3.2 Polarform - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:29, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:29:48Z

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Zeile 25:		Zeile 25:
	* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der Polarform umwandelt.		* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der Polarform umwandelt.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Die komplexe Zahlenebene ==		== A - Die komplexe Zahlenebene ==

Ombtut3 um 08:24, 10. Okt. 2009

2009-10-10T08:24:14Z

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Zeile 345:		Zeile 345:
	<br/>		<br/>
	Wir schreiben <math>i</math> in Polarform und erhalten		Wir schreiben <math>i</math> in Polarform und erhalten
-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>

Tek: Polarkoordinaten -> Polarform

2009-09-14T19:28:26Z

Polarkoordinaten -> Polarform

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Zeile 2:		Zeile 2:
	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
-	{{Gewählter Tab\|[[3.2 ~~Polarkoordinaten~~\|Theorie]]}}	+	{{Gewählter Tab\|[[3.2 Polarform\|Theorie]]}}
	{{Nicht gewählter Tab\|[[3.2 Übungen\|Übungen]]}}		{{Nicht gewählter Tab\|[[3.2 Übungen\|Übungen]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|

Tek: hat „3.2 Polarkoordinaten“ nach „3.2 Polarform“ verschoben und dabei eine Weiterleitung überschrieben

2009-09-14T19:27:17Z

hat „3.2 Polarkoordinaten“ nach „3.2 Polarform“ verschoben und dabei eine Weiterleitung überschrieben

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Version vom 19:27, 14. Sep. 2009

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2009-09-14T17:53:26Z

Änderung 5254 von Silke2 (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.

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Zeile 12:		Zeile 12:
	* Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene		* Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
	* Betrag und Argument		* Betrag und Argument
-	* ~~Polarkoordinaten~~	+	* Polarform
	* Multiplikation und Division in Polarform		* Multiplikation und Division in Polarform
	* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene		* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene
Zeile 23:		Zeile 23:

	* Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.		* Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.
-	* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der ~~Schreibweise in Polarkoordinaten~~ umwandelt.	+	* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der Polarform umwandelt.
	}}		}}

	== A - Die komplexe Zahlenebene ==		== A - Die komplexe Zahlenebene ==

-	~~Weil~~ eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math> und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.	+	Nachdem eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math> und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.

Silke2: Änderung 5255 von Silke2 (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.

2009-09-14T17:52:30Z

Änderung 5255 von Silke2 (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.

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Zeile 215:		Zeile 215:


-	== D - ~~Polarkoordinaten~~ ==	+	== D - Polarform ==

-	Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man ~~Polarkoordinaten~~ verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (~~der~~ Winkel~~, der das Argument der Funktionen sinus und cosinus sein wird~~) der Zahl (siehe Bild).	+	Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Bild).

	<center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center>		<center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center>
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	<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}</math>}}</div>		<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}</math>}}</div>

-	geschrieben werden. Dies nennt man die ~~Darstellung~~ der komlexen Zahl <math>z</math> ~~in Polarkoordinaten~~. Der Winkel <math>\alpha</math> wird das Argument von <math>z</math> genannt und wird geschrieben als	+	geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl <math>z</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> wird das Argument von <math>z</math> genannt und wird geschrieben als

	<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div>		<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div>

-	Den Winkel <math>\alpha</math> kann man bestimmen, indem man die Gleichung <math>\tan\alpha=y/x</math> löst. Da diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und <math>2\pi</math> oder zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.	+	Den Winkel <math>\alpha</math> kann man bestimmen, indem man die Gleichung <math>\tan\alpha=y/x</math> löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und <math>2\pi</math> oder zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.

