3.3:2c alternativ exp - Versionsgeschichte

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ö +ö)

2009-09-16T10:37:51Z

Robot: Automated text replacement (-ö +ö)

← Nächstältere Version		Version vom 10:37, 16. Sep. 2009
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	5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>		5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>

-	Die nächste ~~Lösung~~ für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. ~~Lösung~~ mit <math> n=0 </math>.	+	Die nächste Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

2009-09-16T10:35:21Z

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 10:35, 16. Sep. 2009
Zeile 41:		Zeile 41:
	5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>		5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>

-	Die ~~nächste~~ Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> ~~Periodizität~~ identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.	+	Die nächste Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

2009-09-16T10:32:57Z

Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

← Nächstältere Version		Version vom 10:32, 16. Sep. 2009
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	5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>		5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>

-	Die nächste Lösung ~~für~~ <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.	+	Die nächste Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.

Silke2 um 13:28, 7. Sep. 2009

2009-09-07T13:28:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:28, 7. Sep. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	<math>~~z^{5}=~~-1-i</math>	+	Wir stellen <math> -1-i</math> exponential dar:

-	stelle<math> -1-i</math> exponential dar:

-	<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math>}}
		+	wobei r = Betrag und <math>\phi</math> = Argument sind.

-	<math>r=\|-1-i\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math> ~~Dann:~~	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>r=\|-1-i\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math>}}

-	<math>~~-1-i~~=\sqrt{2}~~(\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)~~</math>	+	Dann klammern wir <math> r = \sqrt{2} </math> aus:

-	~~Gesucht werden alle Winkeln~~ <math>\~~phi~~</math>~~, für die gilt:~~	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-1-i=\sqrt{2}(-\, \frac{\sqrt{2}}{2} -\, \frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>}}

-	<math>~~cos~~\phi~~=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}~~</math>	+	Gesucht werden alle Winkel <math>\phi</math>, für die gilt:

-	<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math> mit <math>n \in </math>'''Z'''

-	~~Also~~ <math>~~z^{5}~~=-~~1-i=~~\sqrt{2}e^{i(\frac{5\~~pi}~~{4}~~+2n\pi)~~}</math>	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>}}

-	<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>	+	Diese Winkel sind
		+
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math>}}
		+	mit <math>n \in </math>'''Z'''.
		+
		+	Also
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>}}
		+
		+	Wir ziehen die 5. Wurzel, um <math> z </math> aus <math> z^5 </math> zu erhalten:
		+
		+
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>}}

	Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:		Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:
Zeile 30:		Zeile 40:

	5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>		5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>
		+
		+	Die nächste Lösung für <math> n=5 </math> ist wegen der 2-<math>\pi</math> Periodizität identisch mit der 1. Lösung mit <math> n=0 </math>.

Silke2 um 13:11, 7. Sep. 2009

2009-09-07T13:11:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:11, 7. Sep. 2009
Zeile 21:		Zeile 21:
	Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:		Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

-	1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4})}</math>	+	1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}} \, e^{i \frac{1}{4} \pi}</math> (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch <math> \frac{1}{10} </math> mal e hoch <math> i \frac{1}{4} \pi </math>)

-	2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{13~~\pi~~}{20})}</math>	+	2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{13}{20} \pi}</math>

-	3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{21~~\pi~~}{20})}</math>	+	3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{21}{20} \pi}</math>

-	4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{29~~\pi~~}{20})}</math>	+	4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{29}{20} \pi}</math>

-	5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{37\pi}{20})}</math>	+	5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}\, e^{i \frac{37\pi}{20} \pi}</math>

Ombtut3: Die Seite wurde neu angelegt: $z^{5}=-1-i$ stelle $-1-i$ exponential dar: $-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}$ wobei r=Betrag und $\phi$ =Argument <...

2009-09-05T11:29:03Z

Die Seite wurde neu angelegt: <math>z^{5}=-1-i</math> stelle<math> -1-i</math> exponential dar: <math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument <...

Neue Seite

<math>z^{5}=-1-i</math>

stelle<math> -1-i</math> exponential dar:

<math>-1-i=r(cos\phi + i sin\phi)=re^{i\phi}</math> wobei r=Betrag und <math>\phi</math>=Argument

<math>r=|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}</math> Dann:

<math>-1-i=\sqrt{2}(\frac{-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)</math>

Gesucht werden alle Winkeln <math>\phi</math>, für die gilt:

<math>cos\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math> und <math>sin\phi=\frac{-\sqrt{2}}{2}</math>

<math>\phi=\frac{\pi}{4}+\pi+2n\pi=\frac{5\pi}{4}+2n\pi</math> mit <math>n \in </math>'''Z'''

Also <math>z^{5}=-1-i=\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}</math>

<math>z=\sqrt[\scriptstyle 5]{\sqrt{2}e^{i(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}}=2^{\frac{1}{2}.\frac{1}{5}}e^{i\frac{1}{5}(\frac{5\pi}{4}+2n\pi)}=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{5}n\pi)}</math>

Die Gleichung <math>z^{5}=-1-i</math> hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. <math>n=0</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{\pi}{4})}</math>

2. <math>n=1</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{13\pi}{20})}</math>

3. <math>n=2</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{21\pi}{20})}</math>

4. <math>n=3</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{29\pi}{20})}</math>

5. <math>n=4</math> : <math>z=2^{\frac{1}{10}}e^{i(\frac{37\pi}{20})}</math>