~~ <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math>, ~~the normal must have a slope which is equal to~~	+	Nachdem Zwei winkelrechte Geraden <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math> erfüllen, hat der Normal die Steigung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The equation of the normal can therefore be written as~~	+	Und daher ist der Normal

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}

-	~~where~~ ''n'' ~~is some constant.~~	+	Um ''n'' zu bestimmen verwenden wir die Bedienung dass der Normal durch den Punkt (1,1) geht,
-		+
-	~~Since the normal must pass through the line~~ (1,1)~~, we can determine the constant ''n'' if we substitute the point into the equation of the normal~~,	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}

-	~~and this gives~~ <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.	+	und wir erhalten <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.

	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]

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2009-03-11T10:00:55Z

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Version vom 10:00, 11. Mär. 2009

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2009-03-10T12:51:34Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 13:11, 14. Okt. 2008

2008-10-14T13:11:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:11, 14. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	If we write the equation of the tangent as		If we write the equation of the tangent as

		+	{{Displayed math\|\|<math>y=kx+m</math>}}

-	<math>y=~~kx+m~~</math>	+	we know that the tangent's slope ''k'' is equal to the derivative of <math>y = x^2</math> at the point <math>x=1\,</math>, and since <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>, so

		+	{{Displayed math\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}

-	~~we know~~ that the tangent~~'s gradient~~	+	We can determine the constant ''m'' with the condition that the tangent should go through the grazing point (1,1), i.e. the point (1,1) should satisfy the equation of the tangent
-	~~<math>k</math>~~	+
-	~~is equal to~~ the ~~derivative of~~	+
-	~~<math>y=x^{\text{2}}\text{ }</math>~~	+
-	at the point	+
-	~~<math>x=\text{~~1~~}</math>~~, ~~and since~~	+

-	~~<math>~~{~~y}'=\text~~{~~2}x</~~math~~>, so~~	+	{{Displayed math\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}
-		+
-		+
-	<math>~~k={y}'\left(~~ 1 ~~\right)~~=2\~~centerdot 1=2</math>~~	+
-		+
-	~~We can determine the constant~~	+
-	~~<math>m\text{ }</math>~~	+
-	~~with the condition that the tangent should go through the grazing point~~	+
-	~~<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>, i.e. the point~~	+
-	~~<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>~~	+
-	~~should satisfy the equation of the tangent~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>1=2\centerdot~~ 1+m</math>	+
-		+
-		+
-	~~which gives that~~	+
-	~~<math>m=-\text{1~~}~~</math>~~	+

		+	which gives that <math>m=-1</math>.

	[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]		[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]

		+	The normal to the curve <math>y=x^2</math> at the point (1,1) is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point.

-	~~The normal to the curve~~	+	Because two straight lines which are perpendicular to each other have slopes which satisfy <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math>, the normal must have a slope which is equal to
-	~~<math>y=x^{\text{2}}\text{ }</math>~~	+
-	~~at the point~~	+
-	~~<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>~~	+
-	~~is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point.~~	+
-		+
-	Because two straight lines which are perpendicular to each other have ~~gradients~~ which satisfy	+
-	<math>k_{1}\~~centerdot~~ k_{2}=-1</math>, the normal must have a ~~gradient~~ which is equal to	+
-		+
-		+
-	~~<math>-\frac{1}{k}=-\frac{1}{2}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

	The equation of the normal can therefore be written as		The equation of the normal can therefore be written as

		+	{{Displayed math\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}

-	~~<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>~~	+	where ''n'' is some constant.
-		+
-		+
-	where	+
-	~~<math>~~n~~</math>~~	+
-	is some constant.	+
-		+
-	~~Since the normal must pass through the line~~	+
-	~~<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>, we can determine the constant~~	+
-	~~<math>n</math>~~	+
-	~~if we substitute the point into the equation of the normal,~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>1=-\frac{1}{2}\centerdot +n</math>~~	+
-		+

-	~~and this gives~~	+	Since the normal must pass through the line (1,1), we can determine the constant ''n'' if we substitute the point into the equation of the normal,
-	~~<math>~~n~~=\frac{3}{2}</math>.~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}

		+	and this gives <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.