	Die reelle Zahl <math>r</math> ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von <math>z</math>		Die reelle Zahl <math>r</math> ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von <math>z</math>
Zeile 240:		Zeile 240:


-	Schreibe folgende komplexe Zahlen in ~~Polarkoordinaten~~:	+	Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform:
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li><math>\,\,-3</math>		<li><math>\,\,-3</math>
Zeile 306:		Zeile 306:


-	Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in ~~Polarkoordinaten~~ schreibst.	+	Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarform schreibst.
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/		<li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/
Zeile 312:		Zeile 312:
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in ~~Polarkoordinaten~~.	+	Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}
	Es folgt jetzt, dass		Es folgt jetzt, dass
Zeile 321:		Zeile 321:
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in ~~Polarkoordinaten~~.	+	Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align}</math>}}
-	Durch die Multiplikationsregeln der ~~Polarkoordinaten~~ folgt, dass	+	Durch die Multiplikationsregeln der Polarform folgt, dass
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>
Zeile 334:		Zeile 334:

	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math> wenn<math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)</math>. ~~Schreibe~~ die ~~Lösungen~~ in ~~Polarkoordinaten~~.	+	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math> wenn<math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)</math>. Gib die Antwort in Polarform an.
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Zeile 341:		Zeile 341:
	</li>		</li>
	<br/>		<br/>
-	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math>, wenn <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)</math>. ~~Schreibe die Lösungen~~ in ~~Polarkoordinaten~~.	+	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math>, wenn <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)</math>. Antworte in Polarform.
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Wir schreiben <math>i</math> in ~~Polarkoordinaten~~ und erhalten	+	Wir schreiben <math>i</math> in Polarform und erhalten
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>

Silke2: Änderung 5256 von Silke2 (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.

2009-09-14T17:51:26Z

Änderung 5256 von Silke2 (Diskussion) wurde rückgängig gemacht.

← Nächstältere Version		Version vom 17:51, 14. Sep. 2009
Zeile 13:		Zeile 13:
	* Betrag und Argument		* Betrag und Argument
	* Polarkoordinaten		* Polarkoordinaten
-	* Multiplikation und Division in ~~Polarkoordinaten~~	+	* Multiplikation und Division in Polarform
	* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene		* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene
	}}		}}

Silke2 um 15:44, 14. Sep. 2009

2009-09-14T15:44:55Z

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Zeile 13:		Zeile 13:
	* Betrag und Argument		* Betrag und Argument
	* Polarkoordinaten		* Polarkoordinaten
-	* Multiplikation und Division in ~~Polarform~~	+	* Multiplikation und Division in Polarkoordinaten
	* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene		* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene
	}}		}}

Silke2 um 15:44, 14. Sep. 2009

2009-09-14T15:44:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:44, 14. Sep. 2009
Zeile 215:		Zeile 215:


-	== D - ~~Polarform~~ ==	+	== D - Polarkoordinaten ==

-	Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man ~~polare Koordinaten~~ verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Bild).	+	Anstatt komplexe Zahlen <math>z=x+iy</math> mit deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man Polarkoordinaten verwenden. Die Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt durch Betrag und Argument (der Winkel, der das Argument der Funktionen sinus und cosinus sein wird) der Zahl (siehe Bild).

	<center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center>		<center>{{:3.2 - Bild - Polarform von z}}</center>
Zeile 226:		Zeile 226:
	<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}</math>}}</div>		<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{}</math>}}</div>

-	geschrieben werden. Dies nennt man die ~~Polarform~~ der komlexen Zahl <math>z</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> wird das Argument von <math>z</math> genannt und wird geschrieben als	+	geschrieben werden. Dies nennt man die Darstellung der komlexen Zahl <math>z</math> in Polarkoordinaten. Der Winkel <math>\alpha</math> wird das Argument von <math>z</math> genannt und wird geschrieben als

	<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div>		<div class="regel">{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\alpha=\arg\,z\,\mbox{.}</math>}}</div>

-	Den Winkel <math>\alpha</math> kann man bestimmen, indem man die Gleichung <math>\tan\alpha=y/x</math> löst. ~~Nachdem~~ diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und <math>2\pi</math> oder zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.	+	Den Winkel <math>\alpha</math> kann man bestimmen, indem man die Gleichung <math>\tan\alpha=y/x</math> löst. Da diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so, dass es zwischen 0 und <math>2\pi</math> oder zwischen <math>-\pi</math> und <math>\pi</math> liegt. Dabei ist darauf zu achten, den Winkel dazu anzupassen in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl in der Zahlenebene befindet.

	Die reelle Zahl <math>r</math> ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von <math>z</math>		Die reelle Zahl <math>r</math> ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), also der Betrag von <math>z</math>
Zeile 240:		Zeile 240:


-	Schreibe folgende komplexe Zahlen in ~~Polarform~~:	+	Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarkoordinaten:
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li><math>\,\,-3</math>		<li><math>\,\,-3</math>
Zeile 306:		Zeile 306:


-	Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in ~~Polarform~~ schreibst.	+	Vereinfache folgende Ausdrücke, indem Du die Ausdrücke in Polarkoordinaten schreibst.
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/		<li><math>\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/
Zeile 312:		Zeile 312:
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in ~~Polarform~~.	+	Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarkoordinaten.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}
	Es folgt jetzt, dass		Es folgt jetzt, dass
Zeile 321:		Zeile 321:
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in ~~Polarform~~.	+	Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarkoordinaten.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{}\end{align}</math>}}
-	Durch die Multiplikationsregeln der ~~Polarform~~ folgt, dass	+	Durch die Multiplikationsregeln der Polarkoordinaten folgt, dass
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>
Zeile 334:		Zeile 334:

	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math> wenn<math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)</math>. ~~Gib~~ die ~~Antwort~~ in ~~Polarform an~~.	+	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math> wenn<math>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)</math>. Schreibe die Lösungen in Polarkoordinaten.
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Zeile 341:		Zeile 341:
	</li>		</li>
	<br/>		<br/>
-	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math>, wenn <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)</math>. ~~Antworte~~ in ~~Polarform~~.	+	<li> Vereinfache <math>iz</math> und <math>\frac{z}{i}</math>, wenn <math>\ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)</math>. Schreibe die Lösungen in Polarkoordinaten.
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Wir schreiben <math>i</math> in ~~Polarform~~ und erhalten	+	Wir schreiben <math>i</math> in Polarkoordinaten und erhalten
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\, \Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>

Silke2 um 15:09, 14. Sep. 2009

2009-09-14T15:09:43Z

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	* Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene		* Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
	* Betrag und Argument		* Betrag und Argument
-	* ~~Polarform~~	+	* Polarkoordinaten
	* Multiplikation und Division in Polarform		* Multiplikation und Division in Polarform
	* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene		* Multiplikation mit ''i'' in der komplexen Zahlenebene
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	* Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.		* Wie die arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene geometrisch zu verstehen sind.
-	* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der ~~Polarform~~ umwandelt.	+	* Wie man komplexe Zahlen zwischen der Form ''a'' + ''ib'' und der Schreibweise in Polarkoordinaten umwandelt.
	}}		}}

	== A - Die komplexe Zahlenebene ==		== A - Die komplexe Zahlenebene ==

-	~~Nachdem~~ eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math> und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.	+	Weil eine komplexe Zahl <math>z=a+bi</math> aus einem Realteil <math>a</math> und einem Imaginärteil <math>b</math> besteht, kann man eine komplexe Zahl <math>z</math> wie ein Zahlenpaar <math>(a,b)</math> in einem Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir, indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse rechtwinklig zueinander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe Zahl einem eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.

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	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
-	{{Gewählter Tab\|[[3.2 ~~Polarkoordinaten~~\|Theorie]]}}	+	{{Gewählter Tab\|[[3.2 Polarform\|Theorie]]}}
	{{Nicht gewählter Tab\|[[3.2 Übungen\|Übungen]]}}		{{Nicht gewählter Tab\|[[3.2 Übungen\|Übungen]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|