3.3 Potenzen und Wurzeln - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 12:09, 5. Okt. 2010

2010-10-05T12:09:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:09, 5. Okt. 2010
Zeile 369:		Zeile 369:
	</div>		</div>

-	Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel	+	Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

Dagmar Timmreck um 12:04, 21. Sep. 2010

2010-09-21T12:04:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:04, 21. Sep. 2010
Zeile 107:		Zeile 107:
	</div>		</div>

-	~~Eine Lösung~~ dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.	+	Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

	Ist eine Zahl <math> w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung		Ist eine Zahl <math> w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung

Dagmar Timmreck um 12:03, 21. Sep. 2010

2010-09-21T12:03:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:03, 21. Sep. 2010
Zeile 100:		Zeile 100:


-	== B - ~~Die~~ ''n''te ~~Wurzel~~ von komplexen Zahlen ==	+	== B - ''n''te Wurzeln von komplexen Zahlen ==

-	Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird ~~die~~ ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls	+	Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

-	~~Die Lösungen~~ dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.	+	Eine Lösung dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

	Ist eine Zahl <math> w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung		Ist eine Zahl <math> w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung
Zeile 123:		Zeile 123:

	Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.		Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.
		+

Dagmar Timmreck um 13:30, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:30:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:30, 11. Aug. 2010
Zeile 25:		Zeile 25:
	* Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.		* Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
		+
	== A - Moivrescher Satz==		== A - Moivrescher Satz==

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

2009-09-02T07:45:49Z

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:45, 2. Sep. 2009
Zeile 472:		Zeile 472:

	</div>		</div>
		+	<br><br>
		+
		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.3 Übungen\|Übungen]]''' .

Dima um 22:25, 30. Aug. 2009

2009-08-30T22:25:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 22:25, 30. Aug. 2009
Zeile 61:		Zeile 61:
	''' Beispiel 2'''		''' Beispiel 2'''

-	~~Normalerweise würden wir hier die binomische~~ Formel ~~benutzen~~	+	Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align}</math>}}

-	~~und mit~~ den Moivreschen Satz erhalten wir	+	aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}

Sekretariat1 um 11:02, 28. Aug. 2009

2009-08-28T11:02:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:02, 28. Aug. 2009
Zeile 359:		Zeile 359:
	Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir		Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i~~\,\mbox{,}~~\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.		Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
Zeile 463:		Zeile 463:
	Durch die Lösungsformel erhalten wir		Durch die Lösungsformel erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align}</math>,}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher		indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher

Sekretariat1 um 10:49, 28. Aug. 2009

2009-08-28T10:49:28Z

Sekretariat1 um 09:31, 28. Aug. 2009

2009-08-28T09:31:09Z

Sekretariat1 um 09:00, 28. Aug. 2009

2009-08-28T09:00:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:49, 28. Aug. 2009
Zeile 294:		Zeile 294:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>, Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.	+	Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>. Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
	</li>		</li>

Zeile 309:		Zeile 309:
	</div>		</div>

-	Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des ''x''-Terms ist. Diese Methode ~~ist ganz allgemein und~~ funktioniert auch für komplexe Gleichungen.	+	Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des ''x''-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.


Zeile 321:		Zeile 321:
	Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> auf beiden Seiten addieren		Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> auf beiden Seiten addieren

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9~~}\,\mbox{,~~}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9~~}\,\mbox{,~~}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Wir sehen, dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.	+	Wir sehen, dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch, dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.

	</div>		</div>
Zeile 336:		Zeile 336:
	Durch quadratische Ergänzung erhalten wir		Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2~~\,\mbox{,}~~\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q~~\,\mbox{,}~~\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align}</math>}}

	Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen		Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Zeile 353:		Zeile 353:


-	Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>~~, und daher~~ addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung,	+	Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>. Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 365:		Zeile 365:
	</div>		</div>

-	Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel,	+	Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
Zeile 392:		Zeile 392:
	Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir		Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (x+iy)^2 &= a+ib~~\,\mbox{,}~~\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen erhalten wir	+	Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align}\right.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align}\right.</math>}}
Zeile 408:		Zeile 408:


-	Wir nehmen an, dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> wo <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir	+	Wir nehmen an, dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math>, wobei <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (x+iy)^2 &= -3-4i~~\,\mbox{,}~~\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i~~\,\mbox{,}~~\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align}</math>}}

	und wir erhalten die beiden Gleichungen		und wir erhalten die beiden Gleichungen
Zeile 416:		Zeile 416:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl\{\begin{align} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl\{\begin{align} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Von der zweiten Gleichung erhalten wir~~, dass~~ <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>~~, und dies substituiert~~ in der ersten Gleichung ergibt	+	Von der zweiten Gleichung erhalten wir <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>. Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}

-	Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten lösen, indem wir <math>t=x^2</math> substituieren,	+	Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten lösen, indem wir <math>t=x^2</math> substituieren

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}

-	Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig, ~~nachdem~~ <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, und dadurch	+	Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math> und dadurch
-	* <math>\ x=-1\ </math> ~~gibt~~ dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,	+	* <math>\ x=-1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
-	* <math>\ x=1\ </math> ~~gibt~~ dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.	+	* <math>\ x=1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.

