3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen - Versionsgeschichte

Julia um 14:37, 11. Sep. 2010

2010-09-11T14:37:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:37, 11. Sep. 2010
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	wobei <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.		wobei <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.

-	Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit ~~'''~~C~~'''~~ bezeichnen.	+	Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit <math> \Bbb{C} </math> bezeichnen.

	Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen <br\>		Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen <br\>
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	Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell		Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z\, \bar z \in </math> ~~'''R'''~~}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z\, \bar z \in \Bbb{R} </math> }}


Zeile 165:		Zeile 165:
	== F - Division ==		== F - Division ==

-	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in </math> ~~'''R'''~~, erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:	+	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in \Bbb{R} </math> , erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:

	<div class="regel">		<div class="regel">

Dagmar Timmreck um 13:29, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:29:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:29, 11. Aug. 2010
Zeile 22:		Zeile 22:
	* Wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.		* Wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Einführung ==		== A - Einführung ==

Stefanie um 16:11, 11. Jan. 2010

2010-01-11T16:11:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 16:11, 11. Jan. 2010
Zeile 46:		Zeile 46:
	Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.		Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.

-	Da die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei <math>\sqrt{2}</math> möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen ~~auf~~ der Form <math>bi</math>, wo <math>b</math> reell ~~ist~~, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl ~~mit~~ der Form	+	Da die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei <math>\sqrt{2}</math> möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen der Form <math>bi</math>, mit <math>b</math> reell, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl der Form

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 52:		Zeile 52:
	</div>		</div>

-	wo <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.	+	wobei <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen sind und <math>i</math> die Gleichung <math>i^2=-1</math> erfüllt.

	Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit '''C''' bezeichnen.		Wenn <math>a = 0</math> nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn <math>b = 0</math> ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit '''C''' bezeichnen.

-	Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wo <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen <br\>	+	Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit <math>z</math>. Wenn <math>z=a+bi</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> reell sind, ist <math>a</math> der Realteil und <math>b</math> der Imaginärteil von <math>z</math>. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen <br\>

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 118:		Zeile 118:
	</div>		</div>

-	Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die ~~Regel der Differenz von zwei Quadraten~~ anwendet, folgendes erhält	+	Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die dritte binomische Formel anwendet, folgendes erhält

	<div class="regel">		<div class="regel">

Ombtut4 um 13:21, 25. Sep. 2009

2009-09-25T13:21:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:21, 25. Sep. 2009
Zeile 65:		Zeile 65:


-	==Addition und Subtraktion ==	+	== C - Addition und Subtraktion ==

	Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.		Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.
Zeile 88:		Zeile 88:


-	== C - Multiplikation ==	+	== D - Multiplikation ==

	Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math>, dass		Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass <math>i^2=-1</math>. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math>, dass
Zeile 110:		Zeile 110:


-	== D - Komplexe Konjugation ==	+	== E - Komplexe Konjugation ==

	Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln		Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln
Zeile 161:		Zeile 161:


-	== E - Division ==	+	== F - Division ==

	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in </math> '''R''', erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:		Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in </math> '''R''', erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:
Zeile 227:		Zeile 227:


-	== F - Gleichungen ==	+	== G - Gleichungen ==

	Wenn zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist <math>a=c</math> und <math>b=d</math>. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten <math>z</math> löst, schreibt man oft <math>z=a+bi</math> und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.		Wenn zwei komplexe Zahlen <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist <math>a=c</math> und <math>b=d</math>. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten <math>z</math> löst, schreibt man oft <math>z=a+bi</math> und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ö +ö)

2009-09-16T10:37:41Z

Robot: Automated text replacement (-ö +ö)

← Nächstältere Version		Version vom 10:37, 16. Sep. 2009
Zeile 36:		Zeile 36:
	''' Beispiel 1'''		''' Beispiel 1'''

-	Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> suchen, finden wir zuerst die Nullstellen <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese ~~Lösungen~~ enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir, dass die Summe von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.	+	Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> suchen, finden wir zuerst die Nullstellen <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese Lösungen enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir, dass die Summe von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.

	Wir haben die "imaginäre" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.		Wir haben die "imaginäre" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.
Zeile 124:		Zeile 124:
	</div>		</div>

-	Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der ~~zugehörigen~~ konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell	+	Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z\, \bar z \in </math> '''R'''}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z\, \bar z \in </math> '''R'''}}

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

2009-09-16T10:32:47Z

Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

← Nächstältere Version		Version vom 10:32, 16. Sep. 2009
Zeile 163:		Zeile 163:
	== E - Division ==		== E - Division ==

-	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in </math> '''R''', erhält man einen reellen Nenner. ~~Für~~ <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:	+	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in </math> '''R''', erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:

	<div class="regel">		<div class="regel">

Silke2 um 15:04, 14. Sep. 2009

2009-09-14T15:04:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:04, 14. Sep. 2009
Zeile 29:		Zeile 29:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0</math>}}

-	haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung <math>x^2+1=0</math> keine reellen Lösungen, ~~nachdem~~ keine reelle Zahl <math>x^2=-1</math> erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir <math>\sqrt{-1}</math> als die Zahl definieren, die die Gleichung <math>x^2=-1</math> erfüllt und so rechnen als wäre <math>\sqrt{-1}</math> eine normale Zahl.	+	haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung <math>x^2+1=0</math> keine reellen Lösungen, weil keine reelle Zahl <math>x^2=-1</math> erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir <math>\sqrt{-1}</math> als die Zahl definieren, die die Gleichung <math>x^2=-1</math> erfüllt und so rechnen als wäre <math>\sqrt{-1}</math> eine normale Zahl.
	Obwohl die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.		Obwohl die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.

