3.4 Komplexe Polynome - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:49, 30. Sep. 2010

2010-09-30T13:49:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:49, 30. Sep. 2010
Zeile 120:		Zeile 120:
	<math>\phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x</math>		<math>\phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x</math>

-	<math>\phantom{-(x^3}\underline{-(~~\phantom{~~-} x^2 -2x)}</math>	+	<math>\phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}</math>

	<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4</math>		<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4</math>

Dagmar Timmreck um 12:16, 30. Sep. 2010

2010-09-30T12:16:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:16, 30. Sep. 2010
Zeile 93:		Zeile 93:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}

-	~~Jetzt~~ ist ~~es offenbar~~, ~~dass~~ <math>x^3+2x^2</math>als <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann und~~, dass~~ wir den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können	+	Dieser Term ist so gewählt, weil <math>x^3+2x^2</math>als <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}

-	Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term ~~vom~~ Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term beseitigen	+	Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term im Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term beseitigen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante ~~zum/vom~~ Zähler	+	Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 110:		Zeile 110:


-	Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Da der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> ~~nicht ein~~ Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.	+	Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Da der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> kein Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
		+
		+	Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:
		+
		+	<math>\phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}</math>
		+
		+	<math>\underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}</math>
		+
		+	<math>\phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x</math>
		+
		+	<math>\phantom{-(x^3}\underline{-(\phantom{-} x^2 -2x)}</math>
		+
		+	<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4</math>
		+
		+	<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}</math>
		+
		+	<math> \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2</math>

	</div>		</div>

Dagmar Timmreck um 13:30, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:30:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:30, 11. Aug. 2010
Zeile 23:		Zeile 23:
	* Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.		* Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Polynome ==		== A - Polynome ==

Sekretariat1 um 09:04, 4. Sep. 2009

2009-09-04T09:04:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 09:04, 4. Sep. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}

-	Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' ~~benannt~~, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.	+	Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' genannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.

Sekretariat1 um 09:03, 4. Sep. 2009

2009-09-04T09:03:25Z

(Unterschied zwischen Versionen)

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

2009-09-02T07:46:39Z

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:46, 2. Sep. 2009
Zeile 264:		Zeile 264:

	</div>		</div>
		+	<br><br>
		+
		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.4 Übungen\|Übungen]]''' .

Moni um 12:39, 25. Aug. 2009

2009-08-25T12:39:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:39, 25. Aug. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}

-	Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\~~times~~ 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' benannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.	+	Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' benannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.

Moni um 12:29, 25. Aug. 2009

2009-08-25T12:29:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:29, 25. Aug. 2009
Zeile 40:		Zeile 40:
	Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10,		Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10,

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1353= 1\~~times~~ 10^3 + 3\~~times~~ 10^2 + 5\~~times~~ 10 + 3</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math>}}

	Mit dem Polynom <math>p(x)</math>		Mit dem Polynom <math>p(x)</math>

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\~~times~~ x^3 + 3\~~times~~ x^2 + 5\~~times~~ x + 3</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}

	und die folgenden Divisionen,		und die folgenden Divisionen,

-	*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> nachdem <math>\ 1353= 123\~~times~~ 11\,</math>,	+	*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> nachdem <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,

	*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> nachdem <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.		*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> nachdem <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.

Bayerer um 15:20, 14. Aug. 2009

2009-08-14T15:20:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:20, 14. Aug. 2009
Zeile 24:		Zeile 24:
	}}		}}

-	== Polynome ==	+	== A - Polynome ==

	Ausdrücke in der Form		Ausdrücke in der Form
Zeile 75:		Zeile 75:


-	== Polynomdivision ==	+	== B - Polynomdivision ==

	Wenn <math>p(x)</math> einen Grad hat, der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.		Wenn <math>p(x)</math> einen Grad hat, der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.
Zeile 113:		Zeile 113:


-	==Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==	+	== C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==

	Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt, dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Besonders		Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt, dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Besonders
Zeile 192:		Zeile 192:


-	== Fundamentalsatz der Algebra ==	+	== D - Fundamentalsatz der Algebra ==

	Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':		Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':

Bayerer um 13:40, 3. Aug. 2009

2009-08-03T13:40:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:40, 3. Aug. 2009
Zeile 16:		Zeile 16:
	'''Lernziele:'''		'''Lernziele:'''

-	Nach diesem Abschnitt ~~sollten Sie~~ folgendes können:	+	Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

	* Polynomdivision ausführen.		* Polynomdivision ausführen.
Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}

-	wo <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' ~~mit dem~~ Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.	+	wobei <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' vom Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.


Zeile 38:		Zeile 38:
	''' Beispiel 1'''		''' Beispiel 1'''

-	~~Vergleichen Sie~~ folgende Zahl in der Basis 10,	+	Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1353= 1\times 10^3 + 3\times 10^2 + 5\times 10 + 3</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1353= 1\times 10^3 + 3\times 10^2 + 5\times 10 + 3</math>}}

-	Mit dem Polynom <math>x</math>	+	Mit dem Polynom <math>p(x)</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\times x^3 + 3\times x^2 + 5\times x + 3</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\times x^3 + 3\times x^2 + 5\times x + 3</math>}}
Zeile 54:		Zeile 54:
	</div>		</div>

-	Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom ~~mit dem~~ Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' ~~mit dem~~ Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.	+	Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' vom Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.

	Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel		Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel
Zeile 84:		Zeile 84:


-	~~Berechnen Sie~~ <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.	+	Berechne <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.


Zeile 132:		Zeile 132:


-	Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann ~~wie~~	+	Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann so
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}

Zeile 144:		Zeile 144:

	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li> ~~Zerlegen Sie~~ das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.	+	<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
Zeile 154:		Zeile 154:
	</li>		</li>

-	<li> ~~Zerlegen Sie~~ das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.	+	<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Dieses Polynom hat eine doppelte ~~Wurzel~~	+	Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
Zeile 164:		Zeile 164:
	</li>		</li>

-	<li>~~Zerlegen Sie~~ das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.	+	<li>Zerlege das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
Zeile 171:		Zeile 171:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}

-	~~und~~ die Faktoren sind also <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.	+	die Faktoren sind also <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
	</li>		</li>

Zeile 182:		Zeile 182:


-	~~Bestimmen Sie~~ ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.	+	Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
Zeile 196:		Zeile 196:
	Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':		Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':

-	<div class="regel">~~http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/skins/mathse/spacer.gif~~	+	<div class="regel">
	'''Fundamentalsatz der Algebra'''		'''Fundamentalsatz der Algebra'''

Zeile 217:		Zeile 217:


-	~~Zeigen Sie~~, dass das Polynom <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> die Nullstellen <math>x=i</math> und <math>x = 2-i</math> hat. ~~Bestimmen Sie dadurch~~ alle Nullstellen.	+	Zeige, dass das Polynom <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> die Nullstellen <math>x=i</math> und <math>x = 2-i</math> hat. Bestimme damit alle Nullstellen.


Zeile 239:		Zeile 239:
	</div>		</div>

-	Eine ~~Folges des~~ Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.	+	Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.


Zeile 245:		Zeile 245:
	''' Beispiel 7'''		''' Beispiel 7'''

-	~~Zeigen Sie~~, dass <math>x=1</math> eine Nullstelle von <math>p(x)= x^3+x^2-2</math> ist. Zerlegen Sie danach <math>p(x)</math> in reelle Polynome und zerlegen sie dann schließlich <math>p(x)</math> in lineare Faktoren.	+	Zeige, dass <math>x=1</math> eine Nullstelle von <math>p(x)= x^3+x^2-2</math> ist. Zerlegen Sie danach <math>p(x)</math> in reelle Polynome und zerlegen sie dann schließlich <math>p(x)</math> in lineare Faktoren.