	Also ist		Also ist
Zeile 442:		Zeile 442:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (~~Siehe~~ Beispiel 12) ~~dass~~	+	Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 459:		Zeile 459:
	Division auf beiden Seiten durch <math>i</math> ergibt		Division auf beiden Seiten durch <math>i</math> ergibt

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0~~\,\mbox{,}~~\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	Durch die Lösungsformel erhalten wir		Durch die Lösungsformel erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align}</math>,}}

-	~~Indem~~ wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher	+	indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\biggl\{\begin{align} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\biggl\{\begin{align} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

← Nächstältere Version		Version vom 09:31, 28. Aug. 2009
Zeile 138:		Zeile 138:
	Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir		Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align}</math>}}

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
Zeile 153:		Zeile 153:


-	== C - Exponentialform der komplexen Zahlen==	+	== C - Exponentialform der komplexen Zahlen==


-	Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten (in der <math>r</math> also konstant ist),	+	Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten (in der <math>r</math> also konstant ist), ergibt sich

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}

-	~~erhalten~~ wir durch wiederholte Ableitung	+	und wir erhalten durch wiederholte Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align}</math>}}
Zeile 172:		Zeile 172:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}

-	Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, ~~nachdem~~ <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.	+	Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.


Zeile 178:		Zeile 178:
	''' Beispiel 5'''		''' Beispiel 5'''

-	Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. ~~Nachdem~~ <math>z=a+0\cdot i</math> erhalten wir	+	Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da <math>z=a+0\cdot i</math> erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
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	''' Beispiel 6'''		''' Beispiel 6'''

-	Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz	+	Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha~~}\,\mbox{,~~}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}</math>}}

-	~~und dies~~ erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen,	+	Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y~~}\,\mbox{.~~}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}</math>}}

	</div>		</div>
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	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}

-	Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.	+	Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

	</div>		</div>
Zeile 240:		Zeile 240:
	Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>\|\,z\,\|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>\|\,\overline{z}\,\|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also		Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>\|\,z\,\|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>\|\,\overline{z}\,\|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}</math>}}

-	Wir sehen direkt, dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an, dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir	+	Wir sehen direkt, dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an, dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
Zeile 261:		Zeile 261:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align}\right.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align}\right.</math>}}

-	können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel,	+	können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel,	+	Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und dass <math>x=-2\pm 3</math>, und daher <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.	+	Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und, dass <math>x=-2\pm 3</math> und daher <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.


Zeile 276:		Zeile 276:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}

-	~~Addiere~~ wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form:	+	Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man ''quadratische Ergänzung''.		Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man ''quadratische Ergänzung''.
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	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir:	+	Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2-6x+7+2 &= 2+2~~\,\mbox{,}~~\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4~~\,\mbox{,}~~\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>, ~~und daher~~ ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.	+	Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>, Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
	</li>		</li>

Zeile 302:		Zeile 302:
	Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir		Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z^2+8z+17-1 &= 0-1~~\,\mbox{,}~~\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\~~,\mbox{,}~~\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1~~\,\mbox{,}~~\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align}</math>}}
	und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.		und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.
	</li>		</li>

← Nächstältere Version		Version vom 09:00, 28. Aug. 2009
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-	Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz	+	Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	</div>		</div>
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	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}

-	~~Nachdem~~ die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile ~~gleich setzen~~, die bekannten trigonometrischen Identitäten	+	Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


Zeile 88:		Zeile 88:
	Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir		Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:</math>.}}

	Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden		Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
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	== B - Die ''n''te Wurzel von komplexen Zahlen ==		== B - Die ''n''te Wurzel von komplexen Zahlen ==

-	Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird die ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt falls	+	Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird die ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

-	Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen ~~auf~~ Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.	+	Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

-	~~Gegeben~~ eine Zahl <math> w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung	+	Ist eine Zahl <math> w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =\|w\|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =\|w\|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}

Zeile 117:		Zeile 117:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align}</math>}}

-	Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math>, und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math>, wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, ~~nachdem~~ die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind, und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung mit der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.	+	Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math> und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math> wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung mit der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.

-	~~''Kommentar''~~: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.	+	Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.