	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]

Ian um 12:12, 10. Okt. 2008

2008-10-10T12:12:29Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If we write the equation of the tangent as
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_1_4-~~1~~(3).gif]]~~ </~~center~~>	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_1_4-~~2(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:1_1_4-3~~(3).~~gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>y=kx+m</math>
-	{~~{NAVCONTENT_STOP}~~}	+
		+
		+	we know that the tangent's gradient
		+	<math>k</math>
		+	is equal to the derivative of
		+	<math>y=x^{\text{2}}\text{ }</math>
		+	at the point
		+	<math>x=\text{1}</math>, and since
		+
		+	<math>{y}'=\text{2}x</math>, so
		+
		+
		+	<math>k={y}'\left( 1 \right)=2\centerdot 1=2</math>
		+
		+	We can determine the constant
		+	<math>m\text{ }</math>
		+	with the condition that the tangent should go through the grazing point
		+	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>, i.e. the point
		+	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>
		+	should satisfy the equation of the tangent
		+
		+
		+	<math>1=2\centerdot 1+m</math>
		+
		+
		+	which gives that
		+	<math>m=-\text{1}</math>


	[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]		[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]
		+
		+
		+	The normal to the curve
		+	<math>y=x^{\text{2}}\text{ }</math>
		+	at the point
		+	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>
		+	is the straight line which is perpendicular to the tangent at the same point.
		+
		+	Because two straight lines which are perpendicular to each other have gradients which satisfy
		+	<math>k_{1}\centerdot k_{2}=-1</math>, the normal must have a gradient which is equal to
		+
		+
		+	<math>-\frac{1}{k}=-\frac{1}{2}</math>
		+
		+
		+	The equation of the normal can therefore be written as
		+
		+
		+	<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>
		+
		+
		+	where
		+	<math>n</math>
		+	is some constant.
		+
		+	Since the normal must pass through the line
		+	<math>\left( 1 \right.,\left. 1 \right)</math>, we can determine the constant
		+	<math>n</math>
		+	if we substitute the point into the equation of the normal,
		+
		+
		+	<math>1=-\frac{1}{2}\centerdot +n</math>
		+
		+
		+	and this gives
		+	<math>n=\frac{3}{2}</math>.
		+
		+
		+
	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]

Tekbot: Lösning 1.1:4 moved to Solution 1.1:4: Robot: moved page

2008-09-16T14:21:21Z

Lösning 1.1:4 moved to Solution 1.1:4: Robot: moved page

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Version vom 14:21, 16. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T07:50:24Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 07:50, 21. Aug. 2008
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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:1_1_4-1(3).gif]] </center>	+	<center> [[Image:1_1_4-1(3).gif]] </center>
-	<center> [[~~Bild~~:1_1_4-2(3).gif]] </center>	+	<center> [[Image:1_1_4-2(3).gif]] </center>
-	<center> [[~~Bild~~:1_1_4-3(3).gif]] </center>	+	<center> [[Image:1_1_4-3(3).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}


-	[[~~Bild~~:1_1_4_1.gif\|center]]	+	[[Image:1_1_4_1.gif\|center]]
-	[[~~Bild~~:1_1_4-3(3).gif\|center]]	+	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]

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	If we write the equation of the tangent as		If we write the equation of the tangent as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y=kx+m</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=kx+m</math>}}

	we know that the tangent's slope ''k'' is equal to the derivative of <math>y = x^2</math> at the point <math>x=1\,</math>, and since <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>, so		we know that the tangent's slope ''k'' is equal to the derivative of <math>y = x^2</math> at the point <math>x=1\,</math>, and since <math>y^{\,\prime} = 2x\,</math>, so

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>k = y^{\,\prime}(1) = 2\cdot 1 = 2\,\textrm{.}</math>}}

	We can determine the constant ''m'' with the condition that the tangent should go through the grazing point (1,1), i.e. the point (1,1) should satisfy the equation of the tangent		We can determine the constant ''m'' with the condition that the tangent should go through the grazing point (1,1), i.e. the point (1,1) should satisfy the equation of the tangent

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 = 2\cdot 1 + m</math>}}

	which gives that <math>m=-1</math>.		which gives that <math>m=-1</math>.
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	Because two straight lines which are perpendicular to each other have slopes which satisfy <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math>, the normal must have a slope which is equal to		Because two straight lines which are perpendicular to each other have slopes which satisfy <math>k_{1}\cdot k_{2} = -1\,</math>, the normal must have a slope which is equal to

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

	The equation of the normal can therefore be written as		The equation of the normal can therefore be written as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=-\frac{1}{2}x+n</math>}}

	where ''n'' is some constant.		where ''n'' is some constant.
Zeile 29:		Zeile 29:
	Since the normal must pass through the line (1,1), we can determine the constant ''n'' if we substitute the point into the equation of the normal,		Since the normal must pass through the line (1,1), we can determine the constant ''n'' if we substitute the point into the equation of the normal,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1=-\frac{1}{2}\cdot + n</math>}}

	and this gives <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.		and this gives <math>n=\tfrac{3}{2}\,</math>.

	[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]		[[Image:1_1_4-3(3).gif\|center]]