Zeile 36:		Zeile 36:
	''' Beispiel 1'''		''' Beispiel 1'''

-	Wenn wir die Summe der ~~Wurzeln (Lösungen) zur~~ Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> suchen, finden wir zuerst die ~~Wurzeln~~ <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese ~~Wurzeln~~ enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir, dass die Summe von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.	+	Wenn wir die Summe der Nullstellen der Gleichung <math>x^2-2x+2=0</math> suchen, finden wir zuerst die Nullstellen <math>x_1=1+\sqrt{-1}</math> und <math>x_2=1-\sqrt{-1}</math>. Diese Lösungen enthalten <math>\sqrt{-1}</math>. Wenn wir ganz normal mit <math>\sqrt{-1}</math> rechnen, sehen wir, dass die Summe von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2</math> eine ganz normale reelle Zahl ist.

-	~~Obwohl die Antwort reell war,~~ haben ~~wir~~ die "imaginäre" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> ~~angewendet~~, um ~~die~~ Antwort zu erhalten.	+	Wir haben die "imaginäre" Zahl <math>\sqrt{-1}</math> verwendet, um als Antwort eine reelle Zahl zu erhalten.
	</div>		</div>

Zeile 44:		Zeile 44:
	== B - Definition der komplexen Zahlen ==		== B - Definition der komplexen Zahlen ==

-	Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas irreführend, ~~nachdem~~ alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.	+	Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math>) sind etwas irreführend, weil ja alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie <math>\sqrt{-1}</math> entstanden.

	Da die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei <math>\sqrt{2}</math> möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen auf der Form <math>bi</math>, wo <math>b</math> reell ist, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl mit der Form		Da die Zahl <math>\sqrt{-1}</math> nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei <math>\sqrt{2}</math> möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich <math>i</math> (oder manchmal auch <math>j</math>). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen auf der Form <math>bi</math>, wo <math>b</math> reell ist, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine ''komplexe Zahl'' ist eine Zahl mit der Form
Zeile 112:		Zeile 112:
	== D - Komplexe Konjugation ==		== D - Komplexe Konjugation ==

-	Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (~~Das Gegenteil~~ gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln	+	Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (Die Umkehrung gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 124:		Zeile 124:
	</div>		</div>

-	Das Produkt ~~von zwei konjugierten~~ komplexen ~~Zahlen~~ ist also immer reell.	+	Das Produkt einer komplexen Zahl <math> z </math> mit der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl <math> \overline{z} </math> ist also immer reell
		+
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z\, \bar z \in </math> '''R'''}}


Zeile 161:		Zeile 163:
	== E - Division ==		== E - Division ==

-	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, ~~wobei~~ man einen reellen Nenner ~~erhält~~. ~~Wenn~~ <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:	+	Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner. Weil <math> z \bar z \in </math> '''R''', erhält man einen reellen Nenner. Für <math>z=a+bi</math> und <math>w=c+di</math> gilt im Allgemeinen:

	<div class="regel">		<div class="regel">

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

2009-09-02T07:44:10Z

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:44, 2. Sep. 2009
Zeile 284:		Zeile 284:
	Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.		Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.
	</div>		</div>
		+	<br><br>
		+
		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.1 Übungen\|Übungen]]''' .

Dima um 11:34, 23. Aug. 2009

2009-08-23T11:34:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:34, 23. Aug. 2009
Zeile 124:		Zeile 124:
	</div>		</div>

-	Das Produkt von zwei ~~konjugiert~~ komplexen Zahlen ist also immer reell.	+	Das Produkt von zwei konjugierten komplexen Zahlen ist also immer reell.

Dima um 11:33, 23. Aug. 2009

2009-08-23T11:33:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:33, 23. Aug. 2009
Zeile 112:		Zeile 112:
	== D - Komplexe Konjugation ==		== D - Komplexe Konjugation ==

-	Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> ~~komplex~~ konjugierte Zahl. (Das Gegenteil gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln	+	Wenn <math>z=a+bi</math> nennt man <math>\overline{z} = a-bi</math> die zu <math>z</math> konjugierte komplexe Zahl. (Das Gegenteil gilt auch, nämlich, dass <math>z</math> die konjugiert komplexe Zahl von <math>\overline{z}</math> ist). Man erhält dadurch folgende Regeln

	<div class="regel">		<div class="